Zum Thema Systemtheorie 1 habe ich eine Aufgabe die ich nicht lösen
kann.
Wie geht man so eine Aufgabe an?
Aufgabe:
Eine Masse m hämgt an einer Feder mit der Federkonstante c.
Die Bewegung der Masse wird durch einen Öldämpfer behindert.
Der Dämpfer erzeugt die Gegenkraft
.
Fd = dx.
Stellen Sie die Differentialgleichung für den Weg x der Masse auf. Zum
Zeitpunkt t = 0 befindet sich die Feder im entspannten Zustand, und es
gilt x=x'=x''=0.
Welchem Endwert strebt x(t) zu?
Angehängte Dateien:
-
Loesung_ST1.jpg
53 KB
Hier poste ich mal die Lösung von unserem Prof. Ich verstehe die Lösung überhaupt nicht. Kann mir einer sagen wie man die Aufgabe lösen kann?
Moinsen, weil der Weg zwei mal nach der Zeit abgeleitet eben die Beschleunigung ergibt. Schau mal auf die Einheiten oder wenn du hast z.B. im Kuchling
>m*x''=Cx + Dx' + m * g > >Das verstehe ich auch nicht Zu jedem Zeitpunkt wirkt auf die Masse eine ganze Reihe von Kräften. Und Kräfte kann man zusammenzählen. Gesamtkraft = Schwerkraft + Federkraft + Reibung >Warum F = m * a = m * x'' ........ Dann kommt das Newtonsche Axiom zum Tragen.: Das da besagt, dass die Kraft der zweiten Ableitung des Weges nach der Zeit proportional ist: m x'' = Gesamtkraft
Ok jetzt kappiere ich schon einwenig mehr. Warum kommt in dieser Formel Cx und Dx' vor? Muss das nicht Dx heißen, ohne die Ableitung? Und g ist doch die Erdbeschleunigung oder? m*x''=Cx + Dx' + m * g
Ist die Gleichung nicht falsch? m*x''=Cx + Dx' + m * g Was bedeutet hier genau Cx und Dx'. Ich komme da nicht drauf.
Das sind deine Ableitungskonstanten. In der rot geschriebenen Zeile x=x'=x''=0 setzt du die Anfangsbedingungen, womit diese Konstanten wieder rausfallen. Wobei diese Zeile aber glaub ich falsch ist. Kann es sein, dass du die dazu geschrieben hast. Denn x=0 zu setzen, gibt ja gerade kein Sinn, genau das soll ja bestimmt werden.
Also so wie es aussieht komme ich da nicht auf einen grünen Zweig. Mir ist es nach wie vor rätselhaft, wie man auf diese Form "m*x''=Cx + Dx' + m * g" kommt. Ich verstehe nicht warum Cx und Dx' ... Das Prinzip ist schon klar: Gesamtkraft = Schwerkraft + Federkraft + Reibung Nur die obige Gleichung, das weiss ich halt nicht wie man auf diese Form kommt.
Das Dx' sowie Cx sind doch keine Kräfte, oder? Zum einen verwende ich nur das x und zum anderen x'(Ableitung). m*g ist ist die Masse multipiliert mit der Erdbeschleunigung, das ergibt eine Kraft.
Was verstehst du da nicht? Federkonstante x Weg = Kraft (Hookeschen Gesetz). C (Federkonstante) hat die Einheit N/m. Dx ist in deiner Aufgabe doch gegeben als Kraft des Dämpfers der eine Gegenkraft erzeugt. Gruss
Ahhh...jetzt ist es mir auch klar warum!
Dann muss man die Gleichung nur nach x umstellen und für x=x'=x''=0
einsetzten. Da erhalte ich bei mir diesen Ausdruck:
-m * g
x =--------
c
In der anderen Lösung steht aber dieser Ausdruck:
m * g
x =--------
c
Warum ist da kein Minus Zeichen Davor?
ja ich gehe von dieser Gleichung aus:
m*x''=Cx + Dx' + m * g
Nach x umgestellt ergbit bei mir das hier:
m*x'' - D*x' - m*g
x =---------------------
c
Als nächstes setze ich x und x' und x'' NULL.
Da bekomme ich dann das hier:
-m * g
x =--------
c
Deshalb verstehe ich nicht warum da man das negative Vorzeichen
weglassen sollte.
Die Lösung vom Prof. müsste doch falsch sein oder?
Das hier müsste doch heruaskommen oder:
-m * g
x =--------
c
Du musst versuchen dir sowas bildlich vorzustellen und die Formeln erstmal ganz beiseite legen. Also, um eine Feder um einen Weg x auszulenken ist eine Kraft nötig. Wie groß diese Kraft ist beschreibt die Federkonstante C. Diese Kraft ist nicht nur nötig um die Feder auszulenken, sondern auch um sie dort zu halten. Klar, wenn du sie loslässt flitscht sie wieder zurück. Also muss Cx eine Kraft sein! Um eine Masse m zu beschleunigen ist eine Kraft F=mx'' nötig. Kommt diese Masse in den Einflussbereich einer Schwerkraft wird sie angezogen und es bildet sich die Gewichtskraft F=mg. Überlässt man die Masse nun dem freien Fall, so wird sich ein Kräftegleichgewicht mx''=mg einstellen. Du hast bestimmt schonmal gehört, dass man Schwerelosigkeit im feiem Fall simuliert, das ist genau das Prinzip. Ein Öldämpfer (der in der Skizze übrigens fehlt) ist aufgebaut wie ein Zylinder, der sich frei in einem mit Öl gefülltem, geschlossenem Rohr bewegen kann und somit eine Trennung zwischen zwei Holräumen darstellt. Die einzige Verbindung zwischen den beiden Holräumen ist ein kleines Loch im Zylinder. Wenn man nun den Zylinder bewegt, wird ein Holraum gestaucht, der andere gedehnt. Diese Volumendifferenz an Öl muss durch das kleine Loch ausgeglichen werden. Da das Öl eine gewisse Viskosität hat ist dazu eine Kraft nötig. Diese Kraft ist natürlich proportional zur Geschwindigkeit: Dx' Zum Zeitpunkt t<0 hängt also deine Konstruktion aus Feder und parallel dazu der Dämpfer an der Decke. Die Feder ist entspannt und nichts bewegt sich. In Höhe des Hakens machst du einen Strich an die Wand und schreibst x=0 daneben. Zum Zeitpunkt t=0 hängst du das Gewicht der Masse m an den Haken und schaust was passiert. Die Konstruktion wird nach unten gezogen, einige Zeit lang schwingen, wegen dem Dämpfer langsam abklingen und schließlich ganz zur Ruhe kommen. Nun machst du wieder in Höhe des Hakens einen zeiten Strich an die Wand, das ist dein Endwert. Wie man all diese Kräfte nun in eine Formel stopft ist ja schon zu genüge beschrieben worden. Interessant ist villeicht noch, wie man zum Endergebniss kommt: Die Ableitungen des Weges existieren nur für den Zeitraum, in dem sich der Weg ändert. Wo sich nichts ändert, da sind auch alle Ableitungen gleich 0. Diese Ableitungen werden also nur benötigt um den Einschwingvorgang zu beschreiben. Wenn man sich aber lediglich für den Eingeschwungenen Zustand interessiert, kann man alle Ableitungen in der DGL Null setzen und gucken was rauskommt.
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