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Forum: Analoge Elektronik und Schaltungstechnik kondensator über spannungsteiler laden


Autor: n00b (Gast)
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hallo leute,
ich stehe im moment grad etwas auf dem schlauch.
ich hab' folgendes problem:
ein kondensator wird über einen spannungsteiler geladen. ich weiss die 
grösse vom kondensator und die grösse von den widerständen. aber wie 
berechne ich jetzt die zeit, die der kondensator zum laden benötigt? die 
will ich nämlich wissen.
irgendwie kann ich mit den formeln grade nichts anfangen.... kann mir 
einer weiterhelfen?

Autor: AVRFan (Gast)
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Du könntest die Differentialgleichung des Ladevorgangs aufstellen und 
sie zu lösen versuchen.

Autor: STK500-Besitzer (Gast)
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e-Funktion oder würfeln...

Autor: Stefan Helmert (Firma: dm2sh) (stefan_helmert)
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Hallo,

vielleicht hilft das etwas: Du musst erst die Spannung des unbelasteten 
Spannungsteilers berechnen. Dann musst du den Widerstandswert berechnen, 
der beim Parallelschalten der beiden Widerstände rauskommt. 
Dannberechnest du das mit der e-Funktion so als hättest du eine 
Reihenschaltung aus Spannungsquelle (der berechneten Spannung), 
Widerstand und Kondensator.

Autor: HildeK (Gast)
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Die Zeit berechnet sich nach Tau= R*C, wie immer. Dann ist die Spannung 
bei ca. 63% des Maximalwertes.
Genau: Uc(t) = Uo * (1-e^(-t/Tau)).
Häufig nimmt man die Zeit 3*Tau, dann hat die Spannung annähernd den 
Endwert (~95%).
R ist hier (siehe  Stefan Helmert) der Wert aus der Parallelschaltung 
der Teilerwiderstände und Uo die Spannung am unbelasteten Teilerausgang.

@AVR-Fan
Wo ist hier die Differentialgleichung?

Autor: Kevin K. (nemon) Benutzerseite
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hilde, du hast die lösung der differentialgleichung gepostet ;)

Autor: HildeK (Gast)
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Ja, ich weiss!
Hätte vielleicht noch einen Smiley hinzufügen sollen ....

Autor: n00b (Gast)
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@AVRFan:
das mit der differentialgleichung klingt interessant. wie geht das? die 
formel für die spannung am kondensator kenne ich. uc(t) = u0 * (1 - 
e^(-t / tau)). das ableiten und gut ist? oder wie?

@stefan helmert:
also parallelschaltung der beiden widerstände, und dann das normal 
berechnen? wenn ich z.B. 2x 10k habe, dann rechne ich das genau so, wie 
wenn ich einen 5k widerstand als normalen vorwiderstand hätte?

danke jedenfalls für die zahlreichen antworten.

Autor: Thomas Ranseier (ziggy)
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> @AVRFan:
> das mit der differentialgleichung klingt interessant. wie geht das? die
> formel für die spannung am kondensator kenne ich. uc(t) = u0 * (1 -
> e^(-t / tau)). das ableiten und gut ist? oder wie?

Am Kondensator gilt:

ic(t) = C * d/dt(uc(t))

Mit dieser Gleichung, Kirchhoff und Ohm kannst du eine 
Differentialgleichung aufstellen mit uc(t) als gesuchte Spannung. Die 
wird dann mithilfe der Mathematik gelöst.

Autor: AVRFan (Gast)
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Problem A:
----------------------------------------------------------------
Spannungsquelle, Widerstand R und Kondensator C in Reihe. Die 
Spannungsquelle gibt die Spannung U(t) ab.
----------------------------------------------------------------

Für diese Schaltung kann man folgende vier Gleichungen aufstellen:

    UR + UC = U(t)

    QC = C UC

    I = QC'   (Strich <-> zeitliche Ableitung)

    UR = R I


Daraus kannst Du folgende Differentialgleichung (DG) gewinnen:

    R I + 1/C QC = U(t)

    I + 1/(R C) QC = 1/R U(t)

    I + 1/tau QC = 1/R U(t)      mit tau := R C   "Zeitkonstante"

Leitet man diese Gleichung einmal zeitlich ab, führt das auf

    I' + 1/tau QC' = 1/R U'(t)

    I' + 1/tau I = 1/R U'(t)

Fertig - das ist die gesuchte Differentialgleichung.

Läd man den Kondensator an einer konstanten Spannung U auf, oder entlädt 
ihn mit der konstanten Spannung 0, dann ist U'(t) = 0.  Die Gleichung 
vereinfacht sich in diesem Fall zu

    I' + 1/tau I = 0

Die Lösung dieser DG ist wohlbekannt:

    I(t) = I0 e^(-t/tau)

Mit der Kenntnis dieses Stroms kann man nun leicht die 
Kondensatorspannung UC(t) und alle anderen interessierenden Größen 
berechnen.


Problem B:
----------------------------------------------------------------
Spannungsquelle plus zwei Widerstände R1 und R2, die einen 
Spannungsteiler bilden (R1 oben, R2 unten). Kondensator C parallel zu 
R2. Die Spannungsquelle gibt die Spannung U(t) ab.
----------------------------------------------------------------

Dieses Setup wird durch diese sechs Gleichungen vollständig beschrieben:

    U1 + UC = U(t)

    QC = C UC

    IC = QC'

    U1 = R1 I     (I = Strom durch die Spannungsquelle = Strom durch R1)

    UC = R2 I2

    I = I2 + IC   (Knotenregel)

Diese Gleichungen kann man wieder zur DG verarbeiten.  Tut man dies 
(versuch dich doch selbst mal daran, es ist kaum schwieriger als die 
obige Herleitung), kommt man auf ein erstaunliches Ergebnis, nämlich:

    IC' + 1/tau IC = U'(t)

    mit tau = R° C

    mit  R° = 1/(1/R1 + 1/R2)

d. h. die DG ist exakt die gleiche wie bei Problem A!  Daraus folgt, 
dass der Kondensator sich bei konstanter Spannung U auch hier getreu der 
Strom-Funktion I(t) = I0 e^(-t/tau) auf- und entlädt.  Dies tut er mit 
der oben angegebenen Zeitkonstante tau = R° C.  Da sich bei der Rechnung 
R° zu 1/(1/R1 + 1/R2) ergibt, bedeutet dies, dass R1 und R2, was die 
Zeitkonstante tau betrifft, so wirken, als seien sie 
parallel(!)geschaltet.

Das wars. Alles klar? ;-)

Autor: n00b (Gast)
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Huiii, @AVRFan:
vielen Dank für die ausführliche Hilfe! :-D
ich versuch das morgen nachzuvollziehen. heute wird nichts mehr draus, 
muss mal pennen ;-) morgen muss ich früh aus den federn.
aber nochmals vielen dank!

Autor: 123 (Gast)
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@noob Nein die Formel für die Spannung die du kennst ist bereits die 
Lösung einer differential gleichtung

Von eine Dgl spricht man wenn in einer Gleichung eine Fkt und mehrere 
Ableitung der selbigen sind

z.B y(t)+dy(t)/dt ...= ...

Hier wäre auch wieder der Bildungshintergrund des Fragestellers 
interessant um eine passende Antwort zu geben.

Das Stichwort zur Antwort von Stefan Helmert ist Zweipoltheorie, wenn 
man die Schatlung in ein Ersatzspq. mit Innenwiderstand umwandelt ist 
die bereits Gepostete exp fkt. benutzbar mit dem Tau das jeder kennt.

Autor: mandrake (Gast)
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Wurde oben bereits angedeutet:

->Klemmen des Kondensators vom übrigen Netzwerk abtrennen.
->Restschaltung (Spannungsteiler und Spannungsquelle) mittels
Thevenin/Norton-Theorem in eine Ersatzspannungsquelle mit 
Innenwiderstand umrechnen.

siehe hierzu
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physikalische...
Abb. 3.91

->Zeitkonstante errechnen

Autor: Helmut Lenzen (helmi1)
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Man kann das ganze aber auch zuerst mit der komplexen Rechnung im 
Frequenzbereich beschreiben und dann das ganze mit hilfe der 
Laplacetransformation in den Zeitbereich umrechnen.

------ R1-----+------+----
              |      |
Ue            R2     C    Ua
              |      |
--------------+------+----

Fuer obige Schaltung ergibt sich folgende Uebertragungsfunktion im 
komplexen

Ua/Ue = H(jw) = R2 / (R1+R2+jw*R1*R2*C)  [1]

wir ersetzen jw durch s

Ua/Ue = H(s) = R2 / (R1+R2+s*R1*R2*C)    [2]

Wir stellen nach Ua um und setzen die Sprungfunktion ein.

Ua = Ue /s  * R2/(R1+R2+s*R1*R2*C)          [3]

In einer Transformationstabelle finden wir folgende Korrespondenz:

1/(s*(s+a))   =>   1/a * (1 - exp(-a*t))  [4]

Nun bringen wir Gleichung [3] auf diese Form:

Ua = Ue * 1/(C*R1)  * 1 / (s * ((R1+R2)/(C*R1*R2)) + s)

und erkennen das a = (R1+R2)/(C*R1*R2) ist

Nun ersetzen wir im Originalbereich das a durch diesen Ausdruck und 
erhalten:

Ua = Ue * R2/(R1+R2) * (1-exp(-(R1+R2)/(R1*R2*C) * t)

Wir erkennen in dieser Formel das der Zeitbestimmende Widerstand sich 
aus der parallelschaltung von R1 und R2 zusammensetzt  R1*R2/(R1+R2)

und das die Eingangsspannung um den Faktor R2/(R1+R2) geteilt wird.

ansonsten bleibt die Kurvenform der Aufladung des C's eine e-Funktion.

Gruss Helmi

Autor: AVRFan (Gast)
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>Fuer obige Schaltung ergibt sich folgende Uebertragungsfunktion im
>komplexen
>
>Ua/Ue = H(jw) = R2 / (R1+R2+jw*R1*R2*C)  [1]

Hübsch, aber wie kommst Du darauf? Warum sieht die gerade so aus?

Autor: Helmut Lenzen (helmi1)
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Aus der Wechselstromtechnik erhalten wir

Ausgangsgleichung:

              1
           ---------
            1
           -- + jw*C
Ua         R2
--- =  ------------------
Ue           1
          ----------  + R1
           1
           -- + jw*C
           R2

Umgestellt ergibt:

Ua         R2
--  =  ----------------
Ue     R1+R2+jw*R1*R2*C

Gruss Helmi

Autor: AVRFan (Gast)
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Aha, danke, einverstanden :-)

Aber das wirft natürlich die Frage auf, wie man denn beweisen kann, dass 
der komplexe Wechselstromwiderstand eines Kondensators ausgerechnet 1/(j 
w C) ist? ("Das steht in jedem Buch" gilt nicht als Antwort!)

Autor: Norgan (Gast)
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> Aber das wirft natürlich die Frage auf, wie man denn beweisen kann, dass
> der komplexe Wechselstromwiderstand eines Kondensators ausgerechnet 1/(j
> w C) ist? ("Das steht in jedem Buch" gilt nicht als Antwort!)

Doch, gilt. Da in vernünftigen Büchern auch die Herleitung steht, 
basieren auf den physikalischen Grundlagen. Statt auf das 
Gefüttert-Werden mit dem Silberlöffel zu bestehen könntest du mal eins 
lesen. Etwas Differenzialrechnung wird allerdings benötigt.

Ach, und warum die physikalischen Grundlagen so sind wie sie sind? Nun, 
das musst du mit deinem Gott oder an was auch immer du glaubst oder 
nicht glaubst klären.

Autor: Helmut Lenzen (helmi1)
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Ausgehend von der Formel:
     1
du = -  i  dt
     C

oder
            +-
        1   |
u(t) =  - * | i(t) * dt
        C   |
           -+

schreiben wir fuer sinusfoermige Wechselstroeme
                    +-
                1   |
us * sin (wt) = - * | is * sin(wt) * dt
                c   |
                   -+

nach der Integration erhalten wir:

us * sin(wt) = 1/(wC)  is  (-cos(wt))

wir ersetzen die Wechselgroessen

U = 1/(wC) * I

und stellen um

U/I = Xc = -1/(wc)

Gruss Helmi

Autor: AVRFan (Gast)
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>Doch, gilt. Da in vernünftigen Büchern auch die Herleitung steht,
>basieren auf den physikalischen Grundlagen. Statt auf das
>Gefüttert-Werden mit dem Silberlöffel zu bestehen könntest du mal eins
>lesen. Etwas Differenzialrechnung wird allerdings benötigt.

Danke für Deine freundliche Antwort.  Du hast leider nicht verstanden, 
worauf ich mit meiner Frage hinauswollte.

Weiter oben im Thread habe ich schon einen Beitrag geschrieben.  Dort 
habe ich gezeigt, wie man das Ergebnis, dass R1 und R2 für die 
Zeitkonstante tau wie parallel(!)geschaltet wirken, aus wenigen 
fundamentalen Gesetzmäßigkeiten (nämlich U = R I; Q = C U; Q' = I sowie 
die Maschen- und Knotenregel) herleiten kann, und zwar über die 
Differentialgleichung.

Später hat Helmut eine alternative Lösung angegeben, bei der er von der 
komplexen Übertragungsfunktion ausgeht und die Tatsache benutzt, dass 
1/a * (1 - exp(-a*t)) die Laplace-Transformierte von 1/(s*(s+a)) ist.

Was ist dazu zu sagen?

Nun, Helmuts Rechnung ist zwar nicht gerade elementar, aber mathematisch 
einwandfrei. Allerdings benutzt er darin einen Zusammenhang, nämlich XC 
= 1/(j w C), für dessen Beweis man genau ebenjene 
Differentialgleichung heranziehen müsste, die ich direkt und mit einer 
viel einfacheren Rechnung zur Lösung verwendet habe.  Letztlich führt 
sozusagen kein Weg um die DG herum. Man kann es nur mehr oder weniger 
kompliziert rechnen. Darauf wollte ich hinaus.

Autor: AVRFan (Gast)
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@Helmut: Danke!

>Ausgehend von der Formel:
>     1
>du = -  i  dt
>     C

Lächel... aber das ist ja genau das, woraus ich (nebst weiteren 
fundamentalen Zusammenhängen) die Lösung direkt hergeleitet habe :-) 
Schau oben im Thread, da findest Du:

    QC = C UC

    IC = QC'

Das macht zusammen Deine Ausgangsformel.

Deine Lösung mit der komplexen, laplacetransformierten 
Übertragungsfunktion ist natürlich ebenfalls mathematisch korrekt und 
führt zum richtigen Ergebnis, und ist darüberhinaus ein schönes Beispiel 
für die Anwendung der Laplacetrafo.  Nochmals merci für Deine Geduld mit 
mir ;-)

Autor: Helmut Lenzen (helmi1)
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Bei einfachen Sachen mit einem Energiespeicher kann man das mit einer 
DGL machen und direkt den zusammenhang erkennen da muss ich dir Recht 
geben. Bei mehr als einem Energiespeicher bietet die 
Laplacetransformation allerdings den Vorteil des geringeren 
Rechenaufwandes da man die Schaltung einfach mittels der Kirchhoffschen 
Gesetze und der komplexen Rechnung beschreiben kann und danach mittels 
Transformationstabelle die Loesung im Zeitbereich erhaelt.

Gruss Helmi

Autor: mandrake (Gast)
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Hallo Helmi!

Einwandfrei hergeleitet. Man kann den Blindwiderstand mit Hilfe der 
Fourier bzw. Laplacetransformation auch noch einfacher herleiten:

Unter Verwendung der Korrespondenzen:

und


Aus der Diffrentialbeziehung

wird über die Transformation

Durch umformen entsprechend R=U/I kommt man dann auf

Die komplexe Impedanz der Spule kann man analog dazu gewinnen.

Gruß

Mandrake

Autor: Helmut Lenzen (helmi1)
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@Mandrake

Auch gut hergeleitet.  AVRFan wollte aber das aber elementarer 
hergeleitet haben.

Und wie machen wir jetzt weiter ?

Mit Schaltungen mit 2 Energiespeichern ?


Gruss Helmi

Autor: n00b (Gast)
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Hey,
ich habs jetzt mal ausprobiert.
Also die Aussage, dass die Widerstände so wirken, als seien sie parallel 
geschaltet, stimmt. Es dauert jeweils gleich lange, den Kondensator zu 
100% zu laden, egal ob er jetzt an einem Spannungsteiler hängt (mit z.B. 
2 x 10k) oder an einer Parallelschaltung von 2 Widerständen (z.B. 2 x 
10k).
Aber ich muss irgendwo einen Denkfehler gemacht haben.
Also Grundsätzlich geht es um folgendes:
Ein 100 uF-Kondensator wird über einen Spannungsteiler, der mit 15V 
gespiesen wird, aufgeladen. Bis der Kondensator geladen ist, soll es 2-3 
sec dauern.
Wenn man die Speisung ausschaltet, dann soll der Kondensator dann 
möglichst schnell wieder entladen werden.
Ich hab das mal so versucht, in dem ich festgelegt habe: entladedauer = 
1 sec. Dann bin ich auf einen R2 (vom Spannungsteiler) von 2k gekommen. 
Damit das Laden aber 2 sec dauert, muss der Gesamtwiderstand (also die 
Parallelschaltung aus R2 und R1 des Spannungsteilers) 4k betragen. Und 
das geht ja nicht, wenn der R2 schon 2k ist.

Worin liegt mein Denkfehler?
(übrigens: kann sein, dass die Werte 2k / 4k nicht wirklich stimmen, es 
wurde gestern Abend noch spät und ich bin mir nicht mehr sicher, ob ich 
wirklich 2k und 4k bekommen habe, aber muss was in der Richtung sein 
;)).

Die Spannung, auf die der Kondensator geladen wird, soll mindestens 700 
mV betragen.

Autor: Helmut Lenzen (helmi1)
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----------+-------+
          |       |
          R      ---
          |       ^  Diode
          |       |
          +-------+
          |
         ---
         ---  C
          |
----------+

Versuch mal diese beschaltung. Die Diode entlaed den C beim abschalten 
der Betriebspannung. Aufladung ueber R


Gruss Helmi

Autor: n00b (Gast)
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@Helmut:
Das klappt aber nur, wenn die Quelle 0V ausgibt, wenn man sie 
ausschaltet. Aber wenn jetzt ein Schalter in der Leitung ist...

Autor: Helmut Lenzen (helmi1)
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Hast du da sonst keine Verbraucher an der Versorgung ?
Um was fuer eine Anwendung handel es sich den ?

Gruss Helmi

Autor: 123 (Gast)
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@noob ich denke mal das es so gemeint ist das die Spannungsquelle weg 
genommen wird, dann bleibt sowas übrig:
 ----R1---------------
         |     |
        R2     C
         |     |
 ---------------------
Für das entladen ist dann nur noch R2 verantwortlich.

Also: erst aus der entlade Dauer R2 berechnen
      dann aus lade Dauer und R2, R1 berechnen

Autor: AVRFan (Gast)
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>Bei mehr als einem Energiespeicher bietet die
>Laplacetransformation allerdings den Vorteil des geringeren
>Rechenaufwandes [...]

D'accord, da hast Du recht.  Bei schwierigen Problemen ist man mit dem 
Einsatz leistungsfähiger Werkzeuge gut beraten (und das nicht nur in der 
Mathe...).

Autor: AVRFan (Gast)
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@n00b:

Wie wäre es damit (S = Schalter, D = Diode, R2 groß, R1 klein)? Das 
Laden erfolgt langsam über R2 (D sperrt), das Entladen schnell über D 
und R1.  Der Nachteil dieser Schaltung ist, dass der niederohmige 
Widerstand R1 stets die Spannungsquelle belastet, sobald der Schalter 
geschlossen ist (--> keine gute Lösung für ein batteriebetriebenes 
Gerät).

                  D
             +---|<|---+
       /     |         |
  +--o/  o---o---[ ]---o----
  |    S      |    R2   |
  |          |         |
  O          |         |
U         R1[ ]     C ===
  O          |         |
  |          |         |
  |          |         |
  +----------o---------o----

Wenn sich die Ladezeit von der Entladezeit unterscheiden soll, kommst Du 
übrigens nicht um den Einsatz einer Diode (oder eines Bauelements, das 
wie eine Diode wirkt) herum.

Autor: Michael G. (linuxgeek) Benutzerseite
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Also manchmal finde ich es nicht nett wie ihr hier teilweise Neulinge 
verarscht... ne? Mandrake hat wenigstens die Mathematikfunktion 
entdeckt.
Das Aequivalenzsymbol, das Du gesucht hast (<=>) schreibt sich als 
\Leftrightarrow

Autor: mandrake (Gast)
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Eigentlich wollte ich ein Korrespondenzsymbol haben, nur muss man sich 
das selber zusammenbauen. Und in meine Makros wollte ich nicht extra 
reinschauen wie ich es da gemacht habe. Ich denke man kann erkennen was 
ich meine.
Trotzdem Danke für deine Info.

Autor: Michael G. (linuxgeek) Benutzerseite
Datum:

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Meinst Du den hier: \Longleftrightarrow

Autor: n00b (Gast)
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Also die Anwendung ist eine einfache Zeitverzögerung (wow, da wärt ihr 
nicht drauf gekommen ;)).
Beim Einschalten des Netzteils soll die Last erst nach ca. 1-3 s 
zugeschaltet werden, und das ganze soll auch noch zuverlässig 
funktionieren, wenn man die Last schnell schaltet.
Also habe ich mir überlegt dass man das so machen könnte - Kondensator 
wird geladen, die Spannung über dem Kondensator wird der Basis eines 
Transistors zugeführt, und der schaltet dann ein Relais ein, welches die 
definitive Last schaltet.

@123:
Also ich berechne tau (R * C), wenn ich weiss, dass t_entlade = 5  R  
C ist. t_entlade kenne ich ja (bzw. kann ich beliebig festlegen). Daraus 
kann ich R errechnen, wenn ich C kenne, und weiss somit nachher den 
Widerstand parallel zum Kondensator.
Jetzt muss ich noch einen Widerstand berechnen, der so gross ist, dass 
er, wenn man ihn parallel zum vorherigen Widerstand schaltet, der 
Kondensator innerhalb der gewünschten Zeit geladen wird. Richtig?

Autor: Helmut Lenzen (helmi1)
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Hallo n00b (Gast)


Versuch doch mal diese Schaltung.  Da ist ein Resetgenerator fuer uC 
drin das duerfte fuer dich das passende sein. Verzoegerung von ca. 3 Sec 
und danach entlaedt er den Kondensator wieder.

Gruss Helmi

Autor: n00b (Gast)
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danke Helmut.
Ich werd das so machen.
Mich wurmt es aber immer noch, dass ich das mit dem Kondensaotor nicht 
berechnen kann.... Ich begreife es einfach nicht. Dabei ist es doch nur 
ein popeliger Spannungsteiler mit nem Kondensator dran!

Autor: Helmi (Gast)
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Das kannst du deshalb nicht berechnen weil es entgegengesetzte 
Anforderungen sind die sich ausschliessen.

Wenn dein Widerstand zum entladen der parallel zum C haengt eine kürzere 
Zeitkonstante haben soll als der Widerstand zum laden des C dann geht 
das nicht. Weder mathematisch berechen bar noch technisch ausführbar.


Gruss Helmi

Autor: AVRFan (Gast)
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>Mich wurmt es aber immer noch, dass ich das mit dem Kondensaotor nicht
>berechnen kann.... Ich begreife es einfach nicht. Dabei ist es doch nur
>ein popeliger Spannungsteiler mit nem Kondensator dran!

Worin besteht denn Dein Problem genau?

Für den Kondensator an dem Spannungteiler (R1 oben, R2 unten, C parallel 
zu R2, U zeitlich konstant) gilt:

(1) Die Ladespannung des Kondensators ist die "Spannungsteilerspannung"
    U R2/(R1 + R2).

(2) Der Kondensator läd und entläd mit derselben (!) Zeitkonstante
    tau = R° C
    wobei R° der Parallelschaltungsersatzwiderstand (!) von R1 und R2 
ist:
    R° = R1 R2 / (R1 + R2).

Damit ist eigentlich alles gesagt.  Wenn Du unterschiedliche Lade- und 
Entladezeiten wünschst, kommst Du - wie schon erwähnt - um den Einsatz 
einer Diode nicht herum.

Autor: n00b (Gast)
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Aaaha, danke.
das wollte ich wissen ;) herzlichen Dank für die Hilfe.

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