Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch: Wenn ich die rationale
Übertragungsfunktion eines Systems im Bildbereich habe, dann muss diese
zwei Bedingungen erfüllen damit das System kausal ist: der Grad des
Zählers muss kleiner oder gleich dem Grad des Nenners sein und die
Übertragungsfunktion muss in der gesamten Halbebene rechtsseitig von
sämtlichen Polen konvergieren.
Aus dem ganzen folgt, dass ein Differenzierer ein nicht kausales System
ist (wie man auch überall nachschlagen kann).
Nehmen wir nun als System eine ideale Spule: u(t) = L*di(t)/dt
Wenn wir nun u(t) als den Ausgang unseres Systems betrachten und i(t)
als Eingang, dann ist die Übertragungsfunktion U(s)/I(s) = s*L und damit
nicht kausal.
Irgendwie werd ich aus dem ganzen nicht schlau. Eine Spule ist ja
durchaus ein "realisierbares" physikalisches System und das hätte ich
durchaus als kausal eingeschätzt...gibt es dafür eine anschauliche
Erklärung? Ich kann die Spule ja an eine Stromquelle hängen, dann wird
sich abhängig vom Strom eine Spannung einstellen die nicht von
Stromwerten in der Zukunft abhängen kann.
Ist bei mir leider alles etwas lange her aber kannst dir mal auf dem
Link Beitrag "Warum kann der Zählergrad nicht höher sein als der Nennerfrad bei einer Ü-Funktion ?" die Antwort von
Autor: Tobias Plüss (hubertus)
Datum: 29.07.2014 19:28
durchlesen.
Edit:
Ein Beispiel aus der Praxis in Bezug auf die obrige Antwort.
Baut man mit einem Operationsverstärker einen Differentiator hat dieser
immer eine Grenzfrequenz ab der er nicht mehr differenziert. Um einen
richtigen Differentiator zu bauen braucht man einen unendlich hohes GBW
des Operationsverstärkers.
Dein Beispiel wirft ganz klar Fragen auf, meiner Meinung nach wäre ein
Differenzierer auf eine Art, wie du sie beschrieben hast, aus
systemtheoretischer Sicht definitiv "realisierbar". Gleiches gilt beim
Kondensator, der an eine Spannungsquelle angeschlossen ist und der Strom
als Ausgang definiert ist.
Prinzipiell würde ich auch nicht sagen, dass es sich um ein nicht
kausales System handelt, denn der Differenzierer guckt ja nicht in die
Zukunft, sondern nur auf die Ableitung der Eingangsgröße zum aktuellen
Zeitpunkt. Dort hinkt die Sache mit Zähler und Nennergrad ein wenig.
Zwei Möglichkeiten sehe ich:
1. Die Definition von Kausalität und das Verhältnis von Zähler- und
Nennergrad des Systems sind keine vollständigen Synonyme und in üblichen
Lehrschriften wird das ausgeblendet
2. Es gibt irgendeinen mathematischen Beweis oder so, der die
Übertragungsfunktion "s" als nicht kausal definiert.
Ein Denkanstoß in letztere Richtung wäre zum Beispiel in der
Sprungantwort des Systems zu suchen: Es ist der Diracimpuls, unendlich
hoch und unendlich kurz. Dass das Ding nicht realisierbar ist, liegt ja
irgendwie auf der Hand.
Sprungfähige Systeme sind zwar realisierbar (Spannungsteiler), jedoch
ist dieses hier sozusagen "unendlich sprungfähig". Aber das ist sicher
nicht handfest genug, um deinen Grübeleien beizukommen.
Hallo,
ich bin neulich auch über diese Frage gestolpert und habe mich damit
länger beschäftigt. Erstmal ist mit "idealer Spule" gemeint, dass Sie
keinerlei Innenwiderstand und keinerlei parasitären Effekte hat. Eine
solche Spule wäre ein idealer Differenzierer und folglich nicht möglich.
Mit etwas Innenwiderstand oder parasitäter Kapazität wird aus der
idealen Spule eine realisierbare.
Ich möchte nochmal drauf eingehen, warum eine ideale Spule
systemtheoretisch nicht realisierbar ist. Stelle Dir dazu vor, du
hättest eine ideale Spule mit der Funktion u(t) = L*di(t)/dt. Stelle dir
vor, zum Zeitpunkt "jetzt"=t0=0 kommt ein Stromsprung. Um diesen
Differenzierer ideal aufzubauen müsstest du den Differenzialquotienten
bilden, mit infinitesimalen Abständen vor und nach dem Punkt:
lim i(t0+dt) - i(t0-dt)
dt->0 -------------------
(t0+dt)- (t0-dt)
Vielleicht siehst Du hier schon das Problem: i(t0+dt) kannst Du nicht
kennen, da t0=jetzt ist, also t0+dt in der Zukunft liegt. Und da
keiner die Zukunft kennt, ist diese Form systemtheoretisch nicht
realisierbar. Was natürlich in der Praxis passiert, ist, dass der
Differenzialquotient folgendermaßen bestimmt wird:
lim i(t0) - i(t0-dt)
dt->0 -------------------
(t0)- (t0-dt)
Hierfür brauchst Du eben nicht mehr zukünftige Werte, aber der
Differenzierer ist nicht mehr symmetrisch um "jetzt", sondern hinkt
infinitesimal weit hinterher. Das ist dann der reale Differnzierer.
Ich hoffe diese Erklärung ist anschaulich, und Du verstehst was ich
meine...
Viele Grüße,
Stefan
In der Regelungstechnik gibt es den realen und den idealen
Differenzierer. Mit den Idealen lässt es sich im Bildbereich schöner
rechnen und im Frequenzbereich gibt es dafür ein Bodediagramm.
In der Realität/Simulation kann eine Sprungantwort nicht unendlich
schnell stattfinden, da im Kupfer die Elektronen eine
Verzögerungskonstante miteinbringen oder auch Aufgrund jede Leitung
besitzt eine extra Kapazität und Induktivität.
Anders sieht es bei den zeitdiskreten System aus. Da können nichtkausale
Systeme mittels einer Zeitverschiebung als wieder kausal betrachtet
werden.
Das ist also wie in der Mathematik, um die reellen Zahlen verstehen zu
können muss man erstmal die komplexe Zahlenebene verstehen.
Meiner Meinung nach ist es nicht ganz richtig Theoreme übrr
Übertragungsfunktionen anzuwenden die nicht die gleichen Größen sind.
Zur Erläuterung: Zählerpotenz kleiner Nennerpotenz kommt daher, da das
System sonst unendlich viel Energie liefern müsste (unabhängig von
Kausalität). Dieser Schluss stimmt bei U/I für Spule nicht mehr.
Allgemeiner noch: sollte es für U/i stimmen wäre es für I/U falsch.
Man muss Äpfel mit Äpfeln vergleichen.D.h. den Strom z.B. wieder über
einen Widerstand in Spannung umsetzen.
Dumdi D. schrieb:> Meiner Meinung nach ist es nicht ganz richtig Theoreme übrr> Übertragungsfunktionen anzuwenden die nicht die gleichen Größen sind.> Zur Erläuterung: Zählerpotenz kleiner Nennerpotenz kommt daher, da das> System sonst unendlich viel Energie liefern müsste (unabhängig von> Kausalität). Dieser Schluss stimmt bei U/I für Spule nicht mehr.> Allgemeiner noch: sollte es für U/i stimmen wäre es für I/U falsch.> Man muss Äpfel mit Äpfeln vergleichen.D.h. den Strom z.B. wieder über> einen Widerstand in Spannung umsetzen.
Du kannst auch mit einem OPV die Spannung messen und als Last vom OPV
einen Widerstand ansetzen. Dann hast du wieder eine Übertragungsfunktion
von einem Strom (durch den Widerstand) auf einen Strom. Die Einheiten
treten ja ohnehin nur als konstanter Faktor (Gain der
Übertragungsfunktion) auf.
Ob das System physikalische realisierbar ist finde ich an der Stelle
überhaupt nicht entscheidend. Dass man die ideale Spule in der Realität
aufgrund von parasitären Grössen nicht bauen kann ist mir klar und auch
nicht das Thema. Dass in der Realität keine unendlichen Grössen
auftreten können ist auch klar, das bedeutet aber nur, dass das Modell
für zu grosse Signaländerungen seine Gültigkeit verliert.
Stefan H. schrieb:> Ich möchte nochmal drauf eingehen, warum eine ideale Spule> systemtheoretisch nicht realisierbar ist. Stelle Dir dazu vor, du> hättest eine ideale Spule mit der Funktion u(t) = L*di(t)/dt. Stelle dir> vor, zum Zeitpunkt "jetzt"=t0=0 kommt ein Stromsprung. Um diesen> Differenzierer ideal aufzubauen müsstest du den Differenzialquotienten> bilden, mit infinitesimalen Abständen vor und nach dem Punkt:>> lim i(t0+dt) - i(t0-dt)> dt->0 -------------------> (t0+dt)- (t0-dt)>> Vielleicht siehst Du hier schon das Problem: i(t0+dt) kannst Du nicht> kennen, da t0=jetzt ist, also t0+dt in der Zukunft liegt. Und da> keiner die Zukunft kennt, ist diese Form systemtheoretisch nicht> realisierbar. Was natürlich in der Praxis passiert, ist, dass der> Differenzialquotient folgendermaßen bestimmt wird:>> lim i(t0) - i(t0-dt)> dt->0 -------------------> (t0)- (t0-dt)>> Hierfür brauchst Du eben nicht mehr zukünftige Werte, aber der> Differenzierer ist nicht mehr symmetrisch um "jetzt", sondern hinkt> infinitesimal weit hinterher. Das ist dann der reale Differnzierer.
Wieso sollte der Differenzierer nicht kausal sein? Wir reden ja von
einem zeitkontinuierlichen System, da konvergieren der linksseite und
der rechtsseitige Limes gegen den gleichen Wert (Differenzierbarkeit
vorausgesetzt, was aber ohnehin gelten muss da sonst das Ergebnis des
Systems nicht definiert ist).
Wenn man die Frage googlet findet man recht viele ähnliche Diskussionen
zu dem Thema allerdings ohne eine wirkliche Antwort. Zudem lautet die
Bedinung für Kausalität offenbar so: Der Nennergrad muss echt grösser
als der Zählergrad sein und die Laplacetransformierte muss rechtsseitig
von allen Polen konvergieren (ich habe fälschlicherweise geschrieben die
Grade dürfen gleich grosse sein).
Das stimmt aber für eine System das das Eingangssignal nur mit einem
konstanten Faktor multiplizert (konstanter Gain) nicht. Die
Übertragungsfunktion ist G(s) = 1 und damit ist der Nennergrad nicht
höher als der Zählergrad.
Irgendwie hab ich den Verdacht dass das Theorem nur dann gültig ist,
wenn die Impulsantwort eine Funktion und keine Distribution (Dirac Delta
oder Ableitung davon) ist. Leider habe ich von Distributionen keine
Ahnung.
knu schrieb:> Das stimmt aber für eine System das das Eingangssignal nur mit einem> konstanten Faktor multiplizert (konstanter Gain) nicht. Die> Übertragungsfunktion ist G(s) = 1 und damit ist der Nennergrad nicht> höher als der Zählergrad.
Deine Definition ist falsch. Das führt nur zur unnötigen Fragerei!
http://webber.physik.uni-freiburg.de/~hon/vorlss02/Literatur/Ingenieurswiss/Regelungstechnik/Regelungstechnik3.pdf
G(s) = s/s = 1 q.e.d.
> Irgendwie hab ich den Verdacht dass das Theorem nur dann gültig ist,> wenn die Impulsantwort eine Funktion und keine Distribution (Dirac Delta> oder Ableitung davon) ist. Leider habe ich von Distributionen keine> Ahnung.
Warum muss es immer wieder an der Mathematik scheitern?!
Der Sachverhalt ist eigentlich ganz klar. Es gibt keinen idealen
Differenzierer in der Bildebene bei der Laplacetransformation.
Was passiert wenn man etwas durch null teil:
Mathematiker sagt: es ergibt unendlich, da laut Definition...
Taschenrechner sagt: error
In den o.g. Skript steht alles ausführlich drin.
aSma>> schrieb:> knu schrieb:>> Das stimmt aber für eine System das das Eingangssignal nur mit einem>> konstanten Faktor multiplizert (konstanter Gain) nicht. Die>> Übertragungsfunktion ist G(s) = 1 und damit ist der Nennergrad nicht>> höher als der Zählergrad.>> Deine Definition ist falsch. Das führt nur zur unnötigen Fragerei!
Nein ist sie nicht.
Sieh doch mal hier:
https://books.google.ch/books?id=gGkGBgAAQBAJ&pg=PA21&lpg=PA21&dq=differenzierer+ist+kausales+system&source=bl&ots=bdPqkUzJJO&sig=jhT3bkFU31dQPrO3f4Jv_WqCPKs&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjhiKP9nqHTAhXlKcAKHYJMCq0Q6AEIMTAE#v=onepage&q=differenzierer%20ist%20kausales%20system&f=false
In diesem Buch steht drin dass der zeitkontinuierliche Differenzierer
kausal ist (Seite 21 und 22 ganz oben). In deinem Skript (das ich auch
schon gefunden habe) steht das Gegenteil.
aSma>> schrieb:>> Irgendwie hab ich den Verdacht dass das Theorem nur dann gültig ist,>> wenn die Impulsantwort eine Funktion und keine Distribution (Dirac Delta>> oder Ableitung davon) ist. Leider habe ich von Distributionen keine>> Ahnung.> Warum muss es immer wieder an der Mathematik scheitern?!
Weil das ganze nun mal eine mehr mathematische Frage ist als eine Frage
der Realisierbarkeit.
Insbesondere konnte ich mit solchen Antworten a la "find dich damit ab
die Relität ist so und die Mathematik ist in der Praxis nicht wichtig"
noch nie viel anfangen.
> Der Sachverhalt ist eigentlich ganz klar. Es gibt keinen idealen> Differenzierer in der Bildebene bei der Laplacetransformation.
Der Sachverhalt ist alles andere als klar wie der Link zu dem Buch
zeigt. Diverse Bücher und Skripte scheinen sich hier laufend zu
widersprechen. Und ich werde den Verdacht nicht los dass die meisten
Skripte falsch liegen da für Ingenieure geschreiben welche es mit den
mathematischen Randbedingungen nicht immer so genau nehmen.
knu schrieb:> Sieh doch mal hier:>> https://books.google.ch/books?id=gGkGBgAAQBAJ&pg=PA21&lpg=PA21&dq=differenzierer+ist+kausales+system&source=bl&ots=bdPqkUzJJO&sig=jhT3bkFU31dQPrO3f4Jv_WqCPKs&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjhiKP9nqHTAhXlKcAKHYJMCq0Q6AEIMTAE#v=onepage&q=differenzierer%20ist%20kausales%20system&f=false
Der Autor sagt nur, dass es unter kausalen Systemen eine Abzweigung von
gedächnislosen und welche mit Gedächnis gibt. Weiterhin hat er das
Beispiel mit den P-Regler wiedergeben, welches gedächnislos und dennoch
gleichzeitig kausal ist!
Der Professor aus der Uni-Freiburg sagt eindeutig, dass der Grad des
Zählerpolynom kleiner gleich Nennerpolynom sein muss, damit ein System
kausal ist. Anhand der Formel sieht ein blinder, dass ein P-Regler als
kausal gilt.
> Insbesondere konnte ich mit solchen Antworten a la "find dich damit ab> die Relität ist so und die Mathematik ist in der Praxis nicht wichtig"> noch nie viel anfangen.
Gibst du dich damit ab, dass der Quotient durch null unendlich oder
error ist?
Wenn du sagst es ist unendlich, dann hast du aus der Mathematik den
Grenzwertsatz angewandt...
> Der Sachverhalt ist alles andere als klar wie der Link zu dem Buch> zeigt. Diverse Bücher und Skripte scheinen sich hier laufend zu> widersprechen. Und ich werde den Verdacht nicht los dass die meisten> Skripte falsch liegen da für Ingenieure geschreiben welche es mit den> mathematischen Randbedingungen nicht immer so genau nehmen.
Ne, du brauchst einen Mathekurs.
aSma>> schrieb:> https://books.google.ch/books?id=gGkGBgAAQBAJ&pg=PA21&lpg=PA21&dq=differenzierer+ist+kausales+system&source=bl&ots=bdPqkUzJJO&sig=jhT3bkFU31dQPrO3f4Jv_WqCPKs&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjhiKP9nqHTAhXlKcAKHYJMCq0Q6AEIMTAE#v=onepage&q=differenzierer%20ist%20kausales%20system&f=false>> Der Autor sagt nur, dass es unter kausalen Systemen eine Abzweigung von> gedächnislosen und welche mit Gedächnis gibt. Weiterhin hat er das> Beispiel mit den P-Regler wiedergeben, welches gedächnislos und dennoch> gleichzeitig kausal ist!
Seite 21: "Der zeitkontinuierliche Differenzierer kann als kausales
System aufgefasst werden, denn bei differenzierbaren Eingangssignalen
darf die Ableitung linksseitig gebildet werden"
aSma>> schrieb:> Der Professor aus der Uni-Freiburg sagt eindeutig, dass der Grad des> Zählerpolynom kleiner gleich Nennerpolynom sein muss, damit ein System> kausal ist. Anhand der Formel sieht ein blinder, dass ein P-Regler als> kausal gilt.
Ja und hast du dir jemals überlegt wieso das so sein muss? Ich schon und
die Krux an der Sache ist, dass der Beweis meist nur Sinn macht, wenn
die Impulsantwort des Systems eine Funktion ist. Die Impulsantwort des
Differnzieres existiert aber nicht, die existiert nur als Distribution.
Und das widerspricht auch nicht dem Beispiel mit dem P-Regler (der
besitzt nämlich ebenfalls keine "echte" Übertragungsfunktion im
Zeitbereich, sondern nur eine im distributiven Sinn).
aSma>> schrieb:> Ne, du brauchst einen Mathekurs.
Dir fehlt das Wissen, dass eine Übertragungsfunktion im Zeitbereich
nicht notwendigerweise existieren muss. Ich glaube eher dass du zu den
besagten Ingenieuren gehörst welche es mit der Mathematik nicht so genau
nehmen und Theoreme verwenden ohne sich zu überlegen wieso und unter
welchen Bedingungen diese gelten. Das Taschenrechnerbeispiel zeigt das
recht gut.
knu schrieb:> Ja und hast du dir jemals überlegt wieso das so sein muss?
Die ganzen Rechenarten der Laplacetransformation beruhen darauf.
Bilde mal den Anfangswertsatz und den Endwertsatz dür den
Differenzierer...
Mathematisch gesehen kommt da beim Endwertsatz Gülle raus. Also macht
man wie soft eine Annahme.
> Und das widerspricht auch nicht dem Beispiel mit dem P-Regler (der> besitzt nämlich ebenfalls keine "echte" Übertragungsfunktion im> Zeitbereich, sondern nur eine im distributiven Sinn).
Nein, tut es nicht. Laut Definition ist alles korrekt.
> Dir fehlt das Wissen, dass eine Übertragungsfunktion im Zeitbereich> nicht notwendigerweise existieren muss.
Doch diese existiert theoretisch auf den Papier. Das ist doch der
Hauptgrund der Diskussion.
> ... .Das Taschenrechnerbeispiel zeigt das> recht gut.
Ja genau. Das Taschenrechnerbeispiel zeigt, dass dummerweise, der
Quotient theoretisch unendlich groß ist. Einstein wusste das auch.
So ich bin der Frage nachgegangen und habe den Prof hier gefragt. Die
Sache ist so:
Ob der Differenzierer kausal ist oder nicht hängt von der Klasse der
Funktionen ab welche betrachtet wird. Bei einem Differenzierer setzt man
üblicherweise voraus, dass die Eingangssignale differenzierbare
Funktionen sind. Damit ist der Differenzierer ein kausales System, denn
man kann zur Bildung des Differentialquotienten den linksseitigen
Grenzwert heranziehen (denn Differenzierbarkeit setzt voraus, dass
dieser ident zum rechtsseitigen oder beidseitigen ist).
Man könnte theoretisch den Signalraum erweitern auf Signale welche nicht
differenzierbar sind und einen entsprechenden Differentialquotienten
definieren. Dabei hinge Kausalität davon ab ob ein linksseitiger Limes
(kausal) oder ein rechtsseitiger Limes (akausal) oder etwas gänzlich
anderes als Definition von Differenzierbarkeit verwendet würde.
Bezüglich des Beweises in der s-Ebene ist es so wie ich erwartet habe:
das ganze ist nur gültig, solange die Impulsantwort des Systems eine
Funktion ist. Die Impulsantwort des Differenzierers existiert aber nicht
als Funktion und damit ist das Kriterium nicht anwendbar. Die wird in
der Tat in der Mehrzahl der Bücher und Skripten flasch/schlampig
behandelt. Systeme bei welchen der Zählergrad höher als der Nennergrad
ist sind also durchaus realisierbare Systeme.
knu schrieb:> Die wird in> der Tat in der Mehrzahl der Bücher und Skripten flasch/schlampig> behandelt. Systeme bei welchen der Zählergrad höher als der Nennergrad> ist sind also durchaus realisierbare Systeme.
Nein! Nicht als Ganzsystem, sondern nur ein Teil davon. Wir reden ja
gerade von der Bildebene.
Bring aber einen nicht weiter. Jegliche Simulation würde einen error
ergeben.
aSma>> schrieb:> knu schrieb:>> Die wird in>> der Tat in der Mehrzahl der Bücher und Skripten flasch/schlampig>> behandelt. Systeme bei welchen der Zählergrad höher als der Nennergrad>> ist sind also durchaus realisierbare Systeme.>> Nein! Nicht als Ganzsystem, sondern nur ein Teil davon. Wir reden ja> gerade von der Bildebene.
Doch.
aSma>> schrieb:> Bring aber einen nicht weiter. Jegliche Simulation würde einen error> ergeben.
Abgesehen davon dass ein Simulationsprogramm auch akausale Systeme
modellieren könnte, was berufst du dich immer auf Simulationsprogramme
und Taschenrechner? Das sind keine gottgegebenen Tools, die sind nur so
intelligent wie der der sie programmiert hat und der der sie benützt.
Ich kann dir nur wärmsten empfehlen selber zu denken und zu
berücksichtigen wie deren Ergebnisse zustande kommen. Nur weil der
Taschenrechner keine Wurzel aus einer negativen Zahl zieht heisst es
nicht, dass die Gleichung x^2+1=0 keine Lösung hat. Aber das Tut hier
eigentlich eh nix zur Sache.
Ich habe dir schon mehrfach versucht zu erklären, dass auf dem Papier
vieles theoretisch geht aber die Realität holt einen schnell ein.
Welchen Mehrwert hat ein akausales System für dich?
Nehmen wir als Beispiel den idealen PID-Regler. Die Übertragungsfunktion
ist ja recht bekannt. Da aber der D-Anteil in einer infinitesimalen
Zeitspanne agiert ergibt die Funktion eher einen PI-Regler. Lege die
Kausalität ad acta.
