Getriebe konstruieren

[Bernd F. (metallfunk)]

Da habe ich ein kleines Matheproblem.

Wie finde ich schnell die passenden Zahnräder?
Beispiel: Gesucht ist ein Übersetzungsverhältniss von
1: 6,1843 als zweistufiges Getriebe.
Zahnzahlen sollten zwischen max. 90 und min.12 liegen.

Nach längerem Grübeln komme ich auf:
60:20 mit 66:38 = 6,1875. Gut, aber nicht genau genug.
Die zweite Lösung in meiner Zeichnung kommt schon besser hin.

Wie lässt sich das schneller rechnen?
Mir fehlt eine generelle Lösung.

Grüße Bernd

[Alexander (alecxs)]

Ich würde ein kleines Bruteforce Programm schreiben mit Deinen Vorgaben.

[Bernd F. (metallfunk)]

Alexander schrieb:
> Ich würde ein kleines Bruteforce Programm schreiben mit Deinen Vorgaben.

Pfälzisch: "Hää ??"
Hochdeutsch: Keine Ahnung, wie das geht.

Grüße Bernd

[Alexander (alecxs)]

Dann frag ChatGPT, spuckt mehr als 10 Kombinationen aus. 57:15 mit 83:51 
als Favorit. Bleibt ein kleiner Restfehler.

[Bernd F. (metallfunk)]

Danke Alexander,

wenn die KI da hilft, werde ich sie nutzen.
"Früher" gab es sowas halt nicht. Ich bin auch schon alt.

Grüße Bernd

[Alexander (alecxs)]

Eine Excel Tabelle hätte auch gereicht. Bruteforce bedeutet "alle 
möglichen Kombinationen" ausprobieren,  in deinem Fall noch 
filtern/sortieren. Das geht ohne Programm oder KI.

Wie man es ohne Computer mathematisch löst bleibt interessant!

[Uwe (uhi)]

"Brut Force" heißt: Alle Möglichkeiten durchspielen, ohne weitere 
clevere Tricks. Da die Zähnezahlen ganzzahlig sind und der Bereich 
übersichtlich, kann das ein Rechner innerhalb ein paar Sekunden.

In python würde da so aussehen:

ratioTarget = 6.1843
tolerance = 0.0001
nTreffer = 0
for z1 in range(12, 91):
    for z2 in range(12, 91):
        for z3 in range(12, 91):
            for z4 in range(12, 91):
                ratio = z2/z1 * z4/z3
                if (ratio>ratioTarget-tolerance/2) and (ratio<ratioTarget+tolerance/2):
                    nTreffer += 1
                    print(str(z1) + " " + str(z2) + " " + str(z3) + " " + str(z4) + " --> " + str(ratio))
                    
print(str(nTreffer) + " Treffer")

Faszinierend find ich, dass trotz der engen Toleranz noch 80 
Möglichkeiten gefunden werden. Diese könnte man weiter einschränken, je 
nach mechanischen Gegebenheiten.

12 31 33 79 --> 6.184343434343434
12 62 66 79 --> 6.184343434343434
12 76 85 83 --> 6.184313725490195
12 79 33 31 --> 6.184343434343433
12 79 66 62 --> 6.184343434343433
12 83 85 76 --> 6.184313725490197
14 44 31 61 --> 6.184331797235023
14 61 31 44 --> 6.184331797235022
14 61 62 88 --> 6.184331797235022
14 88 62 61 --> 6.184331797235023
15 19 17 83 --> 6.184313725490195
15 38 34 83 --> 6.184313725490195
15 57 51 83 --> 6.184313725490195
15 76 68 83 --> 6.184313725490195
15 83 17 19 --> 6.184313725490195
15 83 34 38 --> 6.184313725490195
15 83 51 57 --> 6.184313725490195
15 83 68 76 --> 6.184313725490195
17 19 15 83 --> 6.184313725490196
17 38 30 83 --> 6.184313725490196
17 57 45 83 --> 6.184313725490196
17 76 60 83 --> 6.184313725490196
17 83 15 19 --> 6.184313725490197
17 83 30 38 --> 6.184313725490197
17 83 45 57 --> 6.184313725490196
17 83 60 76 --> 6.184313725490197
18 31 22 79 --> 6.184343434343435
18 62 44 79 --> 6.184343434343435
18 79 22 31 --> 6.184343434343435
18 79 44 62 --> 6.184343434343435
20 76 51 83 --> 6.184313725490195
20 83 51 76 --> 6.184313725490196
21 61 31 66 --> 6.184331797235022
21 66 31 61 --> 6.184331797235023
22 31 18 79 --> 6.184343434343435
22 62 36 79 --> 6.184343434343435
22 79 18 31 --> 6.184343434343434
22 79 36 62 --> 6.184343434343434
24 62 33 79 --> 6.184343434343434
24 79 33 62 --> 6.184343434343433
28 61 31 88 --> 6.184331797235022
28 88 31 61 --> 6.184331797235023
30 38 17 83 --> 6.184313725490195
30 76 34 83 --> 6.184313725490195
30 83 17 38 --> 6.184313725490195
30 83 34 76 --> 6.184313725490195
31 44 14 61 --> 6.184331797235023
31 61 14 44 --> 6.184331797235023
31 61 21 66 --> 6.184331797235023
31 61 28 88 --> 6.184331797235023
31 66 21 61 --> 6.184331797235023
31 88 28 61 --> 6.184331797235023
33 31 12 79 --> 6.184343434343435
33 62 24 79 --> 6.184343434343435
33 79 12 31 --> 6.184343434343435
33 79 24 62 --> 6.184343434343435
34 38 15 83 --> 6.184313725490196
34 76 30 83 --> 6.184313725490196
34 83 15 38 --> 6.184313725490197
34 83 30 76 --> 6.184313725490197
36 62 22 79 --> 6.184343434343435
36 79 22 62 --> 6.184343434343435
44 62 18 79 --> 6.184343434343435
44 79 18 62 --> 6.184343434343434
45 57 17 83 --> 6.184313725490195
45 83 17 57 --> 6.184313725490196
51 57 15 83 --> 6.184313725490196
51 76 20 83 --> 6.184313725490196
51 83 15 57 --> 6.184313725490196
51 83 20 76 --> 6.184313725490196
60 76 17 83 --> 6.184313725490195
60 83 17 76 --> 6.184313725490195
62 61 14 88 --> 6.184331797235023
62 88 14 61 --> 6.184331797235023
66 62 12 79 --> 6.184343434343435
66 79 12 62 --> 6.184343434343435
68 76 15 83 --> 6.184313725490196
68 83 15 76 --> 6.184313725490197
85 76 12 83 --> 6.184313725490196
85 83 12 76 --> 6.184313725490195
80 Treffer

[Alexander (alecxs)]

Uwe schrieb:
> Faszinierend find ich, dass trotz der engen Toleranz noch 80
> Möglichkeiten gefunden werden.

Ich sehe nur 40.

[Michael B. (laberkopp)]

Alexander schrieb:
> Dann frag ChatGPT, spuckt mehr als 10 Kombinationen aus. 57:15 mit
> 83:51 als Favorit. Bleibt ein kleiner Restfehler.

Erstaunlich, ich dachte, ChatGPT kann nicht rechnen.

'Mein' ChatGPT kommt auf

Die beste zweistufige Paarung mit maximal 100 Zähnen pro Rad für eine 
Übersetzung von 1 : 6,1843 ist:

Stufe 1: 13 Zähne → 34 Zähne

Stufe 2: 11 Zähne → 26 Zähne

6,1818

Deutlich schlechter.

[Uwe (uhi)]

Oder noch weniger, wenn man die unterschiedlichen Kombinationen der 
gleichen Zahlen oder deren Vielfachen als "eine" Möglichkeit ansieht.
Eine offenbar auch oft praktizierte Regel ist "lieber ungerade als 
gerade Zähnezahlen". Dann fallen noch ein paar Kombinationen weg.

[Uwe (uhi)]

Claude.ai trägt recht selbstbewusst eine Lösung vor, auch ziemlich 
daneben ist:

Thema Getriebe. Was ist die beste zweistufige Paarung mit maximal 100 
Zähnen pro Rad für eine Übersetzung von 1 : 6,1843? Für eine zweistufige 
Getriebepaarung mit dem Übersetzungsverhältnis 1:6,1843 und maximal 100 
Zähnen pro Rad müssen wir das Gesamtübersetzungsverhältnis auf zwei 
Stufen aufteilen.
Das Gesamtübersetzungsverhältnis ist i_ges = 6,1843, also:
i_ges = i₁ × i₂ = 6,1843
Zunächst suchen wir eine optimale Aufteilung. Eine gute Näherung ist:
√6,1843 ≈ 2,487
Dies deutet auf eine Aufteilung von etwa 2,5 × 2,5 hin.
Optimale Lösung:

Erste Stufe: 31 Zähne → 77 Zähne (i₁ = 77/31 = 2,4839)
Zweite Stufe: 40 Zähne → 100 Zähne (i₂ = 100/40 = 2,5)

Kontrolle:
i_ges = 2,4839 × 2,5 = 6,2097
Abweichung: (6,2097 - 6,1843) / 6,1843 = 0,41%
Diese Lösung ist optimal, weil:

Alle Zähnezahlen ≤ 100
Die Zähnezahlen sind teilerfremd (keine gemeinsamen Teiler außer 1)
Sehr geringe Abweichung vom Sollwert
Ausgewogene Aufteilung der Übersetzung auf beide Stufen

Alternative Lösungen mit etwas höherer Abweichung wären:

29→72 und 43→100 (i_ges = 5,74, Abweichung -7,2%)
32→80 und 40→100 (i_ges = 6,25, Abweichung +1,1%)

Die empfohlene Lösung 31→77 und 40→100 bietet die beste Annäherung an 
das gewünschte Übersetzungsverhältnis.

----------
Meine Rückfrage: Die Abweichung ist zu groß. Gibt es eine Lösung mit 
viel geringerer Abweichung?

Antwort:
Sie haben recht, es gibt deutlich bessere Lösungen. Lassen Sie mich 
systematischer vorgehen.
Für eine präzisere Lösung brauchen wir eine andere Aufteilung des 
Übersetzungsverhältnisses 6,1843.
Optimale Lösung:

Erste Stufe: 16 Zähne → 99 Zähne (i₁ = 99/16 = 6,1875)
Zweite Stufe: 100 Zähne → 100 Zähne (i₂ = 100/100 = 1,0)

Moment, das ist nur einstufig. Für zweistufig:
Bessere Lösung:

Erste Stufe: 17 Zähne → 71 Zähne (i₁ = 71/17 = 4,1765)
Zweite Stufe: 68 Zähne → 100 Zähne (i₂ = 100/68 = 1,4706)

i_ges = 4,1765 × 1,4706 = 6,1430
Abweichung: (6,1430 - 6,1843) / 6,1843 = -0,67%
Noch bessere Lösung:

Erste Stufe: 13 Zähne → 83 Zähne (i₁ = 83/13 = 6,3846)
Zweite Stufe: 104 Zähne → 100 Zähne (i₂ = 100/104 = 0,9615)

Das geht nicht, da 104 > 100.
Optimale Lösung:

Erste Stufe: 19 Zähne → 89 Zähne (i₁ = 89/19 = 4,6842)
Zweite Stufe: 76 Zähne → 100 Zähne (i₂ = 100/76 = 1,3158)

i_ges = 4,6842 × 1,3158 = 6,1632
Abweichung: (6,1632 - 6,1843) / 6,1843 = -0,34%
Diese Lösung mit 19→89 und 76→100 reduziert die Abweichung auf nur 
0,34%, was deutlich präziser ist als die ursprünglichen 0,41%.

-------
Auch das "selbstbewusst" aber ziemlich daneben.

[Alexander (alecxs)]

Michael B. schrieb:
> Erstaunlich, ich dachte, ChatGPT kann nicht rechnen.

Kann es auch nicht. Aber es kann gut mit Sprachen umgehen. Berechnen 
lässt es dann in Python.