Hallo zusammen
Gestern haben wir im FH Mathestudium folgenden Asdruck besprochen:
Nun hat unser Mathedozent gemeint, dass wenn man auf beiden Seiten
quadriert folgendes daraus entsteht:
Man beachte das -64 !
Er ist der Meinung, dass in diesem Fall dass Quadrieren nur auf die Zahl
8 bezogen ist und nicht auf das Minus. Wenn man beides Quadrieren
möchte, so müsste man eine Klammer um den Ausdruck machen. Also:
Wir waren der Meinung, dass wenn man auf beiden Seiten Quadriert, es
automatisch eine Klammer ergibt, da man alles auf den entsprechenden
Seiten Quadrieren muss.
Somit gibt es -8 * -8 und wir sind davon überzeugt, dass es +64 geben
muss.
Wie können wir beweisen, dass er falsch liegt?
Er meinte es sei eine "Ausnahme" wir denken er hat die Grundlagen nicht
verstanden.
Holger K. schrieb:> Hallo zusammen>> Wie können wir beweisen, dass er falsch liegt?> Er meinte es sei eine "Ausnahme" wir denken er hat die Grundlagen nicht> verstanden.
Wenn sich das Quadrieren nur auf die einzelnen Zahlen beziehen würde,
warum dann nicht auch z.B. auf die Zahlen unter der Wurzel :) Also
Laßt ihn mal die "Ausnahmeregel" mathematisch exakt formulieren (also
wann sie genau gilt) und fragt von wem sie stammt (Euler, Gauß,
Pythagoras, Adam Riese, Cardano, Leibnitz, ...)?
Eine negative Zahl ist eine negative Zahl, mit oder ohne Klammer.
Das Quadrat einer negativen reellen Zahl ist immer eine positive Zahl
Das '-' in der Formel ist ein Vorzeichen, kein Operator.
A. K. schrieb:> PS: Mein Browser zeigte nichts an, d.h die Formel fehlte. ;-)
Das math-Zeug in µC.net funktioniert leider nicht mehr richtig, oder
nicht mehr in allen Brausern.
Wäre schön, wenn es eine Möglichkeit gäbe, Formeln wieder als PNG
rendern zu lassen, ohne clientseitiges Scripting.
Die Formeln sieht man geTeXt, wenn man auf "Zitieren geht", man sieht
dann die LaTeX-Quelle.
1
3 * \sqrt{3-x} = -8
Also nach x auflösen
1
3 * \sqrt{3-x} = -8 => 9 * (3 - x) = 64
Das Problem dabei ist, dass es sich dabei nicht um eine Äquivalenz
handelt sondern nur um eine Implikation:
Aus a = -1 folgt a² = 1, aber aus a² = 1 folgt nicht, dass a = 1 ist,
sondern dass a in { 1, -1 } ist (zumindest wenn man bei den Reellen
Zahlen bleibt).
Für alle Lösungen, die man auf der rechten Seite erhält, muss man also
testen, ob diese die ursprüngliche Gleichung auch wirklich lösen. Im
Beipiel hat man
1
27 - 9x = 64 <=> x = -37/9
Diese x ist die einzige Lösung der rechten Seite, und um zu prüfen, ob
es eine gültige Lösung ist, setzen wir es in die Ausgangsgleichung ein
und sehen, dass es die Gleichung NICHT löst => -37/9 ist keine Lösung.
Das hätten wir auch schneller sehen können, denn die Quadratwurzel ist
definiert als Funktion, deren Werte nicht-negativ sind. Da die linke
Seite der Ausgangsgleichung also immer nicht-negativ ist, die rechte
Seite aber negativ, kann die Gleichung keine Lösung haben — zumindest
nicht in Reellen Zahlen.
Für Komplexe Zahlen oder andere Zahlen wie Binäre Zahlen, Duale Zahlen
oder Quaternionen, sieht das anders aus, denn dort hat die Wurzel
mehrere Zweige, und abhängig vom gewählten Zweig kann die Gleichung
Lösungen haben.
https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlhttps://de.wikipedia.org/wiki/Duale_Zahlhttps://de.wikipedia.org/wiki/Binäre_Zahlhttps://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion
Wolfgang R. schrieb:> Holger K. schrieb:>> Nun hat unser Mathedozent gemeint>> Macht Kurt jetzt auf Mathedozent?
:D
Nein, macht er nicht. Er ist weiterhin voll damit beschäftigt, sein
tiefes Unverständnis all dessen, womit sich die Physik beschäftigt,
offenzulegen:
Beitrag ""Er " ist wieder da."
Und das unter vollkommener Ignoranz jeglicher mahtematischer
Herangehensweisen.
Johann L. schrieb:>> PS: Mein Browser zeigte nichts an, d.h die Formel fehlte. ;-)>> Das math-Zeug in µC.net funktioniert leider nicht mehr richtig, oder> nicht mehr in allen Brausern.
cdnjs.cloudflare.com war gesperrt.
A. K. schrieb:> cdnjs.cloudflare.com war gesperrt.
Bei mir hat es vorhin auch nichts angezeigt.
Und jetzt sind die Formeln da.
Wo ist denn die Sperre gewesen?
Johann L. schrieb:> Diese x ist die einzige Lösung der rechten Seite, und um zu prüfen, ob> es eine gültige Lösung ist, setzen wir es in die Ausgangsgleichung ein> und sehen, dass es die Gleichung NICHT löst => -37/9 ist keine Lösung.
Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung.
Dass es keine Lösung gibt ist bekannt.
Es geht um den Fakt dass der Dozent der Meinung ist, dass -8 quadriert
nicht gleich +64 sondern -64 sein soll.
Wie können wir ihm Beweisen, dass er falsch liegt?
A. K. schrieb:> Bernd S. schrieb:>> Wo ist denn die Sperre gewesen?>> Im ScriptSafe.
Und der ist wo???
Den Safe von Chrome kannst du ja nicht meinen, denn erstens arbeite ich
nicht mit Chrome und zweitens habe ich am Browser nichts verändert.
Trotzdem werden die Formeln jetzt angezeigt und vorhin nicht...
Wolfgang R. schrieb:> Eine negative Zahl ist eine negative Zahl, mit oder ohne Klammer.>> Das Quadrat einer negativen reellen Zahl ist immer eine positive Zahl>> Das '-' in der Formel ist ein Vorzeichen, kein Operator.
Das stimmt so nicht ganz. Das unäre Minus sollte schon geklammert
werden.
https://de.wikipedia.org/wiki/Un%C3%A4res_Minus
Allerdings hat der TO recht. Bei einer Erweiterung müssen beide Terme
vollständig geklammert werden. Daraus folgt, dass der rechte Term der
Gleichung auf (-8)^2 erweitert wird.
Bernd S. schrieb:>> Im ScriptSafe.>> Und der ist wo???
Addon von Browsern, z.B. Firefox, Chrome, Opera(*). Bei mir
reproduzierbar, d.h. wird die Seite gesperrt, sind die Formeln weg.
A. K. schrieb:> Bernd S. schrieb:>>> Im ScriptSafe.>>>> Und der ist wo???>> Addon von Browsern, auf Chrome- und Firefox Basis. Hier Opera. Bei mir> reproduzierbar, d.h. wird die Seite gesperrt, sind die Formeln weg.
Ich habe aber nichts an meinem Browser verändert!
Also kann das doch nicht die Ursache sein, daß ich die Formeln bis vor
einer Weile nicht gesehen habe und plötzlich sehe ich sie.
Wie kann erst eine Sperre in meinem Browser sein und jetzt nicht mehr?
Jay W. schrieb:> Allerdings hat der TO recht. Bei einer Erweiterung müssen beide Terme> vollständig geklammert werden. Daraus folgt, dass der rechte Term der> Gleichung auf (-8)^2 erweitert wird.
Das Problem ist aber wie beweist man dies jemandem, dass es so ist?
Bitte führt die Diskussion über Browserplugins wo anderst fort.
Danke!
Holger K. schrieb:>> Wie können wir ihm Beweisen, dass er falsch liegt?
Wie ich schrieb: ihn nett und freundlich und vor allem neugierig (ihr
seid ja die Schüler) auffordern die genaue Regel und deren Erfinder zu
benennen.
Wenn er es kann, liegt er richtig. Wenn nicht, liegt er falsch :)
Alternativ fragen warum man bei [math]sqrt{3}[math] nicht auch unter der
Wurzel (die ja so ähnlich ist wie ein - vor einer Zahl) quadriert.
Nikolaus S. schrieb:> Holger K. schrieb:>>>> Wie können wir ihm Beweisen, dass er falsch liegt?>> Wie ich schrieb: ihn nett und freundlich und vor allem neugierig (ihr> seid ja die Schüler) auffordern die genaue Regel und deren Erfinder zu> benennen.> Wenn er es kann, liegt er richtig. Wenn nicht, liegt er falsch :)
Gut, haben wir bereits gemacht.
Er meinte er werde die Begründung noch nachliefern.
Holger K. schrieb:> Gut, haben wir bereits gemacht.> Er meinte er werde die Begründung noch nachliefern.
Dann besteht ja zumindest Hoffnung, dass er über die Sache nochmal
nachdenkt. Vielleicht bemerkt er ja dabei einen Irrtum.
Holger K. schrieb:> Dass es keine Lösung gibt ist bekannt.
Über den Komplexen Zahlen gibt es eine Lösung, wenn beide Zweige der
Wurzel betrachtet werden.
Da die Fragestellung an eine Hochschule auftauchte, ist es nicht abwegig
anzunehmen, dass auch Komplexe Zahlen gemeint sein können — was aus dem
Ursprungsposting nicht hervorgeht.
> Es geht um den Fakt dass der Dozent der Meinung ist, dass -8 quadriert> nicht gleich +64 sondern -64 sein soll.
Das ist selbt über den Komplexen Zahlen nicht der Fall.
Vielleicht bestand Verwirrung über die Vorrangregeln:
Wenn a = -8 quadriert wird, dann ist das Ergebnis 64. Allerdings ist -a²
= -64 denn:
-a² = (-1)·a·a
(-a)² = (-a)·(-a) = (-1)·a·(-1)·a = (-1)·(-1)·a·a = a²
Die Sprechweise ist "minus a quadrat" für -a² und "minus a in Klammern
zum quadrat" für (-a)². In der Aufgabe handelt es sich um letzteres,
allerdings taucht (-a)², vor allem ausgetextet, selten auf da es gleich
a² ist, also "a quadrat" oder "a zum quadrat".
Die Vorrangregeln sind die gleichen wie in a²-b², was ausgeschrieben
ist:
(a·a) - (b·b)
wobei "-" das Inverse Element bezüglich "+" bezeichnet, also gaaanz
ausführlich
(a·a) + (-(b·b))
Vielleicht verwendet der Dozent einen dieser Schrott-Taschenrechner, die
1
1 + 2 * 3
zu 9 berechnen anstatt zu 7.
Und: wenn eine Gleichung eine Funktion f angewangt wird, d.h. auf linke
und rechte Seite, hat man:
1
a = b => f(a) = f(b)
unter der Voraussetzung, dass f für a und b wohldefiniert ist bzw. a und
b im Definitionsbereicht von f liegen.
Im Beispiel ist
Holger K. schrieb:> Jay W. schrieb:>> Allerdings hat der TO recht. Bei einer Erweiterung müssen beide Terme>> vollständig geklammert werden. Daraus folgt, dass der rechte Term der>> Gleichung auf (-8)^2 erweitert wird.>> Das Problem ist aber wie beweist man dies jemandem, dass es so ist?
Wenn ein Term quadriert wird, dann ist der ganze Term zu zu
quadrieren:
a·b quadriert ist (a·b)² und i.A. nicht a·b²
a+b quadriert ist (a+b)² und i.A. nicht a+b²
-a quadriert ist (-a)² und i.A. nicht -a²
In Spezialfällen kann es der Fall sein (manchmal auch für alle a, b wie
in Z/2Z) aber über den Reellen Zahlen ist es im Allgemeinen nicht der
Fall.
Oder besteht wirklich Zweifel daran, dass (-8)·(-8) = 64 ist. Nö, oder?
Hallo,
das ist wirklich ein ziemlich schwieriges Problem (mit dem Mathedozent).
Hoffentlich nicht unlösbar.
Allerdings geht da mit beweisen nichts.
Aber vielleicht mit überzeugen.
Fragt den Mathedozent doch mal was das Wurzelzeichen genau bedeutet.
Üblicherweise ist damit eine Funktion von den nichtnegativen reellen
Zahlen in die nichtnegativen reellen Zahlen gemeint.
Dann wird schnell klar dass die Gleichung keine Lösung hat.
Um eine Gleichung zu untersuchen kann man auf beiden Seiten die gleiche
Operation anwenden.
Formal kann das so ausschauen
Aus (A = B) folgt rein logisch (Operation(A) = Operation(B))
(Ob einem das weiterhilft ist eine andere Frage).
Das hat der Mathedozent hier nicht getan, sondern er hat verschiedene
Operationen links und rechts verwendet.
Hier muß nun euer Mathedozent beweisen, daß seine Folgerung richtig ist.
Das wird er nicht können. Vermutlich begreift er gar nicht, daß er das
tun muß.
Im Komplexen gibt es keine Wurzelfunktion mehr, weil man schlicht keine
vernünftige Wurzelfunktion definieren kann.
Denn im Reellen wählt man die nichtnegative Lösung (geht, weil es genau
eine nichtnegative Lösung gibt).
Was sollte man aber im Komplexen wählen? (die komplexen Zahlen haben
keine "natürliche" Ordnung < wie die reellen Zahlen).
MfG
egonotto
Manfred L. schrieb:> Im Komplexen gibt es keine Wurzelfunktion mehr, weil man schlicht keine> vernünftige Wurzelfunktion definieren kann.
Na sicher kann man. Üblicherweise wählt man den Hauptzweig und schlitzt
bei der negativen reellen Achse.
Die negativen Lösungen im reellen entsprechen dem Nebenzweig.
> Was sollte man aber im Komplexen wählen?https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel#Definition
Üblicherweise den Hauptzweig, aber je nach Anwendung kann es günstig
sein, die Zweige anders zu gestalten.
> die komplexen Zahlen haben keine "natürliche" Ordnung < wie die> reellen Zahlen
Das stimmt zwar, ist aber kein Grund, nicht eine Wurzel definieren zu
können. Das Problem mit Quadrieren ist, dass diese Funktion nicht auf
ihrem ganzen Definitionsbrereich umkehrbar (injektiv) ist. Um eine
UmkehrFUNKTION zu erhalten, brauch man also eine injektive
Ausgangsfunktion, und das wird dadurch erreicht, dass man die
ursprüngliche Funktion auf einen Bereich einschränkt, auf dem sie
injektiv ist.
Bei den Reellen Zahlen wählt man die nicht-negativen Zahlen; mehr geht
nicht da x² bei 0 einen Verzweigungspunkt besitzt (andere Beispiele für
einen Verzweigungspunk ist arcsin bei 1 und -1).
Bei den Komplexen Zahlen wird Injektivität von x² erreicht, indem man
z.B. auf die obere Halbebene einschränkt. Jede andere, durch 0
verlaufende Halbeben würd's aber auch tun.
Holger K. schrieb:> Wie können wir beweisen, dass er falsch liegt?
Indem ihr x einmal richtig und einmal falsch ausrechnet und wieder zur
Probe einsetzt.
Johann L. schrieb:> Bei den Komplexen Zahlen wird Injektivität von x² erreicht, indem man> z.B. auf die obere Halbebene einschränkt.
<nitpick>
Unter der oberen (komplexen) Halbebene versteht man üblicherweise die
(topologisch) offene obere Ebene H, d.h. ohne die reelle Achse.
Für die Quadratzurzel nimmt man jedoch die 0 und die positiv-reelle
Achse hinzu. Das Ergebnis ist dann eine Teilmenge M von C mit folgenden
Eigenschaften:
1) x² ist injektiv auf M.
2) M vereinigt -M überdeckt ganz C bzw M² = C
3) M geschnitten -M ist ist { 0 }
Der Verzweigungspunkt darf in der Vereinigung "doppelt" auftauchen
wegen 0 = -0, d.h. hier gibt es keine Mehrdeutigkeit. Die 0 ist also im
Zweig M und im Nebenzweig -M enthalten. Sie ist 2× "enthalten" weil
dies die Vielfachheit der Verzweigungsttelle 0 von x² ist.
1) und 3) sind fast äquivalent zueinander: Aus 3) folgt 1), und aus 1)
folgt 3) oder dass M schnitt -M leer ist.
2) und 3) ist die Forderung, dass M in einem gewissen Sinne maximal ist:
Es ist nicht möglich, M eine weitere Zahl hinzuzufügen, ohne 3) zu
verletzen. Und für jede Zahl lässt sich ein Urbild finden.
Üblicherweise wählt man M so, dass es einfach zusammenhängen ist und der
Rand eine Ursprungsgerade ist, wobei eine Halbgerade zu M gehört, die
andere zu -M.
Aber man könnte M auch eine fraktale Struktur geben, etwa bei der reelen
Wurzel: den positiven Zweig wählen für algebraische Zahlen und den
negativen Zweig für transzendente Zahlen.
Ob so eine pathologische Zweig-Definiton irgendwo sinnvoll ist... keine
Ahnung. Am ehesten erinnert das an den Beweis von Banach-Tarski, hier
am Beispiel 2er gleichgroßer Kugeln:
https://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA
</nitpick>
Die Rechenregel des Dozenten kann leicht zum Widerspruch geführt werden:
Folgendes ist sicher wahr:
-1 = -1 (1)
Da die Klammerung der -1 ihren Wert nicht verändert, folgt daraus:
(-1) = -1 (2)
Nach der Rechenregel des Dozenten (ein ungeklammertes Negationszeichen
nimmt nicht an der Quadrierung teil) folgt daraus:
(-1)² = -1² (3)
Man kann die Potenzen auch als Produkt schreiben:
(-1)·(-1) = -(1·1) (4)
Rechnet man die Produkte aus, ergibt sich:
1 = -1 (5)
Das ist (zumindest im Bereich der reellen und komplexen Zahlen) falsch.
Da aus etwas Wahrem (Gleichung (1)) niemals etwas Falsches (Gleichung
(5)) folgen kann, muss in irgendeiner der Umformungen ein Fehler
stecken. Meiner Meinung nach ist der Übergang von (2) nach (3) falsch.
Wenn der Dozent anderer Meinung ist, möge er doch zeigen, in welcher
Zeile der Fehler sonst liegt.
Joe G. schrieb:> Indem ihr x einmal richtig und einmal falsch ausrechnet und wieder> zur Probe einsetzt.
Da sind mindestens 4 Fehler drinne:
1) Die Probe von Variante 1 ist falsch: 3 - x ist 3 + 37/9 da x = -37/9
2) Ein Radix-Symbol bezieht sich auf den nächsten Term: √3-x != √(3-x).
TeX: \sqrt{3-x} statt \sqrt 3 - x
3) Eine falsche Rechnung zeigt garnix :-)
4) Eine fehlschlagende Probe zeigt nicht, dass die Rechnung fehlerhaft
war. Begründung siehe
Beitrag "Re: Mathematik Frage: -8 quadrieren"
Holger K. schrieb:> Gestern haben wir im FH Mathestudium folgenden Asdruck besprochen:> 3∗3−x−−−−−√=−83*\sqrt{3-x}=-8> Somit gibt es -8 * -8 und wir sind davon überzeugt, dass es +64 geben> muss.
Ja, wenn man -8 quadriert kommt 64 raus.
Seltsame Gleichung ... Es gibt keinen Wert für x, der diese Gleichung
löst.
Intuitiv kann die das Ergebnis der Wurzel nicht negativ sein ...
Johann L. schrieb:> Da sind mindestens 4 Fehler drinne:
Ich verstehe Deine Kritik nicht.
1. Steht in meiner Rechnung bei der Probe in der Wurzel -- (mal genau
hinsehen)
2. Wird immer die Wurzel von \sqrt{3-x} genutzt
3. Welche zwei Feler existieren noch?
Der Dozent ist ne rechthaberische Pflaume. Egal wie man es dreht und
wendet, das ist totaler Blödsinn.
Jedem Fünftklässler wird eingehämmert "AUF BEIDEN SEITEN DER GLEICHUNG".
Und dann muß die entsprechende Äquivalenzumformung oder nichtäquivalente
Umformung auf beiden Seiten auf den Term als solches angewendet werden.
Man könnte die -8 umschreiben: (-1)*8
So, und nun bitte diesen Term quadrieren. -.-
Meine Matheübungsleiterin war bisweilen fürchterlich schlecht im
Zahlenrechnen, während das Lösen einer pDgl oder das Ableiten eines
Tensors ohne Netz und doppelten Boden noch bei 3,8 Promille auf dem
Kessel leicht von der Hand ging. Doch -8 nicht quadrieren können, wäre
selbst ihr nicht passiert. Das ist eine ganz neue Qualität in der
studentischen Betreuung.
Sowohl der Windows-Taschenrechner als auch der gute alte Commodore
SR4148 spucken als Ergebnis immer +64 aus. Egal ob mit Klammer oder ohne
oder wo das Minus steht.
OpenOfficeCalc quittiert negative Zahlenwerte mit "Err.502".
Excel mag negative Zahlen auch nicht, da kommt "#Zahl!".
Ich nehme den Eingangspost nicht wirklich ernst. Allerdings musste ich
gerade schwer überlegen, warum das Ergebnis einer Wurzel nicht negativ
sein kann (i.e. in Bezug auf quadr. Gleichungssystemen). Falls es hier
noch andere gibt, die ihr Mathe auffrischen wollen:
http://gfs.khmeyberg.de/Materialien/IMathematik/Wurzeln-quadratischeGleichungen.pdf
;-)
Joe G. schrieb:> Johann L. schrieb:>> Da sind mindestens 4 Fehler drinne:>> Ich verstehe Deine Kritik nicht.>> 1. Steht in meiner Rechnung bei der Probe in der Wurzel -- (mal genau> hinsehen)>> 2. Wird immer die Wurzel von \sqrt{3-x} genutzt
Ok, die Vorschau ist echt grottig. Im eingentlichen PDF ist's ok.
> 3. Welche zwei Feler existieren noch?
Durch die Berechnung ergibt sich ein Wert. Für diesen Wert wird die
Probe gemacht. Die Probe schlägt fehl.
Daraus kann nicht geschlossen werden, dass es einen Fehler in der
Rechnung gibt, denn die Umformungen bestehen nicht nur aus
Äquivalenzumformungen.
Johann L. schrieb:> Daraus kann nicht geschlossen werden, dass es einen Fehler in der> Rechnung gibt, denn die Umformungen bestehen nicht nur aus> Äquivalenzumformungen.
OK, Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung weil das Quadrieren nicht
bijektiv ist.
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