Bilineare Transformation / Z-Transformation

[Andrea (Gast)]

Hallo,

kann mir eine bitte sagen wie man bei 3. Schritt im Zähler und Nenner 
auf z^-2 kommt und warum?


Vielen Dank!

[z-Transformator (Gast)]

Der Term wird so normiert, dass a0 1 wird. Dadurch lässt sich der Term 
einfacher in einen Algorithmus umrechnen.

Wie es dazu kommt: Schau Dir die Exponenten Deiner Gleichung im Schritt 
2 und Schritt 3 an. Ausmultiplizieren könnte helfen.

[Andrea (Gast)]

Danke!

Aber wie kommt vom 2. Schritt zum 3.Schritt zu z^-2. Ich habe es 
ausmultipliziert, aber ich komme nicht auf den negativen Exponenten? 
Beachte ich da irgendeine Regel nicht? Kannst du oder jemand  mir die 
Schritte aufschreiben.

2. Schritt (Zähler) =  (4T1*(z^2-1))/T

jetzt wird ausmultipliziert: (4T1*z^2-4T1)/T oder???

aber im 3 Schritt (Zähler) steht: (-4T1*z^-2)/T+4T1/T

Warum? Gibt es eine Regel für die Z-Transformation ?

Vielen Dank

[Alex (Gast)]

Mit z^-2 erweitern...

[Alex (Gast)]

Hab gerade vom Handy geschrieben, da hatte ich keine Lust viel zu 
tippen.

Du willst die Gleichung doch irgendwie auf eine bekannte Grundform 
bringen und die sind eigentlich immer mit negativen Exponenten 
angegeben. Das hat auch einen Grund: du kannst nicht Hellsehen. Deshalb 
bezieht man sich auf die Vergangenheit (die Werte kann man sich merken 
und zwischenspeichern) und nicht auf die Zukunft. Das Erweitern mit dem 
negierten höchsten Exponenten ist nach der Umformung meistens der letzte 
Schritt. Dürfte aber bei anderen Aufgaben zur Z-Trafo schon drangekommen 
sein ;-)

[Andrea (Gast)]

Hi Alex,

Vielen Dank!

Aber irgendwie wird es mir nicht klar.

Kannst du mir das mit schrittweise aufschreiben ? Beim erweitern komme 
ich nicht auf den Term, echt merkwürdig!

Du meinst das mit den Vergangenheitswerten x(n) = z^n d.h. wenn die 
Funktion nach der A/D Wandlung abgetastet wurde, werden die n Werte 
(Diracimpulse) von vorne nach hinten verarbeitet. Richtig??

Also G(s) auf die Übertragungsfunktion (siehe Anhang) bringen.

Danke!!

[z-Transformator (Gast)]

Ich bin zwar nicht Alex, aber vielleicht kann ich trotzdem weiterhelfen. 
Ich werde es Dir allerdings nicht die Lösung Schritt für Schritt 
aufschreiben.

1. Hast Du die Gleichung mit z^-2 erweitert oder mit z^-2 multipliziert. 
Das ist nämlich ein Unterschied, und ein Fehler, den ich auch oft 
gemacht habe.

Aus Deiner zweiten Frage werde ich nicht ganz schlau. Wenn Du ein Signal 
abtastest hast Du schon die Vergangenheitswerte direkt aus den 
abgetasteten Werten. Daraus kannst Du dann direkt den Algorithmus, die 
sogenannte Differenzengleichung, erstellen.

Bsp: Du hast ein Recktecksignal das jede Sekunde von 1 auf -1 auf 1 usw. 
wechselt.

1   ---     ---
       |   |   |  usw...
-1      ---
n=   0   1   2  usw...

Dann lauten die Werte für f(0) = 1; f(1) = -1; f(2) = 1 usw...
Die Differenzengleichung daraus lautet f(n) = 1 - f(n-1) + f(n-2) usw...
Daraus kann man nun mit der richtigen Umformung eine 
Übertragungsfunktion im z-Bereich erstellen: f(z) = 1 -1*z^-1 + 1*z^-2 
usw...

Was Du aber hast ist schon eine Übertragungsfunktion im z-Bereich, aus 
der man, wenn man die oben beschriebene Normierung vorgenommen hat, die 
Differenzengleichung errechnen kann. Also genau der umgekehrte Weg. 
Daher wird das auch inverse z-Transformation genannt.

Für das obige Beispiel wäre das dann wieder die Differenzengleichung 
f(n) = 1 - f(n-1) + f(n-2) usw... Die kannst Du so direkt in den 
Mikrocontroller einprogrammieren, daher treibt man diesen Aufwand.

Um aus Deiner Übertragungsfunktion eine Differenzengleichung zu 
erstellen muss die Gleichung nach der Normierung noch nach y(z) 
umgestellt werden. Das ist hier jedoch noch nicht gefordert.

[Andrea (Gast)]

Danke Z Transformator,

also jeweils erstmal im 2.Schritt (Zähler) 4T1(z^2-1)/T ausmultipliziert 
und dann von diesem Term Zähler und Nenner mit z^-2 multipliziert. Wo 
liegt der Fehler ?

Danke

[z-Transformator (Gast)]

Zeig uns doch mal Deine Rechnungen. So wird es schwierig zu raten, wo 
der Fehler liegt.

[Andrea (Gast)]

so oder ?

[z-Transformator (Gast)]

Nein. Was Du da machst ist eine Multiplikation und keine 
Brucherweiterung. Du veränderst damit Deine Gleichung. Schau Dir nochmal 
das Brüche erweitern an.

Hinweis: 1/1 = 1; 2/2 = 1; 3/3 = 1; ...

[Andrea (Gast)]

Hi,

ja jeweils Zahler und Nenner mit z^-2 multipliziert sprich : 
(4T1z^2*z^-2)/T*
(-4T1*z^-2)/T

Des passt aber nicht !

Mach mir doch den gefallen und schreib es mir bitte kurz auf. Wo liegt 
der Fehler ???

Danke