Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch: Wenn ich die rationale Übertragungsfunktion eines Systems im Bildbereich habe, dann muss diese zwei Bedingungen erfüllen damit das System kausal ist: der Grad des Zählers muss kleiner oder gleich dem Grad des Nenners sein und die Übertragungsfunktion muss in der gesamten Halbebene rechtsseitig von sämtlichen Polen konvergieren. Aus dem ganzen folgt, dass ein Differenzierer ein nicht kausales System ist (wie man auch überall nachschlagen kann). Nehmen wir nun als System eine ideale Spule: u(t) = L*di(t)/dt Wenn wir nun u(t) als den Ausgang unseres Systems betrachten und i(t) als Eingang, dann ist die Übertragungsfunktion U(s)/I(s) = s*L und damit nicht kausal. Irgendwie werd ich aus dem ganzen nicht schlau. Eine Spule ist ja durchaus ein "realisierbares" physikalisches System und das hätte ich durchaus als kausal eingeschätzt...gibt es dafür eine anschauliche Erklärung? Ich kann die Spule ja an eine Stromquelle hängen, dann wird sich abhängig vom Strom eine Spannung einstellen die nicht von Stromwerten in der Zukunft abhängen kann.
Ist bei mir leider alles etwas lange her aber kannst dir mal auf dem Link Beitrag "Warum kann der Zählergrad nicht höher sein als der Nennerfrad bei einer Ü-Funktion ?" die Antwort von Autor: Tobias Plüss (hubertus) Datum: 29.07.2014 19:28 durchlesen. Edit: Ein Beispiel aus der Praxis in Bezug auf die obrige Antwort. Baut man mit einem Operationsverstärker einen Differentiator hat dieser immer eine Grenzfrequenz ab der er nicht mehr differenziert. Um einen richtigen Differentiator zu bauen braucht man einen unendlich hohes GBW des Operationsverstärkers.
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Dein Beispiel wirft ganz klar Fragen auf, meiner Meinung nach wäre ein Differenzierer auf eine Art, wie du sie beschrieben hast, aus systemtheoretischer Sicht definitiv "realisierbar". Gleiches gilt beim Kondensator, der an eine Spannungsquelle angeschlossen ist und der Strom als Ausgang definiert ist. Prinzipiell würde ich auch nicht sagen, dass es sich um ein nicht kausales System handelt, denn der Differenzierer guckt ja nicht in die Zukunft, sondern nur auf die Ableitung der Eingangsgröße zum aktuellen Zeitpunkt. Dort hinkt die Sache mit Zähler und Nennergrad ein wenig. Zwei Möglichkeiten sehe ich: 1. Die Definition von Kausalität und das Verhältnis von Zähler- und Nennergrad des Systems sind keine vollständigen Synonyme und in üblichen Lehrschriften wird das ausgeblendet 2. Es gibt irgendeinen mathematischen Beweis oder so, der die Übertragungsfunktion "s" als nicht kausal definiert. Ein Denkanstoß in letztere Richtung wäre zum Beispiel in der Sprungantwort des Systems zu suchen: Es ist der Diracimpuls, unendlich hoch und unendlich kurz. Dass das Ding nicht realisierbar ist, liegt ja irgendwie auf der Hand. Sprungfähige Systeme sind zwar realisierbar (Spannungsteiler), jedoch ist dieses hier sozusagen "unendlich sprungfähig". Aber das ist sicher nicht handfest genug, um deinen Grübeleien beizukommen.
Moin, Kanns sein, dass du einfach nur Kausalitaet und Stabilitaet eines System miteinander verwurstest? Gruss WK
Hallo,
ich bin neulich auch über diese Frage gestolpert und habe mich damit
länger beschäftigt. Erstmal ist mit "idealer Spule" gemeint, dass Sie
keinerlei Innenwiderstand und keinerlei parasitären Effekte hat. Eine
solche Spule wäre ein idealer Differenzierer und folglich nicht möglich.
Mit etwas Innenwiderstand oder parasitäter Kapazität wird aus der
idealen Spule eine realisierbare.
Ich möchte nochmal drauf eingehen, warum eine ideale Spule
systemtheoretisch nicht realisierbar ist. Stelle Dir dazu vor, du
hättest eine ideale Spule mit der Funktion u(t) = L*di(t)/dt. Stelle dir
vor, zum Zeitpunkt "jetzt"=t0=0 kommt ein Stromsprung. Um diesen
Differenzierer ideal aufzubauen müsstest du den Differenzialquotienten
bilden, mit infinitesimalen Abständen vor und nach dem Punkt:
lim i(t0+dt) - i(t0-dt)
dt->0 -------------------
(t0+dt)- (t0-dt)
Vielleicht siehst Du hier schon das Problem: i(t0+dt) kannst Du nicht
kennen, da t0=jetzt ist, also t0+dt in der Zukunft liegt. Und da
keiner die Zukunft kennt, ist diese Form systemtheoretisch nicht
realisierbar. Was natürlich in der Praxis passiert, ist, dass der
Differenzialquotient folgendermaßen bestimmt wird:
lim i(t0) - i(t0-dt)
dt->0 -------------------
(t0)- (t0-dt)
Hierfür brauchst Du eben nicht mehr zukünftige Werte, aber der
Differenzierer ist nicht mehr symmetrisch um "jetzt", sondern hinkt
infinitesimal weit hinterher. Das ist dann der reale Differnzierer.
Ich hoffe diese Erklärung ist anschaulich, und Du verstehst was ich
meine...
Viele Grüße,
Stefan
In der Regelungstechnik gibt es den realen und den idealen Differenzierer. Mit den Idealen lässt es sich im Bildbereich schöner rechnen und im Frequenzbereich gibt es dafür ein Bodediagramm. In der Realität/Simulation kann eine Sprungantwort nicht unendlich schnell stattfinden, da im Kupfer die Elektronen eine Verzögerungskonstante miteinbringen oder auch Aufgrund jede Leitung besitzt eine extra Kapazität und Induktivität. Anders sieht es bei den zeitdiskreten System aus. Da können nichtkausale Systeme mittels einer Zeitverschiebung als wieder kausal betrachtet werden. Das ist also wie in der Mathematik, um die reellen Zahlen verstehen zu können muss man erstmal die komplexe Zahlenebene verstehen.
Meiner Meinung nach ist es nicht ganz richtig Theoreme übrr Übertragungsfunktionen anzuwenden die nicht die gleichen Größen sind. Zur Erläuterung: Zählerpotenz kleiner Nennerpotenz kommt daher, da das System sonst unendlich viel Energie liefern müsste (unabhängig von Kausalität). Dieser Schluss stimmt bei U/I für Spule nicht mehr. Allgemeiner noch: sollte es für U/i stimmen wäre es für I/U falsch. Man muss Äpfel mit Äpfeln vergleichen.D.h. den Strom z.B. wieder über einen Widerstand in Spannung umsetzen.
Dumdi D. schrieb: > Meiner Meinung nach ist es nicht ganz richtig Theoreme übrr > Übertragungsfunktionen anzuwenden die nicht die gleichen Größen sind. > Zur Erläuterung: Zählerpotenz kleiner Nennerpotenz kommt daher, da das > System sonst unendlich viel Energie liefern müsste (unabhängig von > Kausalität). Dieser Schluss stimmt bei U/I für Spule nicht mehr. > Allgemeiner noch: sollte es für U/i stimmen wäre es für I/U falsch. > Man muss Äpfel mit Äpfeln vergleichen.D.h. den Strom z.B. wieder über > einen Widerstand in Spannung umsetzen. Du kannst auch mit einem OPV die Spannung messen und als Last vom OPV einen Widerstand ansetzen. Dann hast du wieder eine Übertragungsfunktion von einem Strom (durch den Widerstand) auf einen Strom. Die Einheiten treten ja ohnehin nur als konstanter Faktor (Gain der Übertragungsfunktion) auf. Ob das System physikalische realisierbar ist finde ich an der Stelle überhaupt nicht entscheidend. Dass man die ideale Spule in der Realität aufgrund von parasitären Grössen nicht bauen kann ist mir klar und auch nicht das Thema. Dass in der Realität keine unendlichen Grössen auftreten können ist auch klar, das bedeutet aber nur, dass das Modell für zu grosse Signaländerungen seine Gültigkeit verliert. Stefan H. schrieb: > Ich möchte nochmal drauf eingehen, warum eine ideale Spule > systemtheoretisch nicht realisierbar ist. Stelle Dir dazu vor, du > hättest eine ideale Spule mit der Funktion u(t) = L*di(t)/dt. Stelle dir > vor, zum Zeitpunkt "jetzt"=t0=0 kommt ein Stromsprung. Um diesen > Differenzierer ideal aufzubauen müsstest du den Differenzialquotienten > bilden, mit infinitesimalen Abständen vor und nach dem Punkt: > > lim i(t0+dt) - i(t0-dt) > dt->0 ------------------- > (t0+dt)- (t0-dt) > > Vielleicht siehst Du hier schon das Problem: i(t0+dt) kannst Du nicht > kennen, da t0=jetzt ist, also t0+dt in der Zukunft liegt. Und da > keiner die Zukunft kennt, ist diese Form systemtheoretisch nicht > realisierbar. Was natürlich in der Praxis passiert, ist, dass der > Differenzialquotient folgendermaßen bestimmt wird: > > lim i(t0) - i(t0-dt) > dt->0 ------------------- > (t0)- (t0-dt) > > Hierfür brauchst Du eben nicht mehr zukünftige Werte, aber der > Differenzierer ist nicht mehr symmetrisch um "jetzt", sondern hinkt > infinitesimal weit hinterher. Das ist dann der reale Differnzierer. Wieso sollte der Differenzierer nicht kausal sein? Wir reden ja von einem zeitkontinuierlichen System, da konvergieren der linksseite und der rechtsseitige Limes gegen den gleichen Wert (Differenzierbarkeit vorausgesetzt, was aber ohnehin gelten muss da sonst das Ergebnis des Systems nicht definiert ist). Wenn man die Frage googlet findet man recht viele ähnliche Diskussionen zu dem Thema allerdings ohne eine wirkliche Antwort. Zudem lautet die Bedinung für Kausalität offenbar so: Der Nennergrad muss echt grösser als der Zählergrad sein und die Laplacetransformierte muss rechtsseitig von allen Polen konvergieren (ich habe fälschlicherweise geschrieben die Grade dürfen gleich grosse sein). Das stimmt aber für eine System das das Eingangssignal nur mit einem konstanten Faktor multiplizert (konstanter Gain) nicht. Die Übertragungsfunktion ist G(s) = 1 und damit ist der Nennergrad nicht höher als der Zählergrad. Irgendwie hab ich den Verdacht dass das Theorem nur dann gültig ist, wenn die Impulsantwort eine Funktion und keine Distribution (Dirac Delta oder Ableitung davon) ist. Leider habe ich von Distributionen keine Ahnung.
knu schrieb: > Das stimmt aber für eine System das das Eingangssignal nur mit einem > konstanten Faktor multiplizert (konstanter Gain) nicht. Die > Übertragungsfunktion ist G(s) = 1 und damit ist der Nennergrad nicht > höher als der Zählergrad. Deine Definition ist falsch. Das führt nur zur unnötigen Fragerei! http://webber.physik.uni-freiburg.de/~hon/vorlss02/Literatur/Ingenieurswiss/Regelungstechnik/Regelungstechnik3.pdf G(s) = s/s = 1 q.e.d. > Irgendwie hab ich den Verdacht dass das Theorem nur dann gültig ist, > wenn die Impulsantwort eine Funktion und keine Distribution (Dirac Delta > oder Ableitung davon) ist. Leider habe ich von Distributionen keine > Ahnung. Warum muss es immer wieder an der Mathematik scheitern?! Der Sachverhalt ist eigentlich ganz klar. Es gibt keinen idealen Differenzierer in der Bildebene bei der Laplacetransformation. Was passiert wenn man etwas durch null teil: Mathematiker sagt: es ergibt unendlich, da laut Definition... Taschenrechner sagt: error In den o.g. Skript steht alles ausführlich drin.
aSma>> schrieb: > knu schrieb: >> Das stimmt aber für eine System das das Eingangssignal nur mit einem >> konstanten Faktor multiplizert (konstanter Gain) nicht. Die >> Übertragungsfunktion ist G(s) = 1 und damit ist der Nennergrad nicht >> höher als der Zählergrad. > > Deine Definition ist falsch. Das führt nur zur unnötigen Fragerei! Nein ist sie nicht. Sieh doch mal hier: https://books.google.ch/books?id=gGkGBgAAQBAJ&pg=PA21&lpg=PA21&dq=differenzierer+ist+kausales+system&source=bl&ots=bdPqkUzJJO&sig=jhT3bkFU31dQPrO3f4Jv_WqCPKs&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjhiKP9nqHTAhXlKcAKHYJMCq0Q6AEIMTAE#v=onepage&q=differenzierer%20ist%20kausales%20system&f=false In diesem Buch steht drin dass der zeitkontinuierliche Differenzierer kausal ist (Seite 21 und 22 ganz oben). In deinem Skript (das ich auch schon gefunden habe) steht das Gegenteil. aSma>> schrieb: >> Irgendwie hab ich den Verdacht dass das Theorem nur dann gültig ist, >> wenn die Impulsantwort eine Funktion und keine Distribution (Dirac Delta >> oder Ableitung davon) ist. Leider habe ich von Distributionen keine >> Ahnung. > Warum muss es immer wieder an der Mathematik scheitern?! Weil das ganze nun mal eine mehr mathematische Frage ist als eine Frage der Realisierbarkeit. Insbesondere konnte ich mit solchen Antworten a la "find dich damit ab die Relität ist so und die Mathematik ist in der Praxis nicht wichtig" noch nie viel anfangen. > Der Sachverhalt ist eigentlich ganz klar. Es gibt keinen idealen > Differenzierer in der Bildebene bei der Laplacetransformation. Der Sachverhalt ist alles andere als klar wie der Link zu dem Buch zeigt. Diverse Bücher und Skripte scheinen sich hier laufend zu widersprechen. Und ich werde den Verdacht nicht los dass die meisten Skripte falsch liegen da für Ingenieure geschreiben welche es mit den mathematischen Randbedingungen nicht immer so genau nehmen.
knu schrieb: > Sieh doch mal hier: > > https://books.google.ch/books?id=gGkGBgAAQBAJ&pg=PA21&lpg=PA21&dq=differenzierer+ist+kausales+system&source=bl&ots=bdPqkUzJJO&sig=jhT3bkFU31dQPrO3f4Jv_WqCPKs&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjhiKP9nqHTAhXlKcAKHYJMCq0Q6AEIMTAE#v=onepage&q=differenzierer%20ist%20kausales%20system&f=false Der Autor sagt nur, dass es unter kausalen Systemen eine Abzweigung von gedächnislosen und welche mit Gedächnis gibt. Weiterhin hat er das Beispiel mit den P-Regler wiedergeben, welches gedächnislos und dennoch gleichzeitig kausal ist! Der Professor aus der Uni-Freiburg sagt eindeutig, dass der Grad des Zählerpolynom kleiner gleich Nennerpolynom sein muss, damit ein System kausal ist. Anhand der Formel sieht ein blinder, dass ein P-Regler als kausal gilt. > Insbesondere konnte ich mit solchen Antworten a la "find dich damit ab > die Relität ist so und die Mathematik ist in der Praxis nicht wichtig" > noch nie viel anfangen. Gibst du dich damit ab, dass der Quotient durch null unendlich oder error ist? Wenn du sagst es ist unendlich, dann hast du aus der Mathematik den Grenzwertsatz angewandt... > Der Sachverhalt ist alles andere als klar wie der Link zu dem Buch > zeigt. Diverse Bücher und Skripte scheinen sich hier laufend zu > widersprechen. Und ich werde den Verdacht nicht los dass die meisten > Skripte falsch liegen da für Ingenieure geschreiben welche es mit den > mathematischen Randbedingungen nicht immer so genau nehmen. Ne, du brauchst einen Mathekurs.
aSma>> schrieb: > https://books.google.ch/books?id=gGkGBgAAQBAJ&pg=PA21&lpg=PA21&dq=differenzierer+ist+kausales+system&source=bl&ots=bdPqkUzJJO&sig=jhT3bkFU31dQPrO3f4Jv_WqCPKs&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjhiKP9nqHTAhXlKcAKHYJMCq0Q6AEIMTAE#v=onepage&q=differenzierer%20ist%20kausales%20system&f=false > > Der Autor sagt nur, dass es unter kausalen Systemen eine Abzweigung von > gedächnislosen und welche mit Gedächnis gibt. Weiterhin hat er das > Beispiel mit den P-Regler wiedergeben, welches gedächnislos und dennoch > gleichzeitig kausal ist! Seite 21: "Der zeitkontinuierliche Differenzierer kann als kausales System aufgefasst werden, denn bei differenzierbaren Eingangssignalen darf die Ableitung linksseitig gebildet werden" aSma>> schrieb: > Der Professor aus der Uni-Freiburg sagt eindeutig, dass der Grad des > Zählerpolynom kleiner gleich Nennerpolynom sein muss, damit ein System > kausal ist. Anhand der Formel sieht ein blinder, dass ein P-Regler als > kausal gilt. Ja und hast du dir jemals überlegt wieso das so sein muss? Ich schon und die Krux an der Sache ist, dass der Beweis meist nur Sinn macht, wenn die Impulsantwort des Systems eine Funktion ist. Die Impulsantwort des Differnzieres existiert aber nicht, die existiert nur als Distribution. Und das widerspricht auch nicht dem Beispiel mit dem P-Regler (der besitzt nämlich ebenfalls keine "echte" Übertragungsfunktion im Zeitbereich, sondern nur eine im distributiven Sinn). aSma>> schrieb: > Ne, du brauchst einen Mathekurs. Dir fehlt das Wissen, dass eine Übertragungsfunktion im Zeitbereich nicht notwendigerweise existieren muss. Ich glaube eher dass du zu den besagten Ingenieuren gehörst welche es mit der Mathematik nicht so genau nehmen und Theoreme verwenden ohne sich zu überlegen wieso und unter welchen Bedingungen diese gelten. Das Taschenrechnerbeispiel zeigt das recht gut.
knu schrieb: > Ja und hast du dir jemals überlegt wieso das so sein muss? Die ganzen Rechenarten der Laplacetransformation beruhen darauf. Bilde mal den Anfangswertsatz und den Endwertsatz dür den Differenzierer... Mathematisch gesehen kommt da beim Endwertsatz Gülle raus. Also macht man wie soft eine Annahme. > Und das widerspricht auch nicht dem Beispiel mit dem P-Regler (der > besitzt nämlich ebenfalls keine "echte" Übertragungsfunktion im > Zeitbereich, sondern nur eine im distributiven Sinn). Nein, tut es nicht. Laut Definition ist alles korrekt. > Dir fehlt das Wissen, dass eine Übertragungsfunktion im Zeitbereich > nicht notwendigerweise existieren muss. Doch diese existiert theoretisch auf den Papier. Das ist doch der Hauptgrund der Diskussion. > ... .Das Taschenrechnerbeispiel zeigt das > recht gut. Ja genau. Das Taschenrechnerbeispiel zeigt, dass dummerweise, der Quotient theoretisch unendlich groß ist. Einstein wusste das auch.
So ich bin der Frage nachgegangen und habe den Prof hier gefragt. Die Sache ist so: Ob der Differenzierer kausal ist oder nicht hängt von der Klasse der Funktionen ab welche betrachtet wird. Bei einem Differenzierer setzt man üblicherweise voraus, dass die Eingangssignale differenzierbare Funktionen sind. Damit ist der Differenzierer ein kausales System, denn man kann zur Bildung des Differentialquotienten den linksseitigen Grenzwert heranziehen (denn Differenzierbarkeit setzt voraus, dass dieser ident zum rechtsseitigen oder beidseitigen ist). Man könnte theoretisch den Signalraum erweitern auf Signale welche nicht differenzierbar sind und einen entsprechenden Differentialquotienten definieren. Dabei hinge Kausalität davon ab ob ein linksseitiger Limes (kausal) oder ein rechtsseitiger Limes (akausal) oder etwas gänzlich anderes als Definition von Differenzierbarkeit verwendet würde. Bezüglich des Beweises in der s-Ebene ist es so wie ich erwartet habe: das ganze ist nur gültig, solange die Impulsantwort des Systems eine Funktion ist. Die Impulsantwort des Differenzierers existiert aber nicht als Funktion und damit ist das Kriterium nicht anwendbar. Die wird in der Tat in der Mehrzahl der Bücher und Skripten flasch/schlampig behandelt. Systeme bei welchen der Zählergrad höher als der Nennergrad ist sind also durchaus realisierbare Systeme.
knu schrieb: > Die wird in > der Tat in der Mehrzahl der Bücher und Skripten flasch/schlampig > behandelt. Systeme bei welchen der Zählergrad höher als der Nennergrad > ist sind also durchaus realisierbare Systeme. Nein! Nicht als Ganzsystem, sondern nur ein Teil davon. Wir reden ja gerade von der Bildebene. Bring aber einen nicht weiter. Jegliche Simulation würde einen error ergeben.
aSma>> schrieb: > knu schrieb: >> Die wird in >> der Tat in der Mehrzahl der Bücher und Skripten flasch/schlampig >> behandelt. Systeme bei welchen der Zählergrad höher als der Nennergrad >> ist sind also durchaus realisierbare Systeme. > > Nein! Nicht als Ganzsystem, sondern nur ein Teil davon. Wir reden ja > gerade von der Bildebene. Doch. aSma>> schrieb: > Bring aber einen nicht weiter. Jegliche Simulation würde einen error > ergeben. Abgesehen davon dass ein Simulationsprogramm auch akausale Systeme modellieren könnte, was berufst du dich immer auf Simulationsprogramme und Taschenrechner? Das sind keine gottgegebenen Tools, die sind nur so intelligent wie der der sie programmiert hat und der der sie benützt. Ich kann dir nur wärmsten empfehlen selber zu denken und zu berücksichtigen wie deren Ergebnisse zustande kommen. Nur weil der Taschenrechner keine Wurzel aus einer negativen Zahl zieht heisst es nicht, dass die Gleichung x^2+1=0 keine Lösung hat. Aber das Tut hier eigentlich eh nix zur Sache.
Ich habe dir schon mehrfach versucht zu erklären, dass auf dem Papier vieles theoretisch geht aber die Realität holt einen schnell ein. Welchen Mehrwert hat ein akausales System für dich? Nehmen wir als Beispiel den idealen PID-Regler. Die Übertragungsfunktion ist ja recht bekannt. Da aber der D-Anteil in einer infinitesimalen Zeitspanne agiert ergibt die Funktion eher einen PI-Regler. Lege die Kausalität ad acta.
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