Komplexe Funktionen Addieren

Komplexe Zahl Gast #1896829
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Hi,

ich versuche mich gerade in die Anwendung der komplexen Zahlen in der 
E-Technik einzuarbeiten. Wenn ich zwei Funktionen habe:


x(t)=a*sin(wt+b)
y(t)=c*sin(wt+d)


Wie kann ich die beiden dann wieder als eine Sinus Funktion ausrücken? 
Ich habe wo gelesen, dass das über komplexe Rechnung einfacher gehen 
soll, als über irgendwelche Additionstheoreme. Habt ihr da ein paar 
Tipps?

Danke.
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Helmut S. #1896861
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x(t)=a*sin(wt+b)
y(t)=c*sin(wt+d)

Schau mal in die Mathe-Formelsammlung.

sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b)

Das wenden wir jetzt mal an.


x = a*sin(wt)*cos(b) + a*cos(wt)*sin(b)

y = c*sin(wt)*cos(d) + c*cos(wt)*sin(d)


x+y = sin(wt)*(a*cos(b)+c*cos(d)) + cos(wt)*(a*sin(b)+c*sin(d))

x+y = sin(wt)*const1 + cos(wt)*const2

x+y = k*sin(wt+phi)

k = Wurzel(const1^2+const2^2)

phi = arctan(const2/const1)


PS: Ich habe meinen Vorschlag nicht nachgeprüft. Das überlasse ich dir.
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Komplexe Zahl Gast #1896888
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Helmut S. schrieb:
> sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b)

Helmut S. schrieb:
> phi = arctan(const2/const1)


Danke. Die beiden Formeln haben mir gefehlt. Wie leitet sich denn die 2. 
her? Also die, mit der man die neue Phasenverschiebung berechnen kann?


Oder geht es generell noch eleganter? Wie gesagt. Ich bin der Meinung 
gelesenen zu haben, das man das über komplexe Funktionen lösen kann.
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Helmut S. #1896910
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Helmut S. schrieb:
> x(t)=a*sin(wt+b)
> y(t)=c*sin(wt+d)
>
> Schau mal in die Mathe-Formelsammlung.
>
> sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b)
>
> Das wenden wir jetzt mal an.
>
>
> x = a*sin(wt)*cos(b) + a*cos(wt)*sin(b)
>
> y = c*sin(wt)*cos(d) + c*cos(wt)*sin(d)
>
>
> x+y = sin(wt)*(a*cos(b)+c*cos(d)) + cos(wt)*(a*sin(b)+c*sin(d))
>
> x+y = sin(wt)*const1 + cos(wt)*const2
>
> x+y = k*sin(wt+phi)
>
> k = Wurzel(const1^2+const2^2)
>
> phi = arctan(const2/const1)
>
>
> PS: Ich habe meinen Vorschlag nicht nachgeprüft. Das überlasse ich dir.



sin(wt) ist Bezugszeiger e^(jwt)

Summe_ = a*e^jb + c*e^jd

Summe_ = a*cos(b) + j*a*sin(b) + c*cos(d) + j*c*sin(d)

Summe_ = (a*cos(b) + c*cos(d)) + j(a*sin(b) + c*sin(d))

Betrag = Wurzel((a*cos(b) + c*cos(d))^2 + (a*sin(b) + c*sin(d))^2)

Summe_ = Betrag*e^(jphi)

phi = arctan((a*sin(b) + c*sin(d))/(a*cos(b) + c*cos(d)))

Summe_ = Betrag*e^(jphi)


Das ist das gleiche Ergebnis wie das mit der Additionsformel von 
sin(a+b) Berechnete.
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GGaasstt Gast #1896928
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x(t)=a*sin(wt+b) entspricht x = a*e^jb = a*(cos(b) + j*sin(b))
y(t)=c*sin(wt+d) entspricht y = c*e^jd = c*(cos(d) + j*sin(d))

(Rechts jeweils als komplexe Zeiger.)

x+y = a*cos(b) + j*a*sin(b) + c*cos(d) + j*c*sin(d)
 = a*cos(b)+c*cos(d) + j( a*sin(b)+c*sin(d) )

Ist der komplexe Zeiger der Summe. Für das umrechnen in Betrag und Phase 
müsstest du Formeln finden. Anschließend die entsprechende Sinusfunktion 
aufstellen ist dann auch trivial.
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