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Forum: PC-Programmierung Probleme mit Aufgabe!


Autor: F.Keilbach (Gast)
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Hallo!

Ich bin echt am verzweifeln! Ich weiss dass dieser Eintraag nix in
diesem Forum zu zu suchen hat.
Aber ich komme mit dem Matheproblem überhaupt nicht weiter.

Und zwar handelt es sich hierbei um zwei INTEGRALE--> siehe Anhang

Autor: Stefan M. (Gast)
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wär schön wenn du vielleicht noch die aufgabe posten würdest, sonst kann
dir glaub niemand helfen
im .doc sind lediglich die formeln

Autor: chriss chd (Gast)
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das ist schon die aufgabe!
leider hat das forum kein latex daher schreib ich es so:
integral von sqrt(16-x^2) dx = (substituieren) = integral von
sqrt(16-16sin(z)^2) 4*cos(z) dz, den wenn du für x = 4 sin(z) einsetzt
ist:
dx/dz = 4 * cos(z) und somit dx = 4*cos(z) dz
so weiter gehts sqrt(16)*integral von sqrt(1-sin^2(z))4*cos(z) = 16 *
integral cos(z)^2dz = (naja cos^2 wirst wohl schaffen einfach partiell
integrieren (integral u'v = u*v* - integral v'*u) und da kommt dann
4* (sin(z)cos(z)/2 + z/2) raus einsetzten und da sollte dan etwas wie
8*arcsin(x/4)+x*sqrt(16-x^2)/2 rauskommen, den du brauchst ja nur
x=4sin(z) umformen und den cox(z) als sqrt(1-sin^2(z)) schreiben.

so anderes bsp seh ich mir noch an


bg

Autor: chriss chd (Gast)
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das anders bsp geht in gleicher manier, nur mit viel mehr aufwand
(vielleicht übersehe ich aber auch was ...)
t = 2x-2
dt/dx = 2 => dx = dt/2
=>
integral sqrt(1+t^2)dt/2
t=sinh(z)
dt/dz = cosh(z) => dt = cosh(z)*dz
integral von sqrt(1+cosh(z)^2)*cosh(z)dz = integral sinh(z)*cosh(z) dz
und da würd ich einfach mit den e-funktionen rechnen
cosh(z) = 1/2 (e^x+e^-x)
sinh(z) = 1/2 (e^x-e^-x)
dann sollte etwas mit e^-2z(e^4z+1)/8 rauskommen

bg

Autor: Pete da Heat (Gast)
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Servus!

Als kleine Anregung:
zu a) Mit der Substitution kommst Du zu einem Integral
16*Integral[sqrt(1-sin²(z))*cos(z)]dz. Mit 1-sin²(z)=cos²(z) solltest
Du weiterkommen.

zu b) Im Prinzip das Gleiche, hier gilt allerdings: 2x substituieren
und sinh²(x)-cosh²(x) = 1

Falls immer noch nicht klar, nochmal fragen!

Viel Erfolg
Pete

Autor: F.Keilbach (Gast)
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Hier habe ich noch die Aufgabenstellungen

Autor: F.Keilbach (Gast)
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Hallo chriss,

danke für die Hilfe.
Wie kommst du auf diese Lösung: 8*arcsin(x/4)+x*sqrt(16-x^2)/2

Woher bekommst du das X vor dem Ausdruck sqrt(16-x^2)/2
Hast das hier nochmals abgeleitet: 16-x^2

Autor: F.Keilbach (Gast)
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Also die zweite Aufgabe vertshe ich noch als nicht.
Ok das hier habe ich auch herausbekommen: e^-2z(e^4z+1)/8

Bei der ersten Aufgabe verstehe ich nicht wie man da vor der Wurzel auf
das x kommt. Vielleicht durch nochmaliges ableiten?!

Autor: Pete da Heat (Gast)
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Hat er vielleicht mit Maple oder ähnlichem gerechnet. Hab ich auch
gerade gemacht, da kommt das Gleiche raus. Gibt eben mehrere
Stammfunktionen.

"per Hand" komm ich auf: 8*(z+sin(2*z)/2), für z noch z=arcsin(x/4)
einsetzen

Stammfunktion von cos²(x)= x/2 + sin(2*x)/4

Pete

Autor: F.Keilbach (Gast)
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Ok danke danke! Ich habe es jetzt mit Eurer Hilfe hinbekommen.
Es fehlt mir nur noch die zweite Aufgabe.
Das weiss ich nett so recht wie ich da weitermachen soll!

Autor: Pete da Heat (Gast)
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Also:

1/2*Int[cosh²(z)]*dz = 1/2*1/4*Int[e^2z+2*e^-2z)]dz =
1/16*(exp(2z)-exp(-2z)+4z)

Autor: Pete da Heat (Gast)
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>>Ok das hier habe ich auch herausbekommen: e^-2z(e^4z+1)/8

Falsch, binomische Formel!

Autor: Pete da Heat (Gast)
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Sorry, Fehler

>>1/2*Int[cosh²(z)]*dz = 1/2*1/4*Int[e^2z+2*e^-2z)]dz =
1/16*(exp(2z)-exp(-2z)+4z)

Soll heißen:
>>1/2*Int[cosh²(z)]*dz = 1/2*1/4*Int[exp(2z)+exp(-2z)+2]dz =
1/16*(exp(2z)-exp(-2z)+4z)

Pete

Autor: Pete da Heat (Gast)
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Nur noch am Rande, weil ich das gerade gelesen habe:

>>naja cos^2 wirst wohl schaffen einfach partiell
>>integrieren (integral u'v = u*v* - integral v'*u) und da kommt
dann
>>4* (sin(z)cos(z)/2 + z/2) raus

Partielle Integration bringt hier glaub ich nix, da das Problem der
Integration von cos²(x) auf das Problem der Integration von sin²(x)
"verschoben" wird. Ich würde cos²(z)=(1+cos(2z))/2 einsetzen und dann
integrieren.

Pete

Autor: F.Keilbach (Gast)
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Also die erste Aufgabe habe ich hinbekommen. Und zwar habe ich die
partielle Integration angewendet.

Autor: F.Keilbach (Gast)
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Hmm..die zweite bekomme ich nicht gelöst!

Mit den vielen ANgaben hier in diesem Thread komme ich durcheinander.

Autor: F.Keilbach (Gast)
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Hi Pete,

wie kommst du auf das hier?

Soll heißen:
>>1/2*Int[cosh²(z)]*dz = 1/2*1/4*Int[exp(2z)+exp(-2z)+2]dz =
1/16*(exp(2z)-exp(-2z)+4z)

Autor: F. Keilbach (Gast)
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Die Aufgabe konnte ich leider immer noch nicht lösen.
Ich bekomme dieses Ergebnis heraus: 1/2*Int[cosh²(z)]*dz
Wie mache ich da jetzt weiter?

Autor: Pete da Heat (Gast)
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Hi!

einfach für cosh(z)=1/2*exp(z)+exp(-z) einsetzen und ausmultiplizieren
(binomische Formel) und anschließend die e-Funktionen integrieren.
Alles klar?

Viel Erfolg
Pete

Autor: Pete da Heat (Gast)
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Was mich allerdings noch interessieren würde: Wie kann man mit
partieller Integration cos²(x) integrieren?

partielle Integration: Int(u'v) = u*v-Int(uv')
also mit v=cos(x) und u'=cos(x) -> u=sin(x) folgt:

Int[cos²(x)] = sin(x)*cos(x) - Int[sin(x)*sin(x)] = sin(x)*cos(x) -
Int[sin²(x)], womit man das Problem hat statt cos²(x) sin²(x) zu
integrieren. Ich wäre Dir für eine Erklärung dankbar, denn ich weiß
nicht wie das gehen soll...

Pete

Autor: F. Keilbach (Gast)
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Hi Pete,

Int(cos²(x)^dx) integrieren:

1x partielle Integration: Int(u'v) = u*v-Int(uv')
also mit
u'=cos(x) -> u=sin(x)
v=cos(x) -> v'=-sin(x)

einsetzen:
Int(cos²(x)^dx) = sin(x)cos(x) + Int(sin(x)sin(x) dx)

dies kann man auch so schreiben:
Int(cos²(x)^dx) = sin(x)cos(x) + Int(1-cos²(x)dx)
Int(cos²(x)^dx) = sin(x)cos(x) + Int(1 dx) -Int(cos²(x)dx)
2xInt(cos²(x)dx)= sin(x)cos(x) + Int(1 dx)
Int(cos²(x)dx)= 1/2(sin(x)cos(x)) + x/2

Und nun zu der anderen Aufgabe:
wie gesagt dies habe ich auch ausgerechnet:
1/2*1/4*Int[exp(2z)+exp(-2z)+2]dz
wenn ich das hier dann integriere bekomme ich folgendes Ergebnis
heraus:
1/4 sinh(2z) + z/2
wie muss ich da genau weitermachen? Bestimmt muss ich hier jetzt wieder
zurücksubstutuieren, oder?

Autor: Patric (Gast)
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Ein Trick den die E-Techniker gern anwenden:
(Hat jetzt nichts konkret mit der Aufgabe zu tun, hilft aber vielleicht
dem ein oder anderen)

Beispiel

int(exp(2*x)*cos(3*x))dx

kann man partiell integrieren und kommt zum Ergebnis. Dauert allerdings
eine Weile.

Einfacher geht's wenn man cos(3*x) durch den Realteil von exp(j*3*x)
ersetzt und komplex weiterrechnet. Damit spart man sich die partielle
Integration und e-Funktionen sind immer schoen zu integrieren.

int(exp(2*x)*cos(3*x))dx = int(exp(2*x)*exp(j*3*x))dx
= int(exp((2+3*j)x)dx = exp((2+3*j)x)/(2+3*j)

Nun das Uebliche. Komplex konjugiert erweitern und die e-Funktionen
wieder in trigonometrische umschreiben. Das Endergebnis ist dann der
Realteil des vorher berechneten.

Funktioniert uebrigens auch bei cos^2(x), allerdings bringt es keinen
Vorteil komplex zu rechnen.
Man setzt dazu cos^2(x)=1/4*(exp(j*x)+exp(-j*x))^2 an.

Um cos^2(x) ohne komplexe Rechnung zu lösen setzt man
cos^2(x)=1/2+1/2*cos(2*x)) an.

Autor: F. Keilbach (Gast)
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Ok das ist auch nicht schlecht. Also alles Aufgaben habe ich jetzt
endlich gelöst!

Ich habe nur noch eine Aufgabe, da habe ich mir heute Morgen schon die
Zähne ausgebissen:

Integral(1/(x-Wurzel(x-1))dx) oder siehe Anhang.

Autor: Patric (Gast)
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Das Integral ist aufwendig. Ich hab's dir mal in Maple eingetippt.

Autor: Pete da Heat (Gast)
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Cool. Ich danke Euch! Komplexifizierung hab' ich mir auch überlegt,
aber auf die partielle Integration wär' ich glaub ich alleine nicht so
schnell gekommen...

Pete

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