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Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP Was besagt das Abtasttheorem??


Autor: Dell (Gast)
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Hi,

ich verstehe das Abtasttheorem nicht :'(.. Kann mir jemand behilflich 
sein und mir in Bildern und einfachen Worten erklären was das 
Abtasttheorem sagen will BITTEEEEEEE?!

in Google finde ich nichts und bei Wiki steht folgendes:

Das Abtasttheorem besagt, dass ein kontinuierliches, bandbegrenztes 
Signal, mit einer Minimalfrequenz von 0 Hz und einer Maximalfrequenz 
fmax, mit einer Frequenz größer als 2 * f_max abgetastet werden muss, 
damit man aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal 
ohne Informationsverlust (aber mit unendlich großem Aufwand) exakt 
rekonstruieren bzw. (mit endlichem Aufwand) beliebig genau approximieren 
kann.

aber kann man das nicht anschaulich erkären?

Auf was bezieht sich das Abtasttheorem?

Muss man das Abtasttheorem für alle möglichen Abtastungen beachten?

-------------------------------------------------------
Was ist:
- kontinuierliches, bandbegrenztes Signal
- zeitdiskreten Signal
- approximieren
???


Danke Danke Danke...

Autor: der mechatroniker (Gast)
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Das gilt für sämtliche Abtastungen und hat in der Praxis zwei 
Konsequenzen:

1. Abtastfrequenz auf mehr als das Doppelte der höchsten Signalfrequenz, 
die du behalten willst, festlegen

2. In vielen Fällen ist ein (analoges) Tiefpaßfilter vor der Abtastung 
notwendig, um Aliasing zu vermeiden. Die Frequenzen, die mit dem 
abgetasteten Signal nicht mehr dargestellt werden können, sollten 
nämlich auch vorher nicht vorhanden sein.

Autor: der mechatroniker (Gast)
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Ein Beispiel:

du willst ein Audiosignal in guter Qualität digitalisieren, das heißt 
sämtliche Frequenzen bis zur Hörgrenze von etwa 16 kHz sollen erhalten 
bleiben. Dazu benötigst du nach dem Abtasttheorem eine Abtastfrequenz 
von mindestens 32 kHz.

Jetzt ist es so, daß im ursprünglichen Signal noch Anteile oberhalb der 
Hörgrenze vorhanden sein können. Dort stören sie nicht, nach der 
Abtastung aber sehr wohl, da bei einer Abtastfrequenz von 32 kHz 
beispielsweise aus einem Signalanteil mit 25 kHz einer mit 7 kHz würde. 
Also baust du dir ein analoges Tiefpaßfilter, welches Signale ab der 
halben Abtastfrequenz ausreichend unterdrückt.

Da du dieses nicht beliebig steilflankig bauen kannst, würde es Teile 
des Nutzsignals bereits dämpfen. Deswegen verschaffst du dir ein wenig 
Luft, indem du die Abtastfrequenz noch ein Stück höher legst. Für dein 
Audiosignal kommen dann z.B. 44,1 kHz in Frage.

Autor: Dell (Gast)
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hast Du vielleicht PDF's, was anschaulischer erklärt?

Was würde die Abtastung aussehen, wenn ich so ein Signal, wie auf dem 
Bild zu sehen ist, digitalisieren möchte?

Autor: Dell (Gast)
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ich verstehe wirklich nicht, wie ich das Sigal wieder vollständig 
darstellen kann, wenn ich in dem oberen Beispiel alle 4,5 ms abtaste :-(

Das Sigal hat eine Frequent von 111,11 Hz (was 9ms entspricht).
Laut Abtasttheorem muss man 2*f_max abtasten, das wäre 4,5 ms (was 
222,22 Hz entspricht). Wie kann man durch 2 Punte das ganze Signal 
darstellen?

o man ich komme einfach nicht drauf wie das funktionieren kann :'(

Autor: egal (Gast)
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>Dazu benötigst du nach dem Abtasttheorem eine Abtastfrequenz
von mindestens 32 kHz.
Naja, die Frequenz muss nach dem Abtasttheorem größer als 32 Khz sein.

>Wie kann man durch 2 Punte das ganze Signal darstellen?
Das Abtasttheorem bezieht sich auf ein Bandbegrenztes Signal. Das ist 
bei deinem Signal micht der Fall (Speziell der Bereich zwischen den 
Peaks). Würdest du dein Signal als Fourierreihe beschreiben wäre die 
maximale Frequenz irgendwo bei unendlich. Oder so ähnlich.

Wenn du zwei Abtastungen pro Periode hast musst du aber auch unendlich 
großen Aufwand treiben um das Signal exakt zu rekonstruieren (bzw. mit 
endlichem Aufwand beliebig genau approximieren).

Autor: egal (Gast)
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>Laut Abtasttheorem muss man 2*f_max abtasten
das wäre dann auch falsch.

Autor: Dell (Gast)
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kannst Du das Abtasttheorem genauer erklären?!

Autor: Dell (Gast)
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Hat niemand paar Beispiele für mich?

Autor: Richard K. (ric)
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stell dir vor du hast ein Signal mit 1Hz

nach dem Abtasttheorem musst du das mit 2 Hz abtasten
also 2 werte pro Sekunde.

zeichne einen sinus mit 1 Hz.

dann zeichne die 2 "Abtastpunkte" auf(z.b einer bei 0.25 und einer bei 
0.75.

kannst du einen Sinus der langsamer ist (0-1Hz) so hineinlegen das
die gleichen werte herauskommen?

kannst du einen Sinus der schneller (1Hz und hoeher) ist so hineinlegen 
das die gleichen werte herauskommen?

Gruesse

Autor: Matthias Lipinsky (lippy)
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Also, folgendes:

Wenn du das Signal x(t) (besteht aus Frequenzen von 0..fx Hz) abtastest, 
dann multiplizierst du es (mathematisch) gesehen mit einem Abtastsignal 
a(kt). Diese Abtastsignal hat eine ganz bestimmte Form, sowie eine 
Frequenz fa.

Bei so einer Signalmultiplikation entstehen IMMER Summen und Differenzen 
der (Frequenz)Anteile der Originalsignale (vergleiche Modulation), sowie 
der Oberschwingungen.

Also entsteht aus den Originalsignalen x und a ein (abgetastetes) 
Signal.
Dieses abgetastete Signal ist eine Summe aus folgenden Frequenzen:

- Original        (0..fx)
- Abtastfrequenz  fa,
- Summe           fa + (0..fx)
- Differenz       fa - (0..fx)      <= !!!!!!!!
- Summe          2fa + (0..fx)
- Differenz      2fa - (0..fx)
- Summe          3fa + (0..fx)
- Differenz      3fa - (0..fx)
...

Die Ausrufezeichen deuten auf das Problem hin:

SObald (fa-fx) = fx wird (es sollte größer bleiben), dann überlappt sich 
der Anteil des Originalsignals im abgetasteten Signal! Somit kann das 
Originalsignal nicht mehr rekonstruiert werden, da es ja "mit sich 
selbst" überlappt wurde.

Somit gilt als Grenze, wo das Problem eben gerade noch nicht auftritt:
fa-fx = fx, nach Umstellung: fa = 2fx. Das ist das Abtasttheorem.
Die Grafik (Signal soll 0..5Hz beinhalten) soll das verdeutlichen: 
Sobald du das a (Abtastfrequenz zu klein wählst, dann überlappen sich 
die Bereiche). Dann treten Aliasing-Effekte auf:
http://de.wikipedia.org/wiki/Alias-Effekt

   Original                fa-(0..fx)   fa+(0..fx)          2fa-(0..fx)
                           xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx          xxxxxxxxxxx
  xxxxxxxxxxx                         a                               2a
--|---------|-------------------------|--------------------------------| 
--
  0         5                         15                              30
                                                             =>f
                                  <= fa kleiner
             \_____________/ "Sicherheitsbereich-darf nicht 
verschwinden"

Autor: egal (Gast)
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>Hat niemand paar Beispiele für mich?
Mir fehlen die Worte... Brüller, oder?

Zwei mal hab ichs schon geschrieben, jetzt noch mal:
>nach dem Abtasttheorem musst du das mit 2 Hz abtasten also 2 werte pro Sekunde.
MEHR ALS ZWEI MAL!!!

Das Beispiel ist in soweit unsinnig, als das ein (Sinus) Signal nicht 
eindeutig durch die Frequenz beschrieben werden kann. Um das Signal zu 
beschreiben werden noch Amplitude und Phase benötigt.

Hintergrund:
Im Anhang sind zwei Kurven nach dem Beispiel von ric, also beide 1 Hz. 
Beide haben an den von ric genannten Punkten den gleichen Wert. Wenn du 
also mit NUR der doppelten Frequenz abtastest wirst du wohl nie 
erfahren, welche Kurve du die richtige ist.

Wenn du nach dem Abtasttheorem die Abtastfrequenz größer als zwei mal 
fmax wählst kannst du nach einigen Messungen hinreichend genau 
bestimmen, welche Kurve richtig ist. Das setzt natürlich voraus, dass 
Das Signal konstant ist.

Im Diagramm zeigt die Y-Achse die Zeit in Sekunden ( t / s ), X die 
Amplitude.

Autor: Boxi Boxitec (boxi)
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Interessant wäre vielleicht mal Dells Hintergrund. Welche Ausbildung 
hast du? Was weißt du über:

- Transformationen in den Frequenzbereich
- Fourierentwicklung

Dein Signal mag zwar auf den ersten Blick aussehen, als hätte es eine 
Frequenz von 111Hz, weil es sich alle 9ms periodisch wiederholt. Genauer 
betrachtet, besteht es aber aus der Überlagerung von Sinussignalen (und 
für diese gilt das Abtasttheorem) mit weit höherer Frequenz 
(Oberwellen). Und genau diese Oberwellen mußt du auch nach dem 
Abtasttheorem mit Abtasten, um irgendwann dein Originalsignal halbwegs 
zu rekonstruieren.
Tastest du dein 111Hz-Signal mit >222Hz ab, kann bestenfalls ein Sinus 
mit deiner Grundfrequenz aus der Rekonstruktion rauskommen.

Falls dir das alles überhaupt nichts sagt und du trotzdem damit arbeiten 
mußt, empfehle ich dir ein Elektrotechnikstudium oder ähnliches.

Schönen Gruß
Boxi

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Als Beispiel:

Du hast eine Sinusschwingung. Diese musst du abtasten, um später
aus den Abtastwerten die Schwingung wieder zu rekonstruieren.

Hier (Fig. 1) ist die Schwingung.

(Es folgen noch 3 Postings)

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Jetzt (Fig. 2) tastest du die Schwingung ab und rekonstruierst
daraus die originale Sinusschwingung.

Da du relativ oft abtastest (hohe Abtastfrequenz), kannst du
den originalen Sinus relativ gut rekonstruieren. Auch die
Frequenz des rekonstuierten Signals stimmt noch immer mit
der Frequenz des Originalsignals überein.


Aufbau der Graphik:
Die originale Sinusschwingung liegt im Hintergrund. Die senkrechten
Linien symbolisieren die Zeitpunkte der Abtastung. Der jeweilige
Wert der Abtastung ist als kleines Rechteck an der Kurve
eingezeichnet. Die daraus resultierende Rekonstruktion ist
als etwas stärkere Linie über den originalen Sinus drübergelegt.

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Jetzt machst du die Abtastfrequenz kleiner, sprich du erhöhst
das Abtastintervall. Die daraus rekonstuierte Schwingung ist
mit einiger Phantasie immer noch als der originale Sinus
zu erkennen. Die rekonstruierte Kurve ein bischen verschleifen
und du bist wieder ziemlich gut am Original. Auch die Frequenz
des rekonstruierten Signals stimmt noch mit der Frequenz
des Originalsignals überein.

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Tja.
Bis dann irgendwann der Punkt kommt, und du mit der Abtastfrequenz
unter die Grenze fällst. Und dann passiert Seltsames: Das rekonstruierte
Signal sieht gar nicht so schlecht aus. Der Sinus ist noch so einiger-
massen zu erkennen. Aber: Die Frequenz! Das rekonstruierte Signal
hat frequenzmässig mit dem Original nicht mehr viel zu tun.

Wenn die Kurvenform nicht stimmt, wie in den beiden vorangegangenen
Beispielen, dann ist das zwar nicht optimal, aber so wild auch wieder
nicht. Ein Pfeifton bleibt immer noch ein Pfeifton. Er klingt zwar
ein bischen anders (weil die Kurvenform nicht stimmt) aber zb. das
menschliche Gehirn kommt mit solchen Verzerrungen ganz gut klar.
Im letzten Beispiel ist aber ganz was anderes passiert: Aus einem
hohen Ton ist plötzlich ein tiefer Ton geworden.

Autor: Sven Woehlbier (woehlb)
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An Dell (Gast):

Ich glaube ich weiß was Dein Problem ist, ich versuche mal weitestgehend 
die Mathematik rauszuhalten. Du nimmst die Periode Deines Signals von 
Peakanfang zu Peakanfang, nimmst die doppelte Frequenz als 
Abtastfrequenz und die Abtastpunkte landen auf eine Art und Weise auf 
dem Signal das eine Rekonstruktion des Signals nicht möglich ist, da die 
Anordung der Abtastpunkte überhaupt nicht nach Deinem Signal aussieht.

Richtig ist die Abtastfrequenz muß mindestens doppelt (besser größer) so 
hoch sein wie die maximale Signalfrequenz. Um so höher die 
Abtastfrequenz um so genauer kann man das ursprüngliche Signal 
rekonstruieren.

Falsch ist es bei Deinem Signal den Zeitraum von Peakanfang zu 
Peakanfang als Periode anzunehmen. Denn die sich daraus ergebene 
Frequenz entspricht nicht der auftretenden maximalen Signalfrequenz.

Etwas Theorie: Periodische Signale, wie Dein Signal, werden durch die 
Addition von Sinus- und Cosinussignalen bestimmter Frequenzen und 
Amplituden erzeugt. Das nennt man Fouriersynthese. Mit dem umgekehrten 
Weg der Fourierananlyse kann man die Sinus- und Cosinusbestandteile 
eines Signals bestimmen. Es ergeben sich "mathematische Reihen" mit 
Sinus- und/oder Cosinussignalen als Summanden. Das letzte Glied dieser 
"Reihe" stellt die maximal auftretende Signalfrequenz dar. Mit wieviel 
Summanden man aber rechnet hängt von der geforderten Genauigkeit ab, die 
man in Abhängigkeit der Anwendung festlegen muß. Keine Angst! Als 
Praktiker gehe ich jetzt mal näherungsweise an die Sache ran.

Steile Anstiege und Sprünge in einem Signal verursachen die hohen 
Frequenzen bei den Sinus- und Cosinusfunktionen der Fourieranalyse 
(nennt man Oberwellen), nicht die Signalbereiche mit einer sich langsam 
ändernden Amplitude (siehe bei Dir die Pausen zwischen den Peaks).

Näherungsweise über den Daumen gepeilt würde ich erstmal die Dauer 
Deiner Peaks als halbe Periode annehmen (Annahme: Dreiecksfunktion(Dein 
Signal ohne Pausen) ähnlich dem Sinus), und damit meine Abtastfrequenz 
festlegen. Legst du theoretisch den Beginn der Signalperiode mit der 
Abtastperiode auf einen Punkt müßte ein Abtastpunkt auf der Peakspitze 
liegen und mehrere Abtastpunkte auf der Pause zwischen den Peaks. Die 
Abtastpunkte sollten so annäherend dein Signal approximieren (annäherend 
darstellen).

Praktisch ist es aber so das die Lage der Signalperiode zur 
Abtastperiode zufällig ist. Das heißt, es ist nicht garantiert das mit 
der doppelten Abtastfrequenz ein Abtastpunkt genau auf den Peakspitzen 
liegt. Egal wie hoch du die Abtastfrequenz festlegst, das wird in der 
Regel nie so sein. Die Abtastpunkte werden immer vor oder nach der 
Peakspitze liegen. Du mußt einfach den ungünstigsten Fall annehmen, daß 
die Abtastpunkte eine Abtastperiode vor oder nach der Peakspitze liegen. 
Dann mußt du die Abtastfrequenz soweit erhöhen, daß das Signal so genau 
reproduzierbar ist, wie das Deine Anwendung verlangt. Sollte dabei eine 
Abtastfrequenz rauskommen, die für Deine Rahmenbedinungen zu hoch ist, 
dann mußte Du Dir eine komplett andere Lösung für Dein Problem 
überlegen. Wäre nicht Schlecht wenn du zu Deiner Anwendung mehr sagen 
könntest, eventuell wäre eine andere Lösung sowieso besser. Im Hinblick 
auf eine genaue Reproduzierbarkeit deines Signals mit geringem Aufwand, 
ist Dein Signal ungünstig, da es kein sich kontinuierlich änderndes 
Signal ist (siehe Peakspitzen!!!). Durch diese Spitzen liegt die 
eigentliche maximale Signalfrequenz ziemlich hoch, nur wenn du hier auf 
Genauigkeit verzichten kannst, ist die Abtastung deines Signals mit 
geringem Aufwand möglich.

Wie andere schon erwähnt haben mußt du vorher das Signal über einen 
Tiefpaß mit der Abtastfrequenz als Grenzfrequenz schicken. Sonst kommt 
es zu einer Schwebung (langsame Änderung) Deines Signals (Stichwort 
Aliasing; kein stabiles Bild auf dem Oszilloskop). Das wird zwar Deine 
Peaks etwas "rundlutschen" :-), aber dieses rundgelutschte Signal sollte 
reproduzierbar sein.

Letztlich ist es zusätzlich zum Abtasttheorem alles eine Frage der 
notwendigen Genauigkeit, ob sich Dein Problem mit einem geringen Aufwand 
lösen läßt.

Tschau Sven!

Autor: Boxi Boxitec (boxi)
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> Wie andere schon erwähnt haben mußt du vorher das Signal über einen
> Tiefpaß mit der Abtastfrequenz als Grenzfrequenz schicken. Sonst kommt
> es zu einer Schwebung (langsame Änderung) Deines Signals (Stichwort
> Aliasing; kein stabiles Bild auf dem Oszilloskop). Das wird zwar Deine
> Peaks etwas "rundlutschen" :-), aber dieses rundgelutschte Signal sollte
> reproduzierbar sein.

Falsch! Grenzfrequenz des Tiefpasses sollte kleiner als die Hälfte der 
Abtastfrequenz sein, sonst verletzt du das Abtasttheorem!

Autor: weis nix (Gast)
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Die Erläuterungen sind ja recht informativ, aber das Grundproblem wurde 
nicht angesprochen. Das Abtasttheorem gilt ausschließlich für 
Sinusschwingungen. Alle anderen Schwingungen, wie Recteck, Dreieck oder 
sondtige Schwingungen, müssen erst mittels Fouriertransformation 
analysiert werden, um die maximal zu übertragende Frequenz zu ermitteln.

Noch ein Hinweis: Alle aber auch wirklich alle Signalformen lassen sich 
mittels Fouriertransformation in Sinusschwingungen zerlegen. Einzige 
Voraussetzung, man findet eine analytische Beschreibung f(t) im zu 
betrachtenden Zeitintervall für dieses Signal.

Autor: Boxi Boxitec (boxi)
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türlich hab ich das gesagt!

Autor: Sven Woehlbier (woehlb)
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An  Boxi Boxitec:
Du hast natürlich recht! Asche auf mein Haupt ;-).

An weis nix (Gast):
Prinzipiell hast auch du recht, ich will Dir auch nicht auf den Schlips 
treten. Aber wenn man versucht exakt zu formulieren, dann gilt das 
Abtasttheorem grundsätzlich bei jedem Signalverlauf. Bei einem Sinus 
kann man die maximale Signalfrequenz am Sinus selbst ablesen, bei einem 
allgemeinen periodischen Signalverlauf kann man über die Fourieranalyse 
oder digital mit Hilfe der Fast Fourier Transformation (FFT) mit 2^n 
Stützstellen die maximale Signalfrequenz ermitteln.

Es bleibt aber trotzdem das Problem mit wieviel Oberwellen rechne ich, 
wie genau kann/muß der reproduzierbare Signalverlauf sein. Für eine 
Dreiecksfunktion z.B. gilt (w=Omega):

Dreiecksfunktion:
y(t) = -(2y/T)t+y für 0<=t<=T/2 und
y(t) = (2y/T)-y für T/2<=t<=T

Fourier-Reihe:
y(t) = y/2 + 4y/pi^2 [ 1/1^2*cos(w0t) + 1/3^2*cos(3w0t) + 
1/5^2*cos(5w0t) + ...]

Letztlich muß man einen maximal zulässigen Fehler festlegen, und die 
maximale Differenz zwischen realem Signal und der Fourier-Reihe 
bestimmen. Wird der maximale Fehler eingehalten ok, ansonsten müssen 
weitere Summanden der Fourier-Reihe berücksichtigt werden.

An  Dell (Gast):
Aufgrund Deiner Frage am Anfang liegt die Vermutung sicher nahe, daß Du 
mit der Mathematik rund um die Fourieranalyse nicht vertraut bist. 
Erhöhe einfach die Abtastfrequenz und verändere entsprechend die 
Grenzfrequenz des Tiefpasses, soweit das Du mit der Genauigkeit der 
reproduzierbaren Funktion zufrieden bist (Achtung Abstand der 
Abtastpunkte zu Signalspitzen). Aber wie gesagt, zu hohe 
Genauigkeitsanforderungen können die technischen Möglichkeiten Deiner 
Schaltung sprengen.

Tschau Sven!

Autor: Sven Woehlbier (woehlb)
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An  Dell (Gast):
Wenn Du nicht lange rechnen sondern das Problem messtechnisch lösen 
willst, könnte man mal folgende Schaltung ausprobieren.

Verwende einen ADU und DAU mit paralleler Schnittstelle und kopple diese 
beiden direkt (ADU Ausgänge auf DAU Eingänge). Schalte beide so, daß sie 
permanent Daten einlesen bzw. ausgeben. Die Taktleitungen schließe an 
einen Taktgenerator an. Überprüfe mit einem Oszilloskope das 
ursprüngliche (ADU Eingang) und das synthetisierte Signal (DAU Ausgang). 
Der DAU sollte in einem Intervall, das der Abtastperiode entspricht, 
neue Daten ausgeben.

Erhöhe die Frequenz des Taktgenerators bis Du mit der Darstellung des 
synthetisierten Signals zufrieden bist, aber nur soweit wie es unbedingt 
notwendig ist, sonst erhälst Du eine unnötig hohe Abtastfrequenz.

Dem Datenblatt des ADU müßte zu entnehmen sein, wie die Taktfrequenz in 
die Abtastfrequenz umzurechnen ist. Wenn Du diese Beziehung kennst, 
kannst du mit Hilfe der Taktgeneratorfrequenz die Abtastfrequenz 
berechnen.

Tschau Sven!

Autor: M. Weissi (blomquist)
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Weis nix hats voll getroffen! Glaub in diesem Punkt haperts bei vielen 
im Verständniss (war anfangs auch bei mir so...)

Autor: Marcow (Gast)
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Endlich mal ein von Anfang bis Ende höchst informativer Thread!

Vielen Dank an die vielen fachkundigen und fleißigen Poster. Der 
Themenstarter scheint sich leider aus der Diskussion entfernt zu haben 
(wie so oft der Fall), eure Abhandlungen helfen allerdings weitaus mehr 
Leuten "da draußen", als man zunächst annehmen könnte.

Auch wenn der Fred bereits etwas älter ist, das musste ich einfach mal 
loswerden.

Autor: snemelc (Gast)
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Ich schließe mich meinem Vorposten an:

Herrlich dieser Thread!

Ein wahrer Genuss!

Grüße

Sry für den vom Thema abweichenden Beitrag. Aber es ist alles gesagt und 
ein Lob muss einfach sein!

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