Hi, ich verstehe das Abtasttheorem nicht :'(.. Kann mir jemand behilflich sein und mir in Bildern und einfachen Worten erklären was das Abtasttheorem sagen will BITTEEEEEEE?! in Google finde ich nichts und bei Wiki steht folgendes: Das Abtasttheorem besagt, dass ein kontinuierliches, bandbegrenztes Signal, mit einer Minimalfrequenz von 0 Hz und einer Maximalfrequenz fmax, mit einer Frequenz größer als 2 * f_max abgetastet werden muss, damit man aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust (aber mit unendlich großem Aufwand) exakt rekonstruieren bzw. (mit endlichem Aufwand) beliebig genau approximieren kann. aber kann man das nicht anschaulich erkären? Auf was bezieht sich das Abtasttheorem? Muss man das Abtasttheorem für alle möglichen Abtastungen beachten? ------------------------------------------------------- Was ist: - kontinuierliches, bandbegrenztes Signal - zeitdiskreten Signal - approximieren ??? Danke Danke Danke...
Das gilt für sämtliche Abtastungen und hat in der Praxis zwei Konsequenzen: 1. Abtastfrequenz auf mehr als das Doppelte der höchsten Signalfrequenz, die du behalten willst, festlegen 2. In vielen Fällen ist ein (analoges) Tiefpaßfilter vor der Abtastung notwendig, um Aliasing zu vermeiden. Die Frequenzen, die mit dem abgetasteten Signal nicht mehr dargestellt werden können, sollten nämlich auch vorher nicht vorhanden sein.
Ein Beispiel: du willst ein Audiosignal in guter Qualität digitalisieren, das heißt sämtliche Frequenzen bis zur Hörgrenze von etwa 16 kHz sollen erhalten bleiben. Dazu benötigst du nach dem Abtasttheorem eine Abtastfrequenz von mindestens 32 kHz. Jetzt ist es so, daß im ursprünglichen Signal noch Anteile oberhalb der Hörgrenze vorhanden sein können. Dort stören sie nicht, nach der Abtastung aber sehr wohl, da bei einer Abtastfrequenz von 32 kHz beispielsweise aus einem Signalanteil mit 25 kHz einer mit 7 kHz würde. Also baust du dir ein analoges Tiefpaßfilter, welches Signale ab der halben Abtastfrequenz ausreichend unterdrückt. Da du dieses nicht beliebig steilflankig bauen kannst, würde es Teile des Nutzsignals bereits dämpfen. Deswegen verschaffst du dir ein wenig Luft, indem du die Abtastfrequenz noch ein Stück höher legst. Für dein Audiosignal kommen dann z.B. 44,1 kHz in Frage.
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hast Du vielleicht PDF's, was anschaulischer erklärt? Was würde die Abtastung aussehen, wenn ich so ein Signal, wie auf dem Bild zu sehen ist, digitalisieren möchte?
ich verstehe wirklich nicht, wie ich das Sigal wieder vollständig darstellen kann, wenn ich in dem oberen Beispiel alle 4,5 ms abtaste :-( Das Sigal hat eine Frequent von 111,11 Hz (was 9ms entspricht). Laut Abtasttheorem muss man 2*f_max abtasten, das wäre 4,5 ms (was 222,22 Hz entspricht). Wie kann man durch 2 Punte das ganze Signal darstellen? o man ich komme einfach nicht drauf wie das funktionieren kann :'(
>Dazu benötigst du nach dem Abtasttheorem eine Abtastfrequenz von mindestens 32 kHz. Naja, die Frequenz muss nach dem Abtasttheorem größer als 32 Khz sein. >Wie kann man durch 2 Punte das ganze Signal darstellen? Das Abtasttheorem bezieht sich auf ein Bandbegrenztes Signal. Das ist bei deinem Signal micht der Fall (Speziell der Bereich zwischen den Peaks). Würdest du dein Signal als Fourierreihe beschreiben wäre die maximale Frequenz irgendwo bei unendlich. Oder so ähnlich. Wenn du zwei Abtastungen pro Periode hast musst du aber auch unendlich großen Aufwand treiben um das Signal exakt zu rekonstruieren (bzw. mit endlichem Aufwand beliebig genau approximieren).
>Laut Abtasttheorem muss man 2*f_max abtasten
das wäre dann auch falsch.
stell dir vor du hast ein Signal mit 1Hz nach dem Abtasttheorem musst du das mit 2 Hz abtasten also 2 werte pro Sekunde. zeichne einen sinus mit 1 Hz. dann zeichne die 2 "Abtastpunkte" auf(z.b einer bei 0.25 und einer bei 0.75. kannst du einen Sinus der langsamer ist (0-1Hz) so hineinlegen das die gleichen werte herauskommen? kannst du einen Sinus der schneller (1Hz und hoeher) ist so hineinlegen das die gleichen werte herauskommen? Gruesse
Also, folgendes: Wenn du das Signal x(t) (besteht aus Frequenzen von 0..fx Hz) abtastest, dann multiplizierst du es (mathematisch) gesehen mit einem Abtastsignal a(kt). Diese Abtastsignal hat eine ganz bestimmte Form, sowie eine Frequenz fa. Bei so einer Signalmultiplikation entstehen IMMER Summen und Differenzen der (Frequenz)Anteile der Originalsignale (vergleiche Modulation), sowie der Oberschwingungen. Also entsteht aus den Originalsignalen x und a ein (abgetastetes) Signal. Dieses abgetastete Signal ist eine Summe aus folgenden Frequenzen: - Original (0..fx) - Abtastfrequenz fa, - Summe fa + (0..fx) - Differenz fa - (0..fx) <= !!!!!!!! - Summe 2fa + (0..fx) - Differenz 2fa - (0..fx) - Summe 3fa + (0..fx) - Differenz 3fa - (0..fx) ... Die Ausrufezeichen deuten auf das Problem hin: SObald (fa-fx) = fx wird (es sollte größer bleiben), dann überlappt sich der Anteil des Originalsignals im abgetasteten Signal! Somit kann das Originalsignal nicht mehr rekonstruiert werden, da es ja "mit sich selbst" überlappt wurde. Somit gilt als Grenze, wo das Problem eben gerade noch nicht auftritt: fa-fx = fx, nach Umstellung: fa = 2fx. Das ist das Abtasttheorem. Die Grafik (Signal soll 0..5Hz beinhalten) soll das verdeutlichen: Sobald du das a (Abtastfrequenz zu klein wählst, dann überlappen sich die Bereiche). Dann treten Aliasing-Effekte auf: http://de.wikipedia.org/wiki/Alias-Effekt Original fa-(0..fx) fa+(0..fx) 2fa-(0..fx) xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx a 2a --|---------|-------------------------|--------------------------------| -- 0 5 15 30 =>f <= fa kleiner \_____________/ "Sicherheitsbereich-darf nicht verschwinden"
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>Hat niemand paar Beispiele für mich? Mir fehlen die Worte... Brüller, oder? Zwei mal hab ichs schon geschrieben, jetzt noch mal: >nach dem Abtasttheorem musst du das mit 2 Hz abtasten also 2 werte pro Sekunde. MEHR ALS ZWEI MAL!!! Das Beispiel ist in soweit unsinnig, als das ein (Sinus) Signal nicht eindeutig durch die Frequenz beschrieben werden kann. Um das Signal zu beschreiben werden noch Amplitude und Phase benötigt. Hintergrund: Im Anhang sind zwei Kurven nach dem Beispiel von ric, also beide 1 Hz. Beide haben an den von ric genannten Punkten den gleichen Wert. Wenn du also mit NUR der doppelten Frequenz abtastest wirst du wohl nie erfahren, welche Kurve du die richtige ist. Wenn du nach dem Abtasttheorem die Abtastfrequenz größer als zwei mal fmax wählst kannst du nach einigen Messungen hinreichend genau bestimmen, welche Kurve richtig ist. Das setzt natürlich voraus, dass Das Signal konstant ist. Im Diagramm zeigt die Y-Achse die Zeit in Sekunden ( t / s ), X die Amplitude.
Interessant wäre vielleicht mal Dells Hintergrund. Welche Ausbildung hast du? Was weißt du über: - Transformationen in den Frequenzbereich - Fourierentwicklung Dein Signal mag zwar auf den ersten Blick aussehen, als hätte es eine Frequenz von 111Hz, weil es sich alle 9ms periodisch wiederholt. Genauer betrachtet, besteht es aber aus der Überlagerung von Sinussignalen (und für diese gilt das Abtasttheorem) mit weit höherer Frequenz (Oberwellen). Und genau diese Oberwellen mußt du auch nach dem Abtasttheorem mit Abtasten, um irgendwann dein Originalsignal halbwegs zu rekonstruieren. Tastest du dein 111Hz-Signal mit >222Hz ab, kann bestenfalls ein Sinus mit deiner Grundfrequenz aus der Rekonstruktion rauskommen. Falls dir das alles überhaupt nichts sagt und du trotzdem damit arbeiten mußt, empfehle ich dir ein Elektrotechnikstudium oder ähnliches. Schönen Gruß Boxi
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Als Beispiel: Du hast eine Sinusschwingung. Diese musst du abtasten, um später aus den Abtastwerten die Schwingung wieder zu rekonstruieren. Hier (Fig. 1) ist die Schwingung. (Es folgen noch 3 Postings)
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Jetzt (Fig. 2) tastest du die Schwingung ab und rekonstruierst daraus die originale Sinusschwingung. Da du relativ oft abtastest (hohe Abtastfrequenz), kannst du den originalen Sinus relativ gut rekonstruieren. Auch die Frequenz des rekonstuierten Signals stimmt noch immer mit der Frequenz des Originalsignals überein. Aufbau der Graphik: Die originale Sinusschwingung liegt im Hintergrund. Die senkrechten Linien symbolisieren die Zeitpunkte der Abtastung. Der jeweilige Wert der Abtastung ist als kleines Rechteck an der Kurve eingezeichnet. Die daraus resultierende Rekonstruktion ist als etwas stärkere Linie über den originalen Sinus drübergelegt.
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Jetzt machst du die Abtastfrequenz kleiner, sprich du erhöhst das Abtastintervall. Die daraus rekonstuierte Schwingung ist mit einiger Phantasie immer noch als der originale Sinus zu erkennen. Die rekonstruierte Kurve ein bischen verschleifen und du bist wieder ziemlich gut am Original. Auch die Frequenz des rekonstruierten Signals stimmt noch mit der Frequenz des Originalsignals überein.
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Tja. Bis dann irgendwann der Punkt kommt, und du mit der Abtastfrequenz unter die Grenze fällst. Und dann passiert Seltsames: Das rekonstruierte Signal sieht gar nicht so schlecht aus. Der Sinus ist noch so einiger- massen zu erkennen. Aber: Die Frequenz! Das rekonstruierte Signal hat frequenzmässig mit dem Original nicht mehr viel zu tun. Wenn die Kurvenform nicht stimmt, wie in den beiden vorangegangenen Beispielen, dann ist das zwar nicht optimal, aber so wild auch wieder nicht. Ein Pfeifton bleibt immer noch ein Pfeifton. Er klingt zwar ein bischen anders (weil die Kurvenform nicht stimmt) aber zb. das menschliche Gehirn kommt mit solchen Verzerrungen ganz gut klar. Im letzten Beispiel ist aber ganz was anderes passiert: Aus einem hohen Ton ist plötzlich ein tiefer Ton geworden.
An Dell (Gast): Ich glaube ich weiß was Dein Problem ist, ich versuche mal weitestgehend die Mathematik rauszuhalten. Du nimmst die Periode Deines Signals von Peakanfang zu Peakanfang, nimmst die doppelte Frequenz als Abtastfrequenz und die Abtastpunkte landen auf eine Art und Weise auf dem Signal das eine Rekonstruktion des Signals nicht möglich ist, da die Anordung der Abtastpunkte überhaupt nicht nach Deinem Signal aussieht. Richtig ist die Abtastfrequenz muß mindestens doppelt (besser größer) so hoch sein wie die maximale Signalfrequenz. Um so höher die Abtastfrequenz um so genauer kann man das ursprüngliche Signal rekonstruieren. Falsch ist es bei Deinem Signal den Zeitraum von Peakanfang zu Peakanfang als Periode anzunehmen. Denn die sich daraus ergebene Frequenz entspricht nicht der auftretenden maximalen Signalfrequenz. Etwas Theorie: Periodische Signale, wie Dein Signal, werden durch die Addition von Sinus- und Cosinussignalen bestimmter Frequenzen und Amplituden erzeugt. Das nennt man Fouriersynthese. Mit dem umgekehrten Weg der Fourierananlyse kann man die Sinus- und Cosinusbestandteile eines Signals bestimmen. Es ergeben sich "mathematische Reihen" mit Sinus- und/oder Cosinussignalen als Summanden. Das letzte Glied dieser "Reihe" stellt die maximal auftretende Signalfrequenz dar. Mit wieviel Summanden man aber rechnet hängt von der geforderten Genauigkeit ab, die man in Abhängigkeit der Anwendung festlegen muß. Keine Angst! Als Praktiker gehe ich jetzt mal näherungsweise an die Sache ran. Steile Anstiege und Sprünge in einem Signal verursachen die hohen Frequenzen bei den Sinus- und Cosinusfunktionen der Fourieranalyse (nennt man Oberwellen), nicht die Signalbereiche mit einer sich langsam ändernden Amplitude (siehe bei Dir die Pausen zwischen den Peaks). Näherungsweise über den Daumen gepeilt würde ich erstmal die Dauer Deiner Peaks als halbe Periode annehmen (Annahme: Dreiecksfunktion(Dein Signal ohne Pausen) ähnlich dem Sinus), und damit meine Abtastfrequenz festlegen. Legst du theoretisch den Beginn der Signalperiode mit der Abtastperiode auf einen Punkt müßte ein Abtastpunkt auf der Peakspitze liegen und mehrere Abtastpunkte auf der Pause zwischen den Peaks. Die Abtastpunkte sollten so annäherend dein Signal approximieren (annäherend darstellen). Praktisch ist es aber so das die Lage der Signalperiode zur Abtastperiode zufällig ist. Das heißt, es ist nicht garantiert das mit der doppelten Abtastfrequenz ein Abtastpunkt genau auf den Peakspitzen liegt. Egal wie hoch du die Abtastfrequenz festlegst, das wird in der Regel nie so sein. Die Abtastpunkte werden immer vor oder nach der Peakspitze liegen. Du mußt einfach den ungünstigsten Fall annehmen, daß die Abtastpunkte eine Abtastperiode vor oder nach der Peakspitze liegen. Dann mußt du die Abtastfrequenz soweit erhöhen, daß das Signal so genau reproduzierbar ist, wie das Deine Anwendung verlangt. Sollte dabei eine Abtastfrequenz rauskommen, die für Deine Rahmenbedinungen zu hoch ist, dann mußte Du Dir eine komplett andere Lösung für Dein Problem überlegen. Wäre nicht Schlecht wenn du zu Deiner Anwendung mehr sagen könntest, eventuell wäre eine andere Lösung sowieso besser. Im Hinblick auf eine genaue Reproduzierbarkeit deines Signals mit geringem Aufwand, ist Dein Signal ungünstig, da es kein sich kontinuierlich änderndes Signal ist (siehe Peakspitzen!!!). Durch diese Spitzen liegt die eigentliche maximale Signalfrequenz ziemlich hoch, nur wenn du hier auf Genauigkeit verzichten kannst, ist die Abtastung deines Signals mit geringem Aufwand möglich. Wie andere schon erwähnt haben mußt du vorher das Signal über einen Tiefpaß mit der Abtastfrequenz als Grenzfrequenz schicken. Sonst kommt es zu einer Schwebung (langsame Änderung) Deines Signals (Stichwort Aliasing; kein stabiles Bild auf dem Oszilloskop). Das wird zwar Deine Peaks etwas "rundlutschen" :-), aber dieses rundgelutschte Signal sollte reproduzierbar sein. Letztlich ist es zusätzlich zum Abtasttheorem alles eine Frage der notwendigen Genauigkeit, ob sich Dein Problem mit einem geringen Aufwand lösen läßt. Tschau Sven!
> Wie andere schon erwähnt haben mußt du vorher das Signal über einen > Tiefpaß mit der Abtastfrequenz als Grenzfrequenz schicken. Sonst kommt > es zu einer Schwebung (langsame Änderung) Deines Signals (Stichwort > Aliasing; kein stabiles Bild auf dem Oszilloskop). Das wird zwar Deine > Peaks etwas "rundlutschen" :-), aber dieses rundgelutschte Signal sollte > reproduzierbar sein. Falsch! Grenzfrequenz des Tiefpasses sollte kleiner als die Hälfte der Abtastfrequenz sein, sonst verletzt du das Abtasttheorem!
Die Erläuterungen sind ja recht informativ, aber das Grundproblem wurde nicht angesprochen. Das Abtasttheorem gilt ausschließlich für Sinusschwingungen. Alle anderen Schwingungen, wie Recteck, Dreieck oder sondtige Schwingungen, müssen erst mittels Fouriertransformation analysiert werden, um die maximal zu übertragende Frequenz zu ermitteln. Noch ein Hinweis: Alle aber auch wirklich alle Signalformen lassen sich mittels Fouriertransformation in Sinusschwingungen zerlegen. Einzige Voraussetzung, man findet eine analytische Beschreibung f(t) im zu betrachtenden Zeitintervall für dieses Signal.
An Boxi Boxitec: Du hast natürlich recht! Asche auf mein Haupt ;-). An weis nix (Gast): Prinzipiell hast auch du recht, ich will Dir auch nicht auf den Schlips treten. Aber wenn man versucht exakt zu formulieren, dann gilt das Abtasttheorem grundsätzlich bei jedem Signalverlauf. Bei einem Sinus kann man die maximale Signalfrequenz am Sinus selbst ablesen, bei einem allgemeinen periodischen Signalverlauf kann man über die Fourieranalyse oder digital mit Hilfe der Fast Fourier Transformation (FFT) mit 2^n Stützstellen die maximale Signalfrequenz ermitteln. Es bleibt aber trotzdem das Problem mit wieviel Oberwellen rechne ich, wie genau kann/muß der reproduzierbare Signalverlauf sein. Für eine Dreiecksfunktion z.B. gilt (w=Omega): Dreiecksfunktion: y(t) = -(2y/T)t+y für 0<=t<=T/2 und y(t) = (2y/T)-y für T/2<=t<=T Fourier-Reihe: y(t) = y/2 + 4y/pi^2 [ 1/1^2*cos(w0t) + 1/3^2*cos(3w0t) + 1/5^2*cos(5w0t) + ...] Letztlich muß man einen maximal zulässigen Fehler festlegen, und die maximale Differenz zwischen realem Signal und der Fourier-Reihe bestimmen. Wird der maximale Fehler eingehalten ok, ansonsten müssen weitere Summanden der Fourier-Reihe berücksichtigt werden. An Dell (Gast): Aufgrund Deiner Frage am Anfang liegt die Vermutung sicher nahe, daß Du mit der Mathematik rund um die Fourieranalyse nicht vertraut bist. Erhöhe einfach die Abtastfrequenz und verändere entsprechend die Grenzfrequenz des Tiefpasses, soweit das Du mit der Genauigkeit der reproduzierbaren Funktion zufrieden bist (Achtung Abstand der Abtastpunkte zu Signalspitzen). Aber wie gesagt, zu hohe Genauigkeitsanforderungen können die technischen Möglichkeiten Deiner Schaltung sprengen. Tschau Sven!
An Dell (Gast): Wenn Du nicht lange rechnen sondern das Problem messtechnisch lösen willst, könnte man mal folgende Schaltung ausprobieren. Verwende einen ADU und DAU mit paralleler Schnittstelle und kopple diese beiden direkt (ADU Ausgänge auf DAU Eingänge). Schalte beide so, daß sie permanent Daten einlesen bzw. ausgeben. Die Taktleitungen schließe an einen Taktgenerator an. Überprüfe mit einem Oszilloskope das ursprüngliche (ADU Eingang) und das synthetisierte Signal (DAU Ausgang). Der DAU sollte in einem Intervall, das der Abtastperiode entspricht, neue Daten ausgeben. Erhöhe die Frequenz des Taktgenerators bis Du mit der Darstellung des synthetisierten Signals zufrieden bist, aber nur soweit wie es unbedingt notwendig ist, sonst erhälst Du eine unnötig hohe Abtastfrequenz. Dem Datenblatt des ADU müßte zu entnehmen sein, wie die Taktfrequenz in die Abtastfrequenz umzurechnen ist. Wenn Du diese Beziehung kennst, kannst du mit Hilfe der Taktgeneratorfrequenz die Abtastfrequenz berechnen. Tschau Sven!
Weis nix hats voll getroffen! Glaub in diesem Punkt haperts bei vielen im Verständniss (war anfangs auch bei mir so...)
Endlich mal ein von Anfang bis Ende höchst informativer Thread! Vielen Dank an die vielen fachkundigen und fleißigen Poster. Der Themenstarter scheint sich leider aus der Diskussion entfernt zu haben (wie so oft der Fall), eure Abhandlungen helfen allerdings weitaus mehr Leuten "da draußen", als man zunächst annehmen könnte. Auch wenn der Fred bereits etwas älter ist, das musste ich einfach mal loswerden.
Ich schließe mich meinem Vorposten an: Herrlich dieser Thread! Ein wahrer Genuss! Grüße Sry für den vom Thema abweichenden Beitrag. Aber es ist alles gesagt und ein Lob muss einfach sein!
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