Widerstandsverhältnis anhand der Spannungen

[Sergej J. (subz3ro)]

Hallo alle zusammen,

ich stehe momentan auf dem Schlauch und hoffe ihr könnt mir 
weiterhelfen.

Die Situation ist eigentlich ganz simpel, ich komme nur nicht drauf. 
Einen ähnlichen Beitrag hatte ich hier im Forum gefunden, aber der ist 
irgendwie schwammig erklärt oder ich verstehen den Hintergrund dahinter 
nicht.
Beitrag "Spannung addieren (Summierverstärker)"
Hauptsächlich die Posts von "Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)"

Ausgangssituation:
Ich habe eine variable Eingangsspannung (Signal 0,45V - 2,45V), die 
Ausgangsspannung darf sich aber nur in einem bestimmten Bereich bewegen 
(0,3V - 0,6V).
Meine Schaltung sieht wie folgt aus, aus Kosten-, Energie und 
Platzgründen wurde diese so dimensioniert (siehe Anhang).

Durch Simulation habe ich das richtige Verhältnis rausgefunden (R1 : R2 
: R3 = 5 : 10: 1), jetzt wollte ich das auch rechnerisch beweisen und 
bei eventuellen Impedanzänderungen dann die Widerstände schnell 
anpassen.

Hintergrund:
Das Signal am Ausgang sollte immer zwischen 0 - 0,3V haben, sprich Usmin 
= 0,45V --> Usmina = 0V und Usmax = 2,4V --> Usmaxa = 0,3V.
Um das Offset zu erreichen wurde eine 3V Spannung angelegt, diese sollte 
einen Anteil von 0,3V liefern und mit der Signalspannung addiert werden.

Zusammengefasst habe ich zwei Eingangsspannungen, eine Ausgangsspannung 
und drei Widerstände.

Signal = 0,45V - 2,45V --> 0V - 0,3V
Offset = 3V --> 0,3V
Ausgangsspannung = 0,3V - 0,6V
R1, R2, R3 = ??????

Wie kann ich nun das Verhältnis bestimmen anhand der gegebenen 
Spannungen?
Durch das Verhältnis kann ich dann die Widerstandswerte anhand der 
Grundlast bestimmen.

Ich hoffe, die Situation ist verständlich und ihr könnt mir einen Anstoß 
geben.

Gruß

[John D. (Gast)]

Nimm doch einfach das Überlagerungsverfahren nach Helmholtz, dann hast 
du zwei Gleichungen (einmal für Uin=0,45V und einmal für Uin=2,45V) und 
zwei Unbekannte - einen Widerstandswert kannst du ja frei wählen.

[Sergej J. (subz3ro)]

Dank für die schnelle Antwort, werde das Verfahren anschauen.

Hast du da eventuelle ein Bsp.? Ich habe irgenwie immer die schwirigkeit 
mit dem Ansatz :)

Genau das ist mein Vorhaben das ich ein Widerstand wählen kann und den 
Rest berechne.

[Max M. (jens2001)]

Du musst dir klarmachen das R2 und R3 gleichspannungsmässig parallel 
liegen.

Und für den realen Aufbau nicht vergessen dass der OpAmp einen Biasstrom 
zieht.

[Sergej J. (subz3ro)]

Im Prinzip sowas (siehe Anhang) und jetzt einzelne Spannungen 
kurzschließen und mit der Maschenregel berechnen?

[John D. (Gast)]

Ja, nur die Spannungsquelle Ua muss weg.

[Sergej J. (subz3ro)]

Ja, war nur unglücklich gezeichnet, wollte die Ausgangsspannung andeuten 
:)

Wie hast du das mit dem

John D. schrieb:
> (einmal für Uin=0,45V und einmal für Uin=2,45V)

gemeint?

Wenn ich den Helmholz anwende habe ich dann folgende Gleichungen:

Us aktiv:
I   Us + Ur1 + Ur2 = 0
II  -Ur2 - Ur3 = 0

Uoff aktiv:
I   -Ur1 - Ur2 - Uoff = 0
II  Uoff + Ur2 + Ur3 = 0

Ich habe aber weder die Ströme noch die Widerstände, wie können die 
Gleichungen aufgelöst werden?

[Pandur S. (jetztnicht)]

Naja. Pro Unbekannte braucht man eine Gleichung.

[Sergej J. (subz3ro)]

Gut, dann setze ich R1 auf 10k.

Jetzt habe ich nur 2 Unbekannte.

[Sergej J. (subz3ro)]

Hmm, irgendwie komme ich nicht dahinter wie man nur anhand der Eingangs- 
und Ausgangsspannungen das Widerstandsverhältnis berechnen kann.

Im Internet wird die Schaltung berechnet in der die Widerstände schon 
vorgegeben sind.
Hat da jemand noch einen Tip?

PS: bei den Gleichungen habe ich die Spannungsrichtung falsch 
gezeichnet, müsste also so sein

Uoff = 0
I   -Us + Ur1 - Ur2 = 0
II  Ur2 + Ur3 = 0

Us = 0
I   Ur1 - Ur2 + Uo = 0
II  -Uo + Ur2 + Ur3 = 0

Gibt es eine anderes Verfahren um die Schaltung zu berechnen?


Gruß

[Sergej J. (subz3ro)]

Hat jemand noch einen Tip?

[John D. (Gast)]

Sergej M. schrieb:
>
> Uoff = 0
> I   -Us + Ur1 - Ur2 = 0
> II  Ur2 + Ur3 = 0
>
> Us = 0
> I   Ur1 - Ur2 + Uo = 0
> II  -Uo + Ur2 + Ur3 = 0

Gut, das ist einmal der Ansatz des Überlagerungsverfahrens.

Und was hast du nun, wenn Uoff=0 ist? Us an einem Spannungsteiler 
bestehend aus R1 und R2//R3. U+' ist also 
Us*(R2*R3)/(R1*R2+R1*R3+R2*R3).
Bei Us=0 hast du Uoff an einen Spannungsteiler bestehend aus R2 und 
R1//R3. U+'' ist dann Uoff*(R1*R3)/(R1*R2+R1*R3+R2*R3).

U+ ist dann U+' + U+''.

(Us: Signal, Uoff: Offset, U+: Spannung an nichtinvertierendem 
OPV-Eingang)

[Sergej J. (subz3ro)]

Das Berechnen der Ausgangsspannung ist nicht das Problem, das Problem 
ist es das Wderstandsverhältnis zu bestimmen.

Ich hatte es mal mit dem Ansatz berechnet, aber da kommen irgendwie 
nicht die Werte die ich brauche bzw. das Ergebnis stimmt nicht.

Ich habe nur die Spannungen vorgegebenn.
Us = 0,45V bis 2,45V (kann eine beliebige Spannung sein)
Uo = 3V
Ua = 0,3V bis 0,6V

Ich Internet nutzen alle die Knotenregel um die Gleichungen zu 
bestimmen, jedoch finde ich nichts passendes was mein Problem löst.

[Josef (Gast)]

Mit Ueberlagerung:

Offset = 0:

Ua1 = Us* (R2||R3) / (R1 + (R2||R3)) = Us*R2*R3/(R1*R2+R1*R3+R2*R3)

Signal = 0:

Ua2 = Uo* (R1||R3) / (R2 + (R1||R3)) = Uo*R1*R3/(R1*R2+R1*R3+R2*R3)

zusammen ueberlagern:

Ua = Ua1 + Ua2 = R3 * (Us*R2 + Uo*R1) / (R1*R2+R1*R3+R2*R3)

Man sieht R3 braucht man nicht: R3 -> unendlich, kuerzen

Ua = (Us*R2 + Uo*R1) / (R1 + R2)

Hilfsvariable k = R1/R2, damit:

Ua = (Us + Uo*k) / (1 + k)

Man setzt ein Ua=0.3, Us=0.45 und Ua=0.6, Us=2.45.
Erhaelt damit zwei Gleichungen und loest nach Uo und k auf.

Ich erhalte Uo=0.273V, k= 5.66

[Sergej J. (subz3ro)]

@Josef
vielen Dank für die ausführliche Berechnung :).
Werde mir diese genauer anschauen.

Was ich aber gerne wissen würde wie Yalu X. hier das Verhältnis bestimmt 
hat.
Beitrag "Spannung addieren (Summierverstärker)"

Yalu X. schrieb im Beitrag 2205750:
> Da die erforderliche Verstärkung
>
>   (3,8V - 1,5V) / (3,3V - 0V) = 0,697 < 1
>
> ist, liegt der Verdacht nahe, dass man die Umsetzung der Spannung allein
> mit Widerständen schaffen kann. Tatsächlich geht das in diesem Fall mit
> drei Widerständen. Da ein niederohmiger Ausgang gewünscht wird, schaltet
> man eben noch einen Impedanzwandler hindendran.
>
> Das exakte Verhältnis der Widerstände zueinander muss
>
>   R1 : R2 : R3 = 2852 : 279 : 828
>
> betragen. Da dieses Verhältnis mit den Normreihen E12 und 24 nicht
> sehr genau darstellbar sind, habe ich R1 aus zwei Einzelwiderständen
> zusammengesetzt.


...........

Yalu X. schrieb:
> Tom schrieb:
>
>> Wie hast du die Verhältnisse berechnet?
>
> Indem ich in Abhängigkeit der Eingangs- und Ausgangsspannung die Ströme
> durch die drei Widerstände ausgerechnet (Ohmsches Gesetz), die
> Summe dieser Ströme 0 gestzt und in die entstehende Gleichung einmal die
> untere Eingangs- und Ausgangsspannung und dann die obere Eingangs- und
> Ausgangsspannung eingestzt habe. Damit entstehen zwei Gleichungen mit
> drei Unbekannten (den Widerständen), die man nach einem der drei
> Widerstände (z.B. R1) auflösen kann. Das Ergebnis hat die Form
>
>   R1 = a·R2 + b·R3
>
> wodurch das Verhältnis gegeben ist.

[LostInMusic (Gast)]

Aus der Knotenregel "Summe aller vorzeichenrichtiger Ströme gleich Null" 
ergibt sich für den Knoten, an dem sich die drei Widerstände treffen:

$$\frac{u - U_{out}}{R_2} + \frac{U_{in} - U_{out}}{R_1} = \frac{U_{out}}{R_3}$$

wobei ich mit u die Offsetspannung bezeichnet habe.

Multiplikation mit R3 liefert:

$$\frac{R_3}{R_2} (u - U_{out}) + \frac{R_3}{R_1} (U_{in} - U_{out}) = U_{out}$$

und hier stehen bereits die Widerstandsverhältnisse R3/R1 und R3/R2 
drin. Noch kompakter wird es, wenn ich diese mit r1 bzw. r2 abkürze:

$$r_2 (u - U_{out}) + r_1 (U_{in} - U_{out}) = U_{out}$$

Das kann man jetzt nach Uout auflösen und sich anschließend darüber 
freuen, die Abhängigkeit der Ausgangsspannung von den Größen Uin, u, r1, 
r2 zu kennen:

$$U_{out} = \frac{r_1 U_{in} + r_2 u}{r_1 + r_2 + 1}$$

Du willst aber etwas anderes machen, nämlich r1 und r2 aus zwei 
Datenpaaren (Uin1, Uout1) und (Uin2, Uout2) bestimmen (bei konstanter, 
bekannter Offsetspannung u). Das ist sozusagen die "umgekehrte 
Fragestellung" zur oben gerade geklärten Frage nach Uout.

Jedes der beiden (Uin, Uout)-Datenpaare liefert eine Gleichung für r1 
und r2, und da diese Gleichungen glücklicherweise linear in r1 und r2 
sind, bekommt man ein lineares 2x2-Gleichungssystem für ebendiese 
Unbekannten:

$$r_2 (u - U_{out1}) + r_1 (U_{in1} - U_{out1}) = U_{out1}$$

$$r_2 (u - U_{out2}) + r_1 (U_{in2} - U_{out2}) = U_{out2}$$

oder in Matrixschreibweise:

$$\left( \begin{array}{cc} U_{in1} - U_{out1} & u - U_{out1}\\ U_{in2} - U_{out2} & u - U_{out2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} r_1\\ r_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} U_{out1}\\ U_{out2} \end{array} \right)$$

Mit der Lösung gibt es kein Problem. Ein 2x2 großes lineares 
Gleichungssystem der allgemeinen Form

$$\left( \begin{array}{cc} a_1 & a_2\\ b_1 & b_2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} x_1\\ x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} A\\ B \end{array} \right)$$

hat die Lösung

$$x_1 = \frac{A b_2 - a_2 B}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$

$$x_2 = \frac{a_1 B - A b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$

Das kannst Du jetzt selbst auf Dein Problem mit den Widerständen 
übertragen.

[Sergej J. (subz3ro)]

Wow, super, danke viel mals für die super Erläuterung.

[LostInMusic (Gast)]

:-) Für Deine Zahlenwerte spuckt mir ein kleines Maxima-Programm (*) 
übrigens als Ergebnis [r1 = 0.1941747572815534, r2 = 0.1003236245954693] 
aus. Die entsprechenden Kehrwerte sind 1/r1 = 5.15 und 1/r2 = 9.96774. 
Du hast es mit Deinem R1 : R2 : R3 = 5 : 10 : 1 also schon ziemlich gut 
getroffen.

(*) dieses:

u    : 3.00$
Uin1 : 0.45$
Uout1: 0.30$
Uin2 : 2.45$
Uout2: 0.60$

E1: r2*(u - Uout1) + r1*(Uin1 - Uout1) = Uout1; 
E2: r2*(u - Uout2) + r1*(Uin2 - Uout2) = Uout2; 

linsolve([E1, E2], [r1, r2]);
float(%);
float(1/%);

Zum Computer-Algebra-System Maxima siehe
http://maxima.sourceforge.net/