Parallelwiderstand für Phasenwinkel berechnen

[Holger K. (holgerkraehe)]

Hallo zusammen

Angehängt ist eine Schaltung welche es zu berechnen gilt.
Die Aufgabe lautet:

Welcher Widerstand R2 muss der Spule zugeschaltet werden, damit sich der 
Phasenwinkel halbiert.

Der Phasenwinkel im Zustand S offen beträgt gut 32°.

Es gilt die Beziehung:

$$arctan( \frac{\omega *L}{R1}) \approx 32°$$

Nun dachte ich, ok easy... Der Winkel beträgt neu also 16°  und Parallel 
zur Spule liegt ein Widerstand. also:

$$arctan( \frac{\frac{1}{\frac{1}{\omega *L}+\frac{1}{R2}}}{R1} ) \approx 16\deg$$

Nun fix umgestellt:

$$\frac{1}{tan(16)*R1}-\frac{1}{\omega *L}=\frac{1}{R2}$$

Werte Einsetzen:

$$\frac{1}{tan(16)*50\Omega }-\frac{1}{2*\pi*50Hz*0.1H}=\frac{1}{R2} \approx 0.0379173 \approx 26.3 \Omega$$

Dann noch den Kehrwert des Ergebnisses genommen und es gibt: 26 Ohm
Leider steht in der Lösung 38.6 Ohm.

Kann mir hier vielleicht jemand helfen?
Danke.

[Wolfgang (Gast)]

Holger K. schrieb:
> Kann mir hier vielleicht jemand helfen?

Lege mal die ganzen Formeln erstmal bei Seite und gucke dir die 
Phasenwinkel im Zeigerdiagramm an. Wenn man verstanden hat, was da 
passiert, kann man den genauen Wert per Formel ausrechnen.

[Holger K. (holgerkraehe)]

Wolfgang schrieb:
> Lege mal die ganzen Formeln erstmal bei Seite und gucke dir die
> Phasenwinkel im Zeigerdiagramm an.

Habe die zwei Zeigerdiagrame nun mal gezeichnet.
Dabei ist mir aufgefallen, dass ich beim zweiten Fall nicht weiss, wie 
ich den Pinken Zeiger einzeichnen sollt.

Es gibt den Fall, dass der Zeiger nur bis zum 50 Ohm Widerstand geht, 
somit muss sich XL reduzieren. Oder er geht über die 50 Ohm von R1 
hinaus mit 16° Winkel. Dann kann XL bleiben aber R muss grösser werden.

Ich denke in diesem Fall muss XL kleiner werden.
Ich denke den R2 kann ich nicht direkt in das Diagram zeichnen oder?
R2 verringert einfach XL.

[Georg M. (g_m)]

Impedanz
Kondensator: Z = 1/jωC
Spule:   Z = jωL

https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Wechselstromrechnung


Deswegen ist die Rechnung 1/(1/ωL + 1/R) fehlerhaft.

Bei zwei Widerständen R1||R2 wäre das richtig:
 1/(1/R1 + 1/R2),
aber nicht wenn L||R oder C||R.

[Holger K. (holgerkraehe)]

Georg M. schrieb:
> Deswegen ist die Rechnung 1/(1/ωL + 1/R) fehlerhaft.

Stimmt... also nun habe ich so gerechnet:

$$\frac{1}{tan(16)*50\Omega }-\frac{1}{\imath * 2*\pi*50Hz*0.1H}=\frac{1}{R2} \approx 0.0697 + 0.0318 *\imath \approx \frac{1}{\left | 0.0697 + 0.0318 *\imath \right |} \approx 13.04 \Omega$$

Leider komme ich hier auf 13 Ohm.
Irgendwas mache ich falsch.

[Joe G. (feinmechaniker)]

38.449 kommt raus, siehe Anlage ;-)

[Holger K. (holgerkraehe)]

Joe G. schrieb:
> 38.449 kommt raus, siehe Anlage ;-)

Haha sieht ja wirklich super aus.
Was mir auffält, du benutzt die allgemeine Formel zu berechnung von zwei 
paralellen Widerständen in deiner Gleichung.

Ich benutze den Leitwert. Entsteht hier das Problem?

[Joe G. (feinmechaniker)]

Ich verstehe deine Frage nicht ganz. Ich addiere Widerstände oder 
Leitwerte, je nach Schaltung. Also bei der Reihenschaltung Widerstände 
und bei der Parallelschaltung Leitwerte.

[Holger K. (holgerkraehe)]

Joe G. schrieb:
> Ich verstehe deine Frage nicht ganz. Ich addiere Widerstände oder
> Leitwerte, je nach Schaltung. Also bei der Reihenschaltung Widerstände
> und bei der Parallelschaltung Leitwerte.

Richtig.

Ich addiere ja auch Leitwerte. Nur bekomme ich nicht das selbe Ergebnis.
Wenn ich richtig gesehen habe, dann benutzt du diese Formel zur 
Berechnung des Gesamtwiderstandes:

$$R = \frac{R1 * R2}{R1 + R2}$$

Natürlich mit den entsprechenden Werten für R1 und R2

Ich habe diese verwendet:

$$R = \frac{1}{\frac{1}{R1}+\frac{1}{R2}}$$

Ich weiss noch nicht ganz wo mein Fehler in meiner Berechnung liegt.

[Joe G. (feinmechaniker)]

Zeige doch mal deine Rechnung.

[Holger K. (holgerkraehe)]

Joe G. schrieb:
> Zeige doch mal deine Rechnung.


Meine Grundüberlegung ist diese Gleichung:

$$arctan( \frac{\omega *L}{R1}) \approx 32°$$

Ich weiss ja, dass der Widerstand R2 parallel zu XL ist.
Dies berechne ich so:

$$RxL // R2 = \frac{1}{\frac{1}{\imath * \omega *L}+\frac{1}{R2}}$$

Also habe ich die folgende Gleichung aufgestellt:

$$arctan( \frac{\frac{1}{\frac{1}{\imath * \omega *L}+\frac{1}{R2}}}{R1} ) \approx 16\deg$$

Die 16°, weil die Bedigung ja der halbe Phasenwinkel ist.

Nun habe ich diese Gleichung nach 1/R2 umgestellt und am ende noch den 
Kehrwert genommen:

$$\frac{1}{tan(16)*50\Omega }-\frac{1}{\imath * 2*\pi*50Hz*0.1H}=\frac{1}{R2} \approx 0.0697 + 0.0318 *\imath \approx \frac{1}{\left | 0.0697 + 0.0318 *\imath \right |} \approx 13.04 \Omega$$

Ich sehe nicht, wo ich einen Überlegungsfehler gemacht habe.

[Joe G. (feinmechaniker)]

Dein(e) Fehler stecken in der Berechnung des Real- und Imaginärteils des 
Gesamtwiderstandes. Der Realteil des Gesamtwiderstandes ist natürlich 
nicht nur R1 sondern der Realteil von R1+R2//ZL.

[Holger K. (holgerkraehe)]

Joe G. schrieb:
> Dein(e) Fehler stecken in der Berechnung des Real- und
> Imaginärteils des
> Gesamtwiderstandes. Der Realteil des Gesamtwiderstandes ist natürlich
> nicht nur R1 sondern der Realteil von R1+R2//ZL.

Nun gut... das macht die Berechnung natürlich etwas komplizierter.
Danke, ich werde es nochmals versuchen.

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Guten Tag
Zwecks Verifikation hab ich es auch mal versucht.
Zuerst kann

$$q_1 \ = \ \tan(\varphi_1)\ = \ \frac{\omega \cdot L}{R_1}$$

dargestellt werden.
Mit einer triginometrischen Identität (Formel für Tangens des zweifachen 
Arguments) und über eine quadratische Gleichung folgt

$$q_2 \ = \ \tan(\overbrace{\varphi_2}^{2 \cdot \varphi_1}) \ = \ \sqrt{\frac{1}{q_1^2}+1} -\frac{1}{q_1}$$

In einem dritten Schritt erhält man, wieder mit Hilfe der Lösung einer 
quadratischen Gleichung,
wie Joe G. 08:40 schrieb

$$R_2 \ = \frac{\frac{\omega \cdot L}{2} \ + \sqrt{(\frac{\omega \cdot L}{2})^2 \ +R_1 \cdot (\frac{\omega \cdot L}{q_2} -R_1)}}{\frac{1}{q_2}-\frac{R_1}{\omega \cdot L}} \ = \ \ 38.4489 \cdots \Omega$$

schönen Abend

[Wolfgang (Gast)]

Holger K. schrieb:
> Wenn ich richtig gesehen habe, dann benutzt du diese Formel zur
> Berechnung des Gesamtwiderstandes:
> R=R1∗R2R1+R2 R = \frac{R1 * R2}{R1 + R2}
> Natürlich mit den entsprechenden Werten für R1 und R2
>
> Ich habe diese verwendet:
> R=11R1+1R2R = \frac{1}{\frac{1}{R1}+\frac{1}{R2}}

Das ist doch schnurz-piep-egal. Wer die Grundregeln der Bruchrechnung 
halbwegs beherrscht, sieht, dass die eine aus der anderen durch 
Erweitern mit R1 * R2 hervor geht.

[G. O. (aminox86)]

Holger K. schrieb:
> Welcher Widerstand R2 muss der Spule zugeschaltet werden, damit sich der
> Phasenwinkel halbiert.

Weil mich die Antwort auch interessiert, habe ich ´mal meine alte 
Schulalgebra hervorgekramt und gerechnet. Das Ergebnis ist angehängt.
 Zugegeben, die Rechnung ist umfangreich, aber ich wollte einfach ´mal 
den Formeleditor von Libreoffice ausprobieren.