Wo befinden sich Pole und Nullstellen bei einem digitalen Tiefpass?

[gf (Gast)]

Hallo,

wo befinden sich üblicherweise Pole und Nullstellen bei einem digitalen 
Tiefpass in der Gauß Ebene?

[Wolfgang (Gast)]

Die Welt der digitalen Abtastsysteme dreht sich um den Einheitskreis

Hier schon mal geguckt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Digitales_Filter

[Mooskopf (Gast)]

Uebertragungspolynom durch die Z-Transformation lassen.

[THOR (Gast)]

Wolfgang schrieb:
> Die Welt der digitalen Abtastsysteme dreht sich um den
> Einheitskreis
>
> Hier schon mal geguckt:
> https://de.wikipedia.org/wiki/Digitales_Filter

Ohne die mathematischen Grundlagen zeitdiskreter Operationen ist der 
Artikel reichlich wertlos.

Geht halt nix über ne ordentliche Vorlesung zu dem Thema. Notch Filter 
händisch nachrechnen und sowas. AKF und KKF herleiten. Fourier normal 
und dann nochmal zeitdiskret.

[Steffen (Gast)]

THOR schrieb:
> Ohne die mathematischen Grundlagen zeitdiskreter Operationen ist der
> Artikel reichlich wertlos.
>
> Geht halt nix über ne ordentliche Vorlesung zu dem Thema. Notch Filter
> händisch nachrechnen und sowas. AKF und KKF herleiten. Fourier normal
> und dann nochmal zeitdiskret.

Postest Du eigentlich auch mal irgendwo brauchbare Antworten? Ich lese 
immer nur entweder geschwafel, das wirklich niemandem hilft (wie hier) 
oder aber teilweise halbwahre bzw. falsche Dinge.


So ein Link ist eigentlich nie wertlos. Es ist der Anfang sich 
durchzuhangeln. Dafür muss man nicht direkt den ersten Link komplett 
verstehen. Gerade als jemand der offensichtlich in einer 
wissenschaftlichen Ausbildung steckt sollte man das wissen. Es ist schön 
und gut zu einigen Themen eine gute Vorlesung gehört zu haben. Aber das 
Studium deckt halt nur einen Bruchteil dessen ab, was einem danach so 
begegnet und da bekommt man dann keine Vorlesungen mehr.

[gf (Gast)]

Also ich bin mal hergegegangen und hab mir über die analoge Tiefpass 
Übertragungsfunktion G(s)=1/(s+1) mit der bilinearen Z Trafo den 
diskreten TP berechnet. Und dann einen HP daraus. In der 
kontinuierlichen Welt ist das für mich alles recht anschaulich. Aber was 
sehe ich da jetzt in der diskreten? In meinem konkreten Fall liegt eine 
0 stelle des diskreten TP bei -1 und ein Pol bei 0.
Natürlich kann ich aus einem Beispiel nichts keine allgemeine Aussage 
treffen. Oder doch?
Ein konjugieren komplexes polpaar eines Tiefpass müsste dann im rechten 
Halbkreis (also positiver realteil)  sein oder?

[Dergute W. (derguteweka)]

Moin,

In der z-Ebene entspricht der Einheitskreis der jw-Achse aus der 
s-Ebene.
Da ist dann also bei z=1 die Frequenz 0; wenn man den Kreis entgegen dem 
Uhrzeigersinn entlanglatscht, macht man praktisch einen Frequenzsweep. 
Bei z=-1 die halbe Abtastfrequenz.
Dein TP hat also bei der halben Abastfrequenz (ganz oben, d.h. maximal 
zulaessige Frequenz) eine Nullstelle. Ein oder mehrere Pole genau bei 0 
machen keinen richtigen Frequenzgang, die verschieben nur das 
Ausgangssignal zeitlich nach hinten, so dass der ganze Apparat kausal 
wird. Pol bei 0 bedeutet ja: H(z)=1/z*Hvomrest(z), also z^(-1). Und das 
ist ja widerum eine Vezoegerung um einen Takt.
Ein komplexes Polstellenpaar aus der linken s-Halbebene landet in der 
z-Ebene innerhalb des Einheiskreises, immer ein Pol oberhalb und ein Pol 
unterhalb der reellen Achse.

Gruss
WK

[Tobias P. (hubertus)]

Moin Moin,

aaah, eines meiner Lieblingsthemen.
Wo die Pole und Nullstellen eines digitalen Filters zu liegen kommen, 
hängt von vielem ab. Die Art des Filters ist natürlich entscheidend. Es 
bietet sich an, zunächst die zeitkontinuierlichen Filter anzuschauen.

Chebyshev: Pole liegen auf einer halben Ellipse in der linken Halbebene.
Butterworth: Halbkreis in der linken Halbebene.
Cheby und Butter haben keine Nullstellen.

Elliptische Filter: Wie Chebyshev, haben aber noch ein paar Nullstellen 
auf der imaginären Achse.

Soweit so gut. Wenn ein solches Filter jetzt in ein digitales Filter 
überführt wird, gibt es viele Möglichkeiten. Am meisten verwendet, weil 
am einfachsten ist die bilineare Transformation. Dann gibt es aber auch 
noch die Impulsinvariante Transformation sowie matched z-Transformation. 
Bei der Impulsinvarianten Transformation wird die Impulsantwort des 
kontinuierlichen Filters diskretisiert, also abgetastet. Das digitale 
Filter hat dann somit eine Ipulsantwort, die "gleich" aussieht. Die 
Sprungantwort ist i.d.R. anders. Eine Variante der impulsinvarianten 
Transformation ist diejenige Transformation, bei der man die 
Sprungantwort des kontinuierlichen Filters abtastet. Dadurch hat das 
digitale Filter "dieselbe" Sprungantwort, die Impulsantwort ist i.d.R. 
aber anders. Bei der matched z-Transformation (ich glaube, sie wird auch 
als modifizierte z-Transformation bezeichnet, was eigentlich Blödsinn 
ist, da es nicht wirklich mit der z-Transformation zu tun hat) hingegen 
werden die Pole und Nullstellen des zeitkontinuierlichen Filters direkt 
mit einer Exponentialfunktion "verwurstet" und 1:1 in den Einheitskreis 
gemappt.

Also hängt die Position der Pole und Nullstellen des digitalen Filters 
in erster Linie zwar durch die Art des Filters ab, aber eben auch durch 
die Methode, wie man zu dem Filter gekommen ist. Eine bilineare 
Transformation wird i.A. nicht zum selben Resultat führen wie eine 
Impulsinvarianztransformation.

Im Anhang mal meine Zusammenfassung zu dem Thema. Man erkennt anhand der 
verschiedenen Verfahren leicht, dass die Pole anders liegen müssen.