SNR Bestimung eines Filters

[Thorsten (Gast)]

Ein Eingangssignal x(k) von einem System setzt sich zusammen aus dem 
Nutzsignal s(k) und Störsignal r(k):

x(k) = s(k) + r(k)

Die beiden Signale haben folgende Eigenschaften:

s(k) = 5*sin(wo*k*T+18°)
r(k) = 2*sin(w1*k*T+23°)+sin(w2*k*T+28°)

Die Abtastfrequenz ist fs=12kHz. Zur Filterung wird ein digitales Filter 
mit
der folgenden Übertragungsfunktion eingesetzt:

        z*(1+q)
G(z) = ---------
         z-q

Wie berechnet man das Signal to Noise Ratio (SNR) am Eingang des 
Filters?
Das SNR ist folgendermaßen definiert:

          [Effektivwert Nutzsignal]
SNR=20*log-------------------------
          [Effektivwert Störsignal]

Wie berechnet man das SNR am Ausgang des Filters für den Fall q=0.8?

[Alex (Gast)]

Eine Variante:

1. Überführe die Übertragungsfunktion in die Laplace-Ebene.
2. Setze s bzw. p = jw und bestimme die Dämpfung bei w0, w1 und w2.
3. Damit kennst du dann die gefilterten Amplitudenwerte der Signale.
4. Berechne Effektivwert der Signale.
5. Nutze SNR Formel.

Vorrechnen werde ich es dir aber nicht, muss meine Hausaufgaben auch 
selbst erledigen :)

[Thorsten (Gast)]

Die Frequenzen sind:

fo=1kHz
f1=2kHz
f3=3kHz

Wenn ich den Effektivwert am EIngang berechnen will, dann muss ich x(k) 
ausrechnen. Muss ich dabei k NULL setzen? Wenn ja dann müsste ich nur 
dies berechnen:

x(k) = 5*sin(18°)+2*sin(23°)+sin(28°) = 1.55995

x(k) --> X(z)= 1.55995

In der Übertragungsfunktion setzte ich dann für z=e^(jwt) ein.

        z*(1+q)
G(z) = ---------
         z-q

        e^(jwt) * 1.8
G(w) = ---------------
        e^(jwt) - 0.8

[Thorsten (Gast)]

Wenn ich x(k) berechnet habe, muss ich dies noch mit der 
Übertragungsfunktion multiplizieren?
Für die Berechnung des SNR am Eingang, welchen Wert muss ich dann für k 
nehmen?

[Thorsten (Gast)]

Hier handelt es sich nicht um einen analogen Filter. Das ist ein 
digitaler Filter. Für z muss ich e^(jwt) einsetzen.

[Thorsten (Gast)]

G(z) = Y(z) / X(z)

nach Y(z) umgestellt:

Y(z) = G(z) * X(z)

Dies bedeutet doch ich muss das x(k) in den Z-Bereich transformieren und 
mit G(z) multiplizieren. Die oben angegebenen Frequenzen fo,f1,f2 muss 
ich diese auch in die e-Funktion z=e^(jwt) einsetzen?

[Alex (Gast)]

Oje, da hat aber jemand das Semester über geschlafen ...

Alternative Lösungsvariante:

fs / fo = 12
fs / f1 = 6
fs / f2 = 4

Da die Samplefrequenz ein ganzzahliges Vielfaches ist kannst du also 
einfach 12 Samples von s(k) und r(k) berechnen, also einfach k=0, ..., 
11 in die gegebene Formel einsetzen.
Dann hast du 12 Werte für s(k) und 12 Werte für r(k).

       (1+q)        Y(z)
G(z) = ---------- = ----
       1-q*z^(-1)   X(z)

Y(z) * (1-q*z^(-1)) = (1+q) * X(z)

Y(k) = (1+q) * X(k) + q * Y(k-1)

In obige Gleichung kannst du für X(k) die Samples von s(k) bzw. r(k) 
nacheinander einsetzen und s'(k) bzw. r'(k) berechnen.

Dann noch die Effektivwerte der Samples vor bzw. nach der Filterung 
ausrechnen und das war es.

[Joachim S. (Gast)]

Meine Güte. Wo warst du eigentlich die letzten 6 Semester?

Was ist der Effektivwert eines Sinus?

$$s(k)= 5*sin(w_0*k*T+18^\circ)$$

Die Phase spielt überhaupt keine Rolle für den Effektivwert. Vielleicht 
nochmal das Script von GET2 bemühen.

$$s_{eff} = \frac{5}{\sqrt{2}}$$

$$r(k) = 2*sin(w_1*k*T+23^\circ)+sin(w_2*k*T+28^\circ)$$

Im Grundstudium lernt man irgendwann mal, dass Effektivwerte quadratisch 
addiert werden.

$$r_{eff} = \sqrt{\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}$$

$$SNR_E = 20*\log{\frac{s_{eff}}{r_{eff}}}$$

Was haben wir im zweiten Semester gelernt: Ein Sinus geht durch ein 
System und es verändert sich nur der Betrag und die Phase, sonst nichts!
Also Übergang z->jw:

$$G(w) = \frac{e^{jwT}(1+q)}{e^{jwT}-q}$$

So nun benutzen wir mal etwas unser Gedächnis und wenn es da ziemlich 
dunkel ist bemühen wir eine Formelsammlung und finden:

$$e^{jx}=\cos(x) + j\sin(x)$$

Damit vereinfachen wir nun G(w) und setzen dann nacheinander für w w0, 
w1 und w2 ein. Damit erhalten wir also die Amplitude eines Sinus der 
durch das System hindurchgeht bei der entsprechenden Frequenz.
Jetzt noch s_eff und r_eff berechnen und fertig ist das SNR am Ausgang.

[Thorsten (Gast)]

Müsste ich nachdem ich die Amplitude nach dem Filter ermittelt habe, 
noch jeweils die Faktoren 5 oder 2 oder 1 multiplizieren?
Das Nutzsignal wird ja mit 5*sin(wt) gebildet.
Sowie das Störsignal mit 2*sin(wt+Phase) + 1*sin(wt+Phase).