Boolesche Algebra mit größerer Trägermänge

[Peter (Gast)]

Hi,

die Boolesche Algebra beschränkt ja nicht auf 0 und 1, sondern kann ja 
auch viel größere Trägermengen besitzen. Ich verstehe nur nicht ganz, 
wie man dann genau damit rechnen soll.

Gegeben ist beispielsweise eine Boolesche Algebra mit 
({1,2,3,5,6,10,15,30}, kgV, ggT). Das kleinste gemeinsame Vielfache 
(kgV) und der größte gemeinsame Teiler (ggT) sind die Operatoren. Nehme 
ich nun an, dass 1 das neutrale Element der kgV-Operation ist und 30 das 
neutrale Element der ggT-Operation, wäre nach dem booleschen Axiom a | 0 
= a

a kgV 1 = a, setzt man z.B. 3 ein wäre das
3 kgV 1 = 3, das stimmt. 3 ist kgV von 1 und 3.

a ggT 30 = a, setzt man 6 ein wäre das
6 ggT 30 = 6, das stimmt auch. 6 ist ggT von 6 und 30.

Stimmt diese Rechenweise bis hierher erstmal, oder ist das mit den 
kgV-Operatoren quatsch und muss ich weiterhin UND, ODER und NICHT 
verwenden? Funktionieren würde sie ja (ja ich bin selbst etwas erstaunt) 
:-)

Außerdem: was ist mit dem inversen Element? Ein Operator ist dafür ja 
nicht gegeben, aber damit ist das doch garkeine Boolesche Algebra oder?

a kgV ~a = 1 müsste ja dann zutreffen, z.B.
3 kgV ~3 = 1

Hier kann ich jetzt allerdings nicht mehr folgen. Unter ~3 kann ich mir 
nichts vorstellen, woraus ich schlussfolgern könnte, ob das stimmt.

Hoffe mir kann jemand helfen :-)

Grüße
Peter

[yalu (Gast)]

> a kgV ~a = 1

Das stimmt nicht ganz:

a kgV ~a = 30 (= Einselement = neutrales Element bzgl. ggT)
a ggT ~a =  1 (= Nullelement = neutrales Element bzgl. kgV)

Inverses Element:

~a = 30/a

also bspw..

 ~5 =  6
 ~1 = 30
~15 =  2

[Christoph _. (chris)]

Das funktioniert so uebrigens nur, weil 30 = 2*3*5 ist, also jeder 
Primfaktor genau einmal auftaucht (man nennt 30 daher auch 
"quadratfrei").