Immer wieder werden in diesem und anderen Foren Aufgaben des folgenden
Typs gestellt:
"Bei einem geometrischer Körper (Würfel, Pyramide usw.) ist an jeder
Kante ein 1-Ohm-Widerstand angebracht. Die Widerstände sind an den
Ecken des Körpers miteinander verlötet. Wie groß ist der Gesamtwider-
stand zwischen den Ecken A und B?"
So bspw. auch hier:
Beitrag "Vierseitige Widerstandspyramide"
Nachdem mittlerweile viele den Dreh heraus haben, wie man diese Aufgaben
mit geringem Rechenaufwand löst, möchte ich hier eine weitere 1-Ohm-Kno-
belei vorstellen, bei der es im Gegensatz zur obigen Aufgabe nicht um
Netzwerkanalyse, sondern -synthese geht:
Grundproblem:
1
Gesucht ist eine aus mehreren 1-Ohm-Widerständen zusammengesetzte Zwei-
2
polschaltung mit der Eigenschaft, dass beim Anlegen einer Spannung an
3
die Schaltung der Strom in allen Einzelwiderständen unterschiedlich und
4
von null verschieden ist.
Verschärfte Variante:
1
Gleiche Aufgabe wie zuvor, zusätzlich soll aber der Gesamtwiderstand des
2
Zweipols ebenfalls 1 Ohm sein.
Das Rätsel ist nicht neu, trotzdem dürfte es für die meisten, die es
noch nicht kennen, nicht ganz leicht sein, die richtigen Suchbegriffe
für eine Internetrecherche zu finden ;-)
@Martin:
In R1 und R3 fließt der gleiche Strom, da die beiden Widerstände
parallel liegen. In der Simulation wird I(R3) zwar negativ angezeigt,
das liegt aber nur an der Pfeilrichtung der Ströme, die frei definierbar
ist. Auch zwei "antiseriell" geschaltete Widerstände hätten auf diese
Weise ungleiche Ströme, was aber nicht im Sinne der Aufgabe ist.
Vielleicht hätte ich in der Aufgabenstellung schreiben sollen
... dass beim Anlegen einer Spannung an die Schaltung der Strom in allen
Einzelwiderständen betragsmäßig unterschiedlich ... ist.
Martin schrieb:> das ist wirklich empörend, erst eine Aufgabe stellen und dann, nach dem> eine erstklassige Lösung präsentiert wird - diese zu erweitern.
Naja, ich dachte, es ginge aus dem Kontext klar hervor, dass mit "Strom"
der Betrag des Stroms gemeint ist, denn:
- Wenn im Datenblatt eines Widerstands die "maximal zulässigen Spannung"
mit 1000V angegeben ist, impliziert das ja auch, dass in Wirklichkeit
der Betrag der Spannung diesen Wert nicht überschreiten darf.
- Man könnte auch behaupten, eine Schnecke würde sich mit höherer Ge-
schwindigkeit fortbewegen als ein Gepard, weil man die Pfeilrichtung
so wählen kann, dass beide Geschwindigkeiten negativ zählen.
- Es ist durchaus Usus, bei physikalischen Größen das "betragsmäßig"
wegzulassen, wenn keine Pfeile, Vektoren o.ä. im Spiel sind.
Trotzdem möchte ich mich für die nicht ganz präzise Formulierung
entschuldigen.
> Diese Schaltung (siehe Anhang, wieder mit 1000 Ohm, immer noch zu> faul) sollte den neuen Kriterien genügen.
Super, das ging ja flott!
Es gibt übrigens noch eine weitere Schaltung mit ebenfalls 9 Widerstän-
den, die die Kriterien erfüllt.
Ich bitte auch darum noch nicht aufzulösen. Leichter wäre es wenn man
wüßte wieviele Lötstellen man mindestens braucht.
Prinzipiell wäre mein erster Lösungansatz:
Gibts die Möglichkeit LTSpice mit Textdateien zu füttern die eine
Schaltung darstellen und dann das Ergebnis der Ströme und den
Gesamtwiderstand zurückliefern? Wenn ja würde ich gern mein
Graphenansatz implementieren
Also sowas wie:
Knoten 0 1 2
Widerstand 0 1 1-Ohm
Widerstand 0 2 1-Ohm
Widerstand 1 2 1-Ohm
Spannung 0 1 5-Volt
Hallo,
klar geht das.
Mach mal einen Schaltplan auf.
View -> SPICE Netlist
Das ist die Datei .net in deinem Verzeichnis.
Nenne deine SPICE-Datei besser name.cir .
Alle Zeilen die mit * beginnen sind Kommentar für (LT-)SPICE.
Der Inhalt von "test.cir" sieht dann so aus.
* 1. Zeile ist immer Kommentar in SPICE-Netzlisten
R1 100 200 1k
R2 200 400 1k
R3 400 0 1k
* Beliebige Komemntarzeile
V1 100 0 10
* Ein Simulations-Kommando
.op
.end
Diese Datei mit LTspice öffnen und RUN drücken.
Statt Knotennummern kannst du auch Namen verwenden.
Helmut
Ich habe noch zwei andere Zweipole gefunden. Meine Idee bei der
Herleitung war es, zunächst mit acht Widerständen etwas Symmetrisches zu
bauen und dann mit dem neunten Widerstand gezielt die Symmetrie zu
stören.
Vom Ersatzwiderstand sind meine beiden Entwürfe gleich. Interessant wird
es, wenn man bedenkt, daß mein Zweipol einen Widerstand aufweist, der
etwas größer ist als 1R, der Zweipol von Martin aber etwas kleiner ist
als 1R. Vielleicht man durch geschicktes Kombinieren beider Versionen es
schaffen, den Ersatzwiderstand auf 1R zu drücken?
Kai Klaas
Kai Klaas schrieb:> Ich habe noch zwei andere Zweipole gefunden.
Nein, nur einen, aber auf unterschiedliche Art und Weise gezeichnet :)
> Vom Ersatzwiderstand sind meine beiden Entwürfe gleich.
Kein Wunder ;-)
Auf jeden Fall gebührt aber auch dir ein Lob, denn das ist ist die oben
erwähnte zweite Lösung mit 9 Widerständen.
> Interessant wird es, wenn man bedenkt, daß mein Zweipol einen> Widerstand aufweist, der etwas größer ist als 1R, der Zweipol von> Martin aber etwas kleiner ist als 1R. Vielleicht man durch geschicktes> Kombinieren beider Versionen es schaffen, den Ersatzwiderstand auf 1R> zu drücken?
Könnte sein, ich wüsste aber nicht, wie.
Aber etwas anderes geht, was auch ganz interessant ist: Deine Schaltung
hat einen Gesamtwiderstand von 33/32 Ω. Es gibt noch eine weitere Schal-
tung aus 9 Widerständen, bei der in den Einzelwiderständen jeweils exakt
der gleiche Strom fließt wie in deiner¹, die aber einen Gesamtwiderstand
von 32/33 Ω hat. Entsprechend gibt es auch zu Martins Schaltung mit
einem Gesamtwiderstand von 61/69 Ω ein Gegenstück mit 69/61 Ω.
Wenn man diese "verwandten" Schaltungen, nicht aber Spiegelungen und
Umzeichnungen mitzählt, gibt es insgesamt genau 4 Lösungen mit der
minimalen Anzahl von Widerständen (nämlich 9) für die erste Aufgabe.
Das behauptet zumindest ein kleines Python-Programm, das ich zum Suchen
der Lösungen angefertigt habe.
Da fällt mir gerade ein, was Teil 3 der Aufgabe sein könnte:
1
Wie kann aus einer Schaltung mit dem Gesamtwiderstand Rg ihr Gegenstück
2
mit Rg' = 1Ω²/Rg zielgerichtet ohne Try & Error konstruiert werden?
Diese dritte Aufgabe ist wesentlich leichter als die zweite (die ver-
schärfte aus dem Anfangsbeitrag). Letztere scheint so sauschwer zu sein,
dass ich mich fast schäme, sie gestellt zu haben. Ich kenne zwar mehrere
Lösungen, die sich auch leicht verifizieren lassen, habe es aber bisher
weder mit Brain- noch mit Computing-Power geschafft, den Weg dorthin zu
finden. Aber vielleicht habe ich ja auch nur ein Brett vor dem Kopf ;-)
Das oben erwähnte Python-Programm, das alle 4 Lösungen mit 9 Widerstän-
den und beliebigem Gesamtwiderstand in etwa 0,5 Sekunden geliefert hat,
rechnet bei vorgegebenem Gesamtwiderstand (1Ω) wohl um Größenordnungen
länger als meine Geduld.
Gerade eben habe ich eine Webseite gefunden, von der offensichtlich
schnelle Programme zur Lösung des Problems als Quellcode heruntergeladen
werden können. Ich habe die Seite aber schnell wieder weggeklickt, da
ich selber auch noch ein wenig Knobeln möchte :)
Edit:
¹) wenn man als Versorgung statt einer Spannungsquelle eine Stromquelle
nimmt, die genau so viel Ampere hat wie die Spannungsquelle Volt.
Siehe auch Beitrag "Re: Widerstandsknobelei"
Mh jo das ist wirklich ne harte Nuss. Wenn man wüßte dass es mit mind. 9
geht oder die Anzahl der Lötstellen wüßte, wüßte man schonmal in welche
Richtung man stochern könnte :D
Ich meine soooo viele Möglichkeiten gibt es ja nicht 9 Widerstände zu
verschalten.
Na warte, vielleicht finde ich auch nochmal eine Nuss für die du länger
als nen Tag brauchst :P
>> Ich habe noch zwei andere Zweipole gefunden.>>Nein, nur einen, aber auf unterschiedliche Art und Weise gezeichnet :)>>> Vom Ersatzwiderstand sind meine beiden Entwürfe gleich.>>Kein Wunder ;-)
Bist du sicher? Schau noch mal genau: Auf der rechten Seite eines jedes
Schemas sind jeweils die symmetrischen 8 Widerstände, in gleicher
Schaltung. R7 dagegen wird mit dem unteren Pin an zwei unterschiedlichen
Knoten fest gemacht. Für mich sind das zwei unterschiedliche
Schaltungen. Oder übersehe ich was??
Es ist übrigens ganz einfach, aus (einer) meiner gefundenen Lösung eine
andere Lösung zu finden: Man schaltet einfach zwei dieser Schaltungen
mit 9 Widerständen untereinander, also in Serie, verbindet aber den
oberen Pin der Kopie von R7 ebenfalls mit der 1V-Versorgung. Diese
Lösung hat dann natürlich 18 Widerstände.
>Ich kenne zwar mehrere Lösungen, die sich auch leicht verifizieren>lassen, habe es aber bisher weder mit Brain- noch mit Computing-Power>geschafft, den Weg dorthin zu finden.
Gib mal einen Tipp: Wie viele Widerstände besitzt denn die einfachste
von diesen Lösungen? Also, es werden 1R Widerstände verwendet und der
Ersatzwiderstand muß ebenfalls 1R sein, nicht wahr?
Kai Klaas
Kai Klaas schrieb:>> Nein, nur einen, aber auf unterschiedliche Art und Weise gezeichnet :)> ...> Bist du sicher?
Ja, siehe Anhang.
> Es ist übrigens ganz einfach, aus (einer) meiner gefundenen Lösung eine> andere Lösung zu finden: Man schaltet einfach zwei dieser Schaltungen> mit 9 Widerständen untereinander, also in Serie, verbindet aber den> oberen Pin der Kopie von R7 ebenfalls mit der 1V-Versorgung. Diese> Lösung hat dann natürlich 18 Widerstände.
Ok, das wäre dann eine weitere Lösung. Es war ja nicht nach der minima-
len Anzahl von Widerständen gefragt.
> Also, es werden 1R Widerstände verwendet und der Ersatzwiderstand muß> ebenfalls 1R sein, nicht wahr?
Genau.
Kai Klaas schrieb:> Gib mal einen Tipp: Wie viele Widerstände besitzt denn die einfachste> von diesen Lösungen?D. I. schrieb:> Wenn man wüßte dass es mit mind. 9 geht oder die Anzahl der Lötstellen> wüßte, wüßte man schonmal in welche Richtung man stochern könnte :D
Hmm, gerade wollte ich die minimale Anzahl von Widerständen und Knoten
nennen, als der Einwurf von Martin kam:
Martin schrieb:> Keine weiteren Tipps, bitte.
Martin, wie es scheint, bist du hart an der Sache dran. Beschreib doch
mal kurz, was gerade dein Stand ist. Hast du die ultimative Netzwerk-
theorie aufgestellt und lässt sie jetzt auf das Problem los? Oder hast
du den Killersuchalgorithmus geschrieben, musst aber deinen PC-Prozessor
mit Eiswürfeln kühlen, damit er in der verbleibenden Stunde Rechenzeit
nicht verglüht?
Z. Z. bin ich an einem Programm (PASCAL), dass Netzwerke von
Widerständen erzeugt und dann den Gesamtwiderstand berechnet. Also:
brutaler Angriff auf das Problem.
Zuerst habe ich versucht das Netzwerk durch stures & pures Nachdenken
und dem Aufstellen von Regeln zu finden (keine Parallelschaltung, keine
Reihenschaltung, usw. usf.). Hat leider nicht zur Lösung geführt :(
Eddy Current schrieb:> Nein, er steht gerade in der Schlange beim Computer-Dealer und holt sich> nen 8-Zylinder... :-)
:D
Martin schrieb:> Z. Z. bin ich an einem Programm (PASCAL), dass Netzwerke von> Widerständen erzeugt und dann den Gesamtwiderstand berechnet.
Das ist schon einmal ein guter Ansatz.
> Also: brutaler Angriff auf das Problem.
Aber sei gewarnt: Das Problem schlägt genauso brutal zurück, nämlich mit
einer sehr großen Anzahl zu untersuchender Netzwerke ;-)
> Zuerst habe ich versucht das Netzwerk durch stures & pures Nachdenken> und dem Aufstellen von Regeln zu finden (keine Parallelschaltung, keine> Reihenschaltung, usw. usf.). Hat leider nicht zur Lösung geführt :(
Ich glaube, erst die Kombination deiner beiden Vorgehensweisen führt zum
Ziel. Stupides Brute Force würde bei n Knoten die von D. I. gepostete
Zahl von 2^((n²-n)/2) Netzwerken durchrechnen:
1
n 2^((n²-n)/2)
2
————————————————————————————————————————————————
3
2 2
4
3 8
5
4 64
6
5 1 024
7
6 32 768
8
7 2 097 152
9
8 268 435 456
10
9 68 719 476 736
11
10 35 184 372 088 832
12
11 36 028 797 018 963 968
13
12 73 786 976 294 838 206 464
14
13 302 231 454 903 657 293 676 544
15
14 2 475 880 078 570 760 549 798 248 448
16
15 40 564 819 207 303 340 847 894 502 572 032
17
————————————————————————————————————————————————
Für jedes dieser Netzwerke muss zur Bestimmung der Knotenpotentiale ein
Gleichungssystem mit n-2 Gleichungen mit der Komplexität O(n³) gelöst
werden. Wenn dies ein PC für n=8 in akzeptabler Zeit gerade noch
schafft, braucht er für n=10 schon mehr als die 250 000-fache Zeit.
Unter den nach diesem einfachen Verfahren bestimmten Netzwerken sind
natürlich sehr viele mehrfach vorhanden bzw. für die Aufgabe gar nicht
relevant, weil sie bspw. keinen geschlossenen Stromkreis bilden. Erst
wenn man die Anzahl der weiter zu untersuchenden Netzwerke massivst
reduziert, hat der PC eine Chance, die Lösung zu finden. Hierfür hilft
intensives Nachdenken.
Vielleicht hast du in deinem Algorithmus ja schon ein paar geniale Ideen
verwirklicht. Trotzdem wäre es sicher auch für dich von Vorteil, wenn du
die Anzahl der Widerstände und Knoten vorab wüsstest. Denn zum einen er-
fordert die Aufgabe dadurch nicht viel weniger Intelligenz, zum anderen
vermeidest du, wiederholt in immens zeitraubende Sackgassen zu laufen.
Angenommen, dein erster Algorithmus würde alle Netzwerke mit 7 Knoten in
einer Stunde durchlaufen. Aber erst nach 8 Tagen Rechenzeit kämst du
vielleicht zum Schluss, dass auch 8 Knoten nicht reichen. Was nun? Das
Programm weiterrechnen lassen? Aber wie lange noch? Oder erst optimie-
ren? Aber wieviel Antrengung musst du noch hineinstecken?
Wenn du hingegen ungefähr weißt, wo die Lösung liegt, kannst du schon
nach einer Minute Laufzeit grob abschätzen, ob dein Programm eher Stun-
den, Tage, Monate, Jahre oder Jahrmillionen brauchen wird und kannst
ggf. den Algorithmus schon vor dem zeitintensiven Komplettdurchlauf
geeignet verbessern.
Ich habe mein eigenes Suchprogramm vorläufig stillgelegt, weil ich nicht
einmal die Spur einer Chance sehe, das es die Lösung in weniger als 8
Stunden (das ist mein Limit für solche Späßchen) findet ;-)
Soll ich nun die Anzahl der Widerstände und Knoten verraten?
Martin schrieb:> ... Soll ich nun die Anzahl der Widerstände und Knoten verraten? ...>> NEIN!
Der Thread beginnt langsam etwas auf der Stelle zu treten. Wie lange
brauchst du denn noch voraussichtlich?
... Der Thread beginnt langsam etwas auf der Stelle zu treten. Wie lange
brauchst du denn noch voraussichtlich? ...
Das Wochenende will ich noch nutzen. Auf der Stelle treten kannst du so
nicht sagen: im "Rennen" sind ja nur Kai und ich.
Warte bitte bis Montag und dann poste die Lösung.
>Ja, siehe Anhang.
Ja, natürlich! Hatte ich nicht gesehen...
>Ok, das wäre dann eine weitere Lösung. Es war ja nicht nach der minima->len Anzahl von Widerständen gefragt.
Weiteres Kaskadieren führt offenbar wieder zu Lösungen.
>Warte bitte bis Montag und dann poste die Lösung.
Vielleicht nicht gerade die Lösung, aber zumindest die Anzahl der
Widerstände.
Kai Klaas
Habe den Thread nicht genau verfolgt, möchte jedoch trotzdem meinen Senf
dazu geben: ;-) Solche "seltsamen" Schaltungen löst man im Allgemeinen
geschlossen, in dem man für bestimmte Zweige eine
Stern-Dreieck-Umformung vornimmt, so dass dann mit Reihen- und
Parallelschaltung gearbeitet werden kann.
Martin schrieb:> Warte bitte bis Montag und dann poste die Lösung.Kai Klaas schrieb:> Vielleicht nicht gerade die Lösung, aber zumindest die Anzahl der> Widerstände.
Ok, am Montagmorgen werde ich die Anzahl der benötigten Widerstände und
Knotenpunkte posten. Viel Spaß noch beim Knobeln :)
In meinem Beitrag vom 09.07.2010 22:17 ist mir übrigens ein Fehler
unterlaufen, der sich aber nicht auf die beiden anfangs geposteten
Aufgaben auswirkt, sondern nur auf den Aufgabenteil 3 aus demselben
Beitrag:
Yalu X. schrieb:> Deine Schaltung> hat einen Gesamtwiderstand von 33/32 Ω. Es gibt noch eine weitere Schal-> tung aus 9 Widerständen, bei der in den Einzelwiderständen jeweils exakt> der gleiche Strom fließt wie in deiner, die aber einen Gesamtwiderstand> von 32/33 Ω hat.
Die Ströme in den Einzelwiderständen stimmen nur dann mit der ursprüng-
lichen Schaltung überein, wenn man die Versorgungsspannung geeignet
anpasst oder die Spannungsversorgung U0 durch eine Stromquelle mit dem
Strom U0/1Ω ersetzt, so dass die Stromquelle also genauso viel Ampere
hat wie die ursprüngliche Spannungsquelle Volt.
Ich habe im obigen Beitrag einen entsprechenden Edit-Hinweis eingefügt.
Hier ist noch eine andere Lösung mit 9 Widerständen.
Diesmal habe ich einen symmetrischen Kern mit 7 Widerständen genommen
und dann mit 2 Widerständen (R7 und R9) die Symmterie gestört.
Kai Klaas
... Ist das die Lösung? ...
Nein, da der Widerstand größer 1 Ohm ist (R10 + Rest der Schaltung)
----
Es gibt 2 Schaltungen mit 9 Widerständen, die eine hat einen Widerstand
von 69/61 Ohm, die andere 61/69 Ohm. Konstruiert man nun eine Schaltung
in der 69/61 Ohm Form, in dem alle 1 Ohm Widerstände durch die 61/69 Ohm
Form ersetzt werden, so erhalte man einen Gesamtwiderstand von 61/69 x
69/61 Ohm = 1 Ohm.
Martin schrieb:> Es gibt 2 Schaltungen mit 9 Widerständen, die eine hat einen Widerstand> von 69/61 Ohm, die andere 61/69 Ohm. Konstruiert man nun eine Schaltung> in der 69/61 Ohm Form, in dem alle 1 Ohm Widerstände durch die 61/69 Ohm> Form ersetzt werden, so erhalte man einen Gesamtwiderstand von 61/69 x> 69/61 Ohm = 1 Ohm.
d.h die Schaltung hat dann 81 Widerstände?
Mann, Mann, jetzt wird der Thread aber aktiv!
Deswegen eins nach dem anderen:
Kai Klaas schrieb:> Hier ist noch eine andere Lösung mit 9 Widerständen.
Richtig.
Das ist übrigens das Gegenstück zur Schaltung von Martin. Wenn du deine
Schaltung statt mit der 1V-Spannungsquelle mit einer 1A-Stromquelle
versorgst, wirst du die gleichen Einzelströme erhalten wie Martin (nur
um den Faktor 100 höher, weil Martin 1k-Widerstände und eine 10V-Span-
nungsquelle genommen hat).
Wenn du Lust hast, kannst du ja mal deine Schaltung mit Martins verglei-
chen. Vielleicht erkennst du dann die Regel, nach der du die Verbindun-
gen zwischen den Widerständen neuzeichnen musst, um die eine Schaltung
in die andere überzuführen.
Von den Lösungen mit 9 Widerständen bleibt jetzt nur noch eine letzte
übrig, nämlich das Gegenstück zur deiner 09.07.2010 16:52 geposteten.
Wenn du die im vorletzten Absatz erwähnte Regel erraten hast, kannst du
diese Schaltung ohne Herumprobieren direkt hinzeichnen :)
Kai Klaas schrieb:> Ist das die Lösung?
Sagen wir mal so: Es ist nicht die Schaltung, die ich erwartet habe ;-)
Ich werde sie mir gleich etwas näher anschauen.
Martin schrieb:> ... Ist das die Lösung? ...>> Nein, da der Widerstand größer 1 Ohm ist (R10 + Rest der Schaltung)
R10 in Kais Schaltung gehört nicht zur Schaltung selbst, sondern dient
nur als Shunt (deswegen auch nur 1µΩ), um den Gesamtstrom zu messen, für
den tatsächlich 1A angezeigt wird. Offensichtlich kann das Simulations-
programm nicht die Ströme von Spannungsquellen anzeigen (oder vielleicht
doch?), deswegen benutzt man solche Tricks.
So gesehen ist also Kais Schaltung in Ordnung.
Martin schrieb:> Es gibt 2 Schaltungen mit 9 Widerständen, die eine hat einen Widerstand> von 69/61 Ohm, die andere 61/69 Ohm. Konstruiert man nun eine Schaltung> in der 69/61 Ohm Form, in dem alle 1 Ohm Widerstände durch die 61/69 Ohm> Form ersetzt werden, so erhalte man einen Gesamtwiderstand von 61/69 x> 69/61 Ohm = 1 Ohm.
Schon, aber was möchtest du damit aussagen? Eine Lösung des verschärften
Problem ist es nicht, da dort sowohl die Einzehlwiderstände als auch der
Gesamtwiderstand jeweils 1Ω haben sollen.
>Nein, da der Widerstand größer 1 Ohm ist (R10 + Rest der Schaltung.
Stimmt, mit IR1=537,46mA und IR9=465,8mA ist die Summe 1,00326A und
nicht 1A, wie TINA das anzeigt. Auch wenn ich R10 wegglasse, bleibt die
Summe unverändert. TINA zeigt hier also schon markante Rundungsfehler.
Rechnest du denn viel genauer? Woher willst du wissen, ob dein Ergebnis
nicht auch durch Rundungsfehler verfälscht wird? Alle Lösungen anzeigen,
die dem Ergbenis genügend nahe kommen und dann von Hand herleiten? Ich
denke, da gibt es unzählige Lösungen die ganz nahe bei 1R liegen, oder?
Kai Klaas
... da dort sowohl die Einzehlwiderstände als auch der Gesamtwiderstand
jeweils 1Ω haben sollen ...
Alle Widerstände haben 1 Ohm und der Gesamtwiderstand beträgt ebenfalls
1 Ohm.
... Rechnest du denn viel genauer? Woher willst du wissen, ob dein
Ergebnis nicht auch durch Rundungsfehler verfälscht wird? ...
Händisch durchrechnen. Kirchhoff 1 & 2, Maschenstrom, etc.
Stefan B. schrieb:> Man kann jetzt auch jeweils so eine Schaltung nehmen und diese anstelle> jedes Widerstandes setzen.>> Dadurch erhält man beliebig viele weitere Lösungen.
Könnte gehen. Man muss natürlich aufpassen, dass am Ende zwei Widerstän-
de aus unterschiedlichen "Teilschaltungen" nicht doch den gleichen Strom
haben. Mit den bisher geposteten 9-Widerstandsschaltungen müsste es aber
gehen.
Martin schrieb:> ... da dort sowohl die Einzehlwiderstände als auch der Gesamtwiderstand> jeweils 1Ω haben sollen ...>> Alle Widerstände haben 1 Ohm und der Gesamtwiderstand beträgt ebenfalls> 1 Ohm.
Achso, jetzt habe ich erst richtig verstanden, was du vorher meintest.
Es geht um die zusammengesetzte Schaltung aus 81 Widerständen.
Ja, dass könnte eine Lösung sein. Man müsste mal nachrechnen, ob die
Ströme dann tatsächlich alle verschieden sind, aber ich glaube, die
Chancen dafür stehen gut :)
Yalu X. schrieb:> Kai Klaas schrieb:>> Ist das die Lösung?>> Sagen wir mal so: Es ist nicht die Schaltung, die ich erwartet habe ;-)>> Ich werde sie mir gleich etwas näher anschauen.
Es ist so weit:
Kai, kannst du in der Simulation die Anzeigegenauigkeit der Ergebnisse
etwas erhöhen? Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist der Gesamtwider-
stand nämlich
307/308 Ω = 0.99675 Ω
:(
Der Lösung mit den 81 Widerständen ist leider ebenfalls keine, was man
ohne viel Rechnung feststellen kann:
Nennen wir die Widerstände in der 69/61Ω-Schaltung R1 bis R9. Zu jedem
dieser Widerstände gibt es nach dem weiter oben Geschriebenen einen
Widerstand in der 61/69Ω-Schaltung, durch den bei Ersetzen der Span-
nungsquelle durch eine Stromquelle der gleiche Strom fließt. Nennen wir
die Widerstände in der 61/69Ω-Schaltung also R1' bis R9', so dass für
alle i in {1..9} Ri' mit Ri korrespondiert.
Nun wird jeder der Widerstände R1 bis R9 durch eine 61/69Ω-Schaltung
ersetzt. Damit die Einzelwiderstände unterscheidbar bleiben, nennen wir
den Widerstand Rj' von Teilschaltung Ri fortan Rij.
Man kann jetzt durch leichtes Nachdenken erkennen, dass durch die Wider-
stände Rij und Rji der gleiche Strom fließt. Von den 81 Widerständen
haben also nur 9 (nämlich diejenigen Rij, für die i=j ist) einen Strom,
der nur einmal vorkommt. Die restlichen 72 Widerstände bilden 36 Paare
(Rij und Rji) mit jeweils dem gleichen Strom.
:(
Das war vielleicht etwas knapp beschrieben, aber ich möchte mich jetzt
noch etwas an der frischen Luft bewegen, solange die Sonne scheint :)
Ich werde später noch einmal reinschauen.
Stefan B. schrieb:> Welche Toleranz darf der Widerstand haben? 10%? 5%? ;-)
Natürlich NULL Prozent, das Forum hier ist schließlich die ideale Welt
der Elektronik :)
Als Entschädigung dürfen die Temperaturkoeffizienten der Widerstände
ebenfalls mit NULL angenommen werden ;-)
... dass durch die Widerstände Rij und Rji der gleiche Strom fließt ...
Kannst du dies kurz demonstrieren (Skizze) und in zwei
Widerstandsnetzwerken zwei Widerstände identifizieren, durch die der
gleiche Strom ließt?
>Kai, kannst du in der Simulation die Anzeigegenauigkeit der Ergebnisse>etwas erhöhen? Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist der Gesamtwider->stand nämlich>> 307/308 Ω = 0.99675 Ω
Ja, du hast Recht. Wenn ich statt der Spannungsquelle von 1V eine
Stromquelle von 1A nehme, kann ich den Shunt weglassen und mir direkt
den Spannungsabfall am Zweipol anzeigen lassen. Dann zeigt mir TINA
einen Spannungsabfall von 0,99675V und nicht die gewünschten 1V.
Wahrscheinlich ist der Shunt einfach viel zu klein im Verhältnis zu den
1R Widerständen und TINA schafft es deshalb nicht, den richtigen Strom
durch diesen Shunt zu berechnen.
Sieht also so ganz aus, als ob das noch nicht die Lösung war...
Kai Klaas
Naja vielleicht ersetzt man dann nicht alle 9 Widerstände mit weiteren 9
Widerständen, sondern nur einen Widerstand.
Dann kann hat man nicht die Problematik das der Rij=Rji.
Man kann dann allerdings rekursiv immer wieder den speziellen Ri der
Neunerschaltung ersetzen, sodass man dan so unendlich viele Lösungen
produziert.
Martin schrieb:> ... dass durch die Widerstände Rij und Rji der gleiche Strom fließt ...>> Kannst du dies kurz demonstrieren (Skizze) und in zwei> Widerstandsnetzwerken zwei Widerstände identifizieren, durch die der> gleiche Strom ließt?
Ich habe jetzt beide Schaltungen in LTSpice eingegeben. Links im Bild
ist die von Kai, rechts deine. Die von Kai enthält anstelle der Wider-
stände jeweils einen Subcircuit, hinter dem sich deine Schaltung
verbirgt.
Sowohl die Subcircuits als auch die Widerstände darin habe ich so nach
den Strömen durchnummeriert, so dass größere Nummern größeren Strömen
entsprechen. Durch X1 fließt also der geringste Strom und durch X9 der
höchste. Entsprechendes gilt für R1 und R9 innerhalb jedes Subcircuits.
Weil beide Schaltungen nach der Beschreibung in einem meiner früheren
Beiträge miteinander "verwandt" sind, verhalten sich die Ströme in den
Einzelwiderständen innerhalb eines Subcircuits wie die Ströme in den
Subcircuits selbst, nämlich
I(R1) : I(R2) : I(R3) : I(R4) : I(R5) : I(R6) : I(R7) : I(R8) : I(R9)
= I(X1) : I(X2) : I(X3) : I(X4) : I(X5) : I(X6) : I(X7) : I(X8) : I(X9)
= 2 : 5 : 7 : 9 : 16 : 25 : 28 : 33 : 36
Der Strom durch Xi ist dann
I(Xi) = Ki / 61
wobei K1 = 2, K2 = 5, ..., K9 = 36 ist.
Innerhalb eines Subcircuits ist der Strom durch Ri
I(Rij) = I(Xi) · Kj / 69 = Ki · Kj / (61 · 69)
Beispiel:
Der Strom durch den Widerstand R5 in Subcircuit X8 ist
I(R85) = K8 · K5 / (61 · 69) = 33 · 16 / (61 · 69) = 528 / 4209
= 0,125445
Aber auch der Strom durch den Widerstand R8 im Subcircuit X5 hat diesen
Wert, da bei der Berechnung lediglich K8 · K5 durch K5 · K8 ersetzt
wird, was aber das gleiche Ergebnis liefert.
In der Ausgabe von LTSpice zur Arbeitspunktberechnung (oppnt.txt im
Anhang) können die simulierten Ergebnisse nachgeschlagen werden unter
I(x8:R5) bzw. I(x5:R8). Dort steht tatsächlich beidesmal 0,125445.
Also erfüllt die Schaltung aus 81 Widerständen die Vorgaben leider nicht
vollständig. Die Idee war aber trotzdem gut.
Stefan B. schrieb:> Naja vielleicht ersetzt man dann nicht alle 9 Widerstände mit weiteren 9> Widerständen, sondern nur einen Widerstand.>> Dann kann hat man nicht die Problematik das der Rij=Rji.
Dann ist aber der Gesamtwiderstand nicht mehr 1Ω.
Yalu X. schrieb:>> Naja vielleicht ersetzt man dann nicht alle 9 Widerstände mit weiteren 9>> Widerständen, sondern nur einen Widerstand.> Dann ist aber der Gesamtwiderstand nicht mehr 1Ω.
Nicht wenn die 9 Widerstände genau 1ohm haben.
Man kann z.B. die Schaltung von Kai nehmen und den Widerstand der den
geringsten Strom führt ersetzten durch dasselbe Gebilde. Quasi rekursiv.
Da das Gebilde 1ohm hat hat das resultierende Gebilde auch 1ohm.
Und durch alle Widerstände fließen verschiedene Ströme.
Somit ist das Rätsel für 9+8*n Widerstände gelöst.
Kai Klaas schrieb:> So, jetzt müßte es aber stimmen...
So leid es mit tut, aber du bist schon wieder einem Rundungsfehler zum
Opfer gefallen. Der Gesamtwiderstand ist jetzt 297/296 Ω = 1.003378 Ω.
Du erhältst dieses Ergebnis, wenn du in deinen Simulationsergebnissen
bspw. die Spannungsabfälle an R9 und R13 addierst.
Kann man bei der Tina die .raw-Datei im ASCII-Format herauslassen? Darin
sollten die Ergebnisse in der internen Rechengenauigkeit von Spice (ca.
16 Stellen) stehen, da diese Werte dazu gedacht sind, von anderen Pro-
grammen weiterverarbeitet zu werden.
LTSpice speichert diese Datei defaultmäßig binär ab, kann aber auf ASCII
umgeschaltet werden.
Alternativ könntest du die Schaltung nicht mit 1A, sondern mit 0,9A ver-
sorgen, was Tina dazu veranlassen dürfte, die Spannung in mV anzugeben.
Da offensichtlich immer zwei Nachkommastellen ausgegeben werden, würdest
du 9xx,xx mV, also immerhin 5 Stellen sehen. Bei 1A wird auf 1,xx V
(wieder zwei Nachkommastellen) gerundet, was 1 V ergibt, wenn die ersten
beiden Nachkommastellen beide 0 sind.
@Alexander Schmidt:
Ich schau's mir morgen an, jetzt ruft die Heia ;-)
>So leid es mit tut, aber du bist schon wieder einem Rundungsfehler zum>Opfer gefallen. Der Gesamtwiderstand ist jetzt 297/296 Ω = 1.003378 Ω.>Du erhältst dieses Ergebnis, wenn du in deinen Simulationsergebnissen>bspw. die Spannungsabfälle an R9 und R13 addierst.
Richtig! Ich habe zwischenzeitlich jetzt auch noch mal von Hand
nachgerechnet: 297/296R kommt heraus.
>Kann man bei der Tina die .raw-Datei im ASCII-Format herauslassen?
Ich wüßte nicht wie.
>Alternativ könntest du die Schaltung nicht mit 1A, sondern mit 0,9A ver->sorgen, was Tina dazu veranlassen dürfte, die Spannung in mV anzugeben.>Da offensichtlich immer zwei Nachkommastellen ausgegeben werden, würdest>du 9xx,xx mV, also immerhin 5 Stellen sehen.
In der Tat! Mit 0,9A spuckt er plötzlich 903,04mV aus, was richtig ist.
Ich muß dich jetzt mal loben, Yalu. Du machst deine Sache sehr
kompetent. Macht Spaß, deine Beiträge zu lesen...
Kai Klaas
Alexander Schmidt schrieb:> Yalu X. schrieb:>>> Naja vielleicht ersetzt man dann nicht alle 9 Widerstände mit weiteren 9>>> Widerständen, sondern nur einen Widerstand.>> Dann ist aber der Gesamtwiderstand nicht mehr 1Ω.>> Nicht wenn die 9 Widerstände genau 1ohm haben.
Damit wir nicht aneinander vorbeireden: Zielt dein Vorschlag auf die
Lösung der verschärften Problemvariante ab, bei der sowohl die Einzel-
widerstände als auch der Gesamtwiderstand alle 1Ω haben müssen, oder auf
die einfachere Variante, bei der der Gesamtwiderstand beliebig ist?
Martins Vorschlag mit den 81 Widerständen bezog sich auf die schwierige
Variante. So war der Gesamtwiderstand auch tatsächlich 1Ω, leider hat es
mit der Unterschiedlichkeit der Ströme gehapert.
Deine am 12.07.2010 um 13:23 und 13:34 geposteten Schaltungen haben alle
zwar unterschiedliche Ströme in den Einzelwiderständen, aber einen von
1Ω verschiedenen Gesamtwiderstand. Deswegen sie als Lösung für die
einfachere Aufgabe korrekt, die verschärfte Variante ist aber nach wie
vor ungelöst.
Trotzdem vielen Dank für deine Lösungen. Sie sind alle noch nicht
gepostet worden, so dass wir zusammen mit den bereits bestehenden bald
einen Bildband veröffentlichen können ;-)
Gestern habe ich ja angekündigt, einen kleinen Tipp zu geben, damit
sowohl die Algorithmenschreiber als auch die Spice-Simulanten bei der
Suche nach der Lösung des verschärften Problems den Suchraum ein wenig
einschränken können:
> Ok, am Montagmorgen werde ich die Anzahl der benötigten Widerstände und> Knotenpunkte posten. Viel Spaß noch beim Knobeln :)
Hier ist der Tipp:
Die Anzahl der Widerstände der einfachsten mir bekannten Lösung für das
verschärfte Problem ist 21. Wie zu jeder Lösung gibt es auch zu dieser
ein leicht konstruierbares Gegenstück, das ebenfalls alle Anforderungen
erfüllt. Die Anzahl der Knotenpunkte (einschließlich der beiden Versor-
gungsknoten) ist 11 bzw. 13.
Sehr wahrscheinlich ist 21 die minimale Anzahl benötigter Widerstände,
und es gibt auch keine weiteren Lösungen mit nur 21 Widerständen. Es
gibt aber auch Lösungen mit 22, 23, 24, 25 und mehr Widerständen. Mit
der Anzahl der Widerstände steigt auch die Anzahl der Lösungen rasch an,
so dass es der eine oder andere Knobler evtl. für vorteilhaft erachtet,
die Suche nicht auf die 21 Widerstände zu beschränken.
Yalu X. schrieb:> Alexander Schmidt schrieb:>> Yalu X. schrieb:>>>> Naja vielleicht ersetzt man dann nicht alle 9 Widerstände mit weiteren 9>>>> Widerständen, sondern nur einen Widerstand.>>> Dann ist aber der Gesamtwiderstand nicht mehr 1Ω.>> Nicht wenn die 9 Widerstände genau 1ohm haben.> Damit wir nicht aneinander vorbeireden: Zielt dein Vorschlag auf die> Lösung der verschärften Problemvariante ab,
Ja das tut er.
Er hilft aber nur wenn man schon eine Lösung kennt. Dann kann man aus
einer Lösung beliebig viele neue generieren.
Ich ging davon aus, das Kais Lösung richtig ist und man damit die Basis
hat.
> Deine am 12.07.2010 um 13:23 und 13:34 geposteten Schaltungen haben alle> zwar unterschiedliche Ströme in den Einzelwiderständen, aber einen von> 1Ω verschiedenen Gesamtwiderstand.
Richtig. Sie sind als Lösung für das einfache Problem gedacht.
Ich wollte mich erstmal an das Problem rantasten.
Alexander Schmidt schrieb:>> Damit wir nicht aneinander vorbeireden: Zielt dein Vorschlag auf die>> Lösung der verschärften Problemvariante ab,>> Ja das tut er.> Er hilft aber nur wenn man schon eine Lösung kennt.
Ah, jetzt hab ich verstanden, was du meintest.
> Dann kann man aus einer Lösung beliebig viele neue generieren.
Das ist richtig.
Wenn jemand die Lösung mit den 21 Widerständen findet, wäre mit deiner
Methode also auch die mit 81 wieder in greifbare Nähe gerückt :)
Nein, keine neue Lösung, aber vielleicht ein interessanter Lösungsweg
für das "verschärfte Problem"?
Ich habe jetzt mal für ein paar Lösungen die zugehörigen
Gleichungssysteme für die Knoten aufgestellt. Dabei ist mir etwas
Interessantes aufgefallen: Die Koeffizienten sind sehr sehr oft "-1",
weil Parallelschaltungen von Widerständen zwischen Knoten nicht erlaubt
sind. Und da auch Serienschaltungen zwischen Knoten nicht erlaubt sind,
lassen sich die Koeffizienten der Matrix sehr leicht generieren:
Zunächst bestimmt man, wieviele Widerstände an einem Knoten enden
sollen. Die Zahl muß >= 3 sein (weil sonst wieder eine Serienschaltung
entsteht), aber natürlich kleiner gleich der Anzahl der maximal
angenommenen Knoten.
Dem Schema entnimmt man, daß auf dem Knoten "2" fünf Widerstände enden.
Also schreibt man bei "U2" eine "5" und verteilt fünf mal eine "-1" in
der Zeile.
Wegen des Verbots von Serienschaltungen findet man diese "-1" aber noch
mal in der Matrix, nämlich in der Spalte von "U2", also unter der "5".
Das ist ja klar, weil die auf Knoten "2" endenden Widerstände natürlich
auch mit anderen Knoten verbunden sind. Welche, liest man in der ersten
Zeile ab.
Auf diese Weise sind die Koeffizienten der ersten Zeile und ersten
Spalte bestimmt und man kann die zweite Zeile füllen:
Auf Knoten "3" enden drei Widerstände, als kommt unter "U3" eine "3".
Nun verteilt man die noch zwei übrigen "-1" in der Zeile. Alle rechts
von der "3" stehenden "-1" überträgt man jetzt noch in die zweite
Spalte, unter der "3", so, wie man es bei der ersten Zeile getan hat.
Jetzt kommt die dritte Zeile, u.s.w.
Auf diese Weise lassen sie die Koeffizienten einer erlaubten Matrix sehr
leicht generieren und der numerische Berechnungsaufwand drastisch in
Grenzen halten.
Da meine Zeit etwas begrenzt ist, werde ich dieses Schema nicht so
schnell programmieren können. Aber vielleicht hilft es ja einem
Anderen...
Kai Klaas
Ich habe jetzt mal so ein Schema für 7 Knoten in QBASIC programmiert.
Statt der von dir, Yalu, hier
Beitrag "Re: Widerstandsknobelei"
bestimmten Anzahl von 2 097 152 Netzwerken mit 7 Knoten, erstellt mein
Schema mit den Einschränkungen nur noch 194 520 Netzwerke. Immerhin eine
Zeitersparnis vom Faktor rund 10.
Jetzt muß ich noch das Gauß-Verfahren programmieren und dann werde ich
die Anzahl der Knoten mal Schritt für Schritt erhöhen...
Kai Klaas
Faszinierend, doch welchen praktischen Nährwert hat das? Auch Wikipedia
listet keine Anwendung.
Da scheint es Zusammenhänge zu geben, die Menschen vollkommen
unzugänglich sind - wir also zu doof.
Abdul K. schrieb:> Da scheint es Zusammenhänge zu geben, die Menschen vollkommen> unzugänglich sind
Yalu X. hat es in diesem Thread anschaulich erklärt:
Beitrag "Re: Widerstandsnetzwerk berechnen"
Der Tip, dass man über die Fläche des Rechteckes die Verlustleistung des
Widerstandes erhält hat mich letztlich auch auf die Lösung des Rätsels
gebracht.
Denn wenn der Strom in allen Widerständen unterschiedlich sein soll,
dann muss auch die Verlustleistung unterschiedlich sein -> alle
Rechtecke müssen eine andere Größe haben.
Da die 2. Bedingung war, dass alle Widerstände 1 Ohm haben, bedeutet
dass, das die Rechtecke quadratisch sein müssen, da U=I.
Da der Gesamtwiderstand auch 1 Ohm sein soll, muss das sich ergebende
Rechteck ebenfalls ein Quadrat sein.
D.h. man sucht ein Quadrat, das sich flächendeckend aus kleineren
Quadraten zusammensetzt.
Und da haben sich die Mathematiker schon Gedanken gemacht ("square the
square"), und die Lösung mit der geringsten Anzahl an Quadraten (21) ist
die oben verwendete.
Joe F. schrieb:> Passt.
Perfekt!
Damit wäre dieser Punkt nun endlich erledigt :)
Noch eine kleine Anmerkung:
Hat man einmal eine Lösung gefunden, kann man daraus sofort eine zweite
ableiten, in dem man das Diagramm mit den Quadraten um 90° dreht. Dieses
gedrehte Diagramm unterscheidet sich vom ursprünglichen natürlich nicht
wirklich, aber der daraus resultierende Schaltplan sieht topologisch
völlig anders aus. Auf Schaltplanebene gelangt man von der einen zur
anderen Lösungen, indem man die Rolle von Maschen und Knoten vertauscht.
Im angehängten Bild ist die von Joe gepostete Lösung blau und die davon
abgeleitete Lösung rot eingezeichnet. Die neue Lösung ensteht aus der
ursprünglichen, indem man alle Leitungen entfernt, die Widerstände
jeweils um 90° auf der Stelle dreht und alle Anschlüsse, die innerhalb
einer Masche der ursprünglichen Schaltung liegen, miteinander verbindet.
Abdul K. schrieb:> doch welchen praktischen Nährwert hat das? Auch Wikipedia> listet keine Anwendung.Abdul K. schrieb:> Faszinierend,
Reicht das nicht? :)
Wikipedia erwähnt die Konvertierung des ursprünglich mathematischen
Problems in ein elektrisches Äquivalent, um einen Lösungsansatz zu haben
(Smith-Diagramm). Damals, als sie noch suchten nach der Lösung.
Hast du Yalu erst die Mathematik gesehen und dann daraus Widerstände
gemacht. Oder war es umgekehrt, nachdem du das Widerstandsarray
ausgedacht hattest, gingst du auf die Suche nach einer bereits
existierenden mathematischen Lösung? Was ja auch nicht so einfach sein
kann, je nachdem. Interdisziplinäres Wissen und gute
Abstraktionsfähigkeit kann da Gold wert sein.
Ich habe höchsten Respekt vor der Arbeit von Yalu und lese seine
Beiträge meist sehr gern.
Aber bislang wurde trotzdem kein praktischer Nährwert gezeigt!!
Aber irgendwie hängt das Problem auch mit zwei anderen Geschichten
zusammen, die Elektroniker sehr wohl interessieren:
1. Wie mache ich aus gleichen Widerständen eine möglichst 'symmetrische'
Gesamtschaltung, z.B. Konstruktion eines Abschlußwiderstandes aus lauter
gleichen SMD-Widerständen. Nebenbedingung: Alle Widerstände sollen
gleichbelastet sein, also P und U sowie I überall gleich groß. Und
Struktur minimal, damit der Wellenwiderstand nicht zuschlägt.
Für die Kiddies kann man das Problem auch als Kühlung von LED-Chips auf
einem Träger darstellen ;-)
2. Wie konstruiert man einen <möglicht nahen> Widerstandswert aus
<eventuell> unterschiedlichen verfügbaren Widerständen, aka E-Reihen.
Dafür gibts bereits kleine Tools, die aber eher suchen als finden. Ist
hier kein Problem, da man typischerweise nicht sonderlich viele
Widerstände real verbauen will und ein heutiger PC das in Bruchteilen
von Sekunden durch stupides Probieren löst.
3. Vielleicht gibts weitere Abwandlungen/Anwendungen?
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