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Forum: Analoge Elektronik und Schaltungstechnik Ein Fall für uns Knobelfreunde: E-Herd 7-Takt-Schaltung Anzahl der Kombinationen


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Autor: eProfi (Gast)
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Ursprünglicher Beitrag:
Beitrag "Re: Wie am besten mehrere kW Leistung steuern?"

Verwandte Beiträge:
suche nach Kochplatte*   oder   Siebentaktschaltung
http://de.wikipedia.org/wiki/Siebentaktschaltung
http://www.kunnig-elektro.de/funktion/kochen/regelung.htm

1.
ihr kennt doch diese Elektroherdplatten mit 4 Anschlüssen für die 
Siebentaktschaltung.
Diese bestehen aus drei in Reihe geschalteten Widerständen 
(Heizspiralen).

Wieviele verschiedene Möglichkeiten der Beschaltung gibt es dafür?
Welche Leistungen werden damit erzielt?

Klar, die minimale Leistung ergibt sich, wenn man die Netzspannung an 
die Klemmen 1 und 4 anschließt, dann sind alle Rs in Reihe.
die maximale Leistung, wenn  Klemmen 1 und 3 an L  und  Klemmen 2 und 4 
an N  angeschlossen sind, dann sind alle 3 Rs parallel.

Beachte: es gibt weitaus mehr als die in der Siebenstufenschaltung 
verwendeten!
Wer findet sie alle?
Wer bietet mehr?
Wer hat / schreibt ein Programm, das diese Fälle systematisch berechnet?
Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn es mehr als 3 Rs wären (4, 5, x)?
Inwieweit ist es eine Einschränkung, dass die Rs festverdrahtet in Reihe 
geschaltet sind?


2. ähnlicher Fall als Tipp / Lösungsansatz
ihr kennt doch diese Universal-Bastelwiderstände mit 4 internen Rs mit 
jeweils verschiedenen Werten.
z.B. Bürklin
Vielfach-Drahtwiderstände 10 Watt Toleranz 10 % Typ Vitrohm MR 
(E075.000)

Nennbelastbarkeit 10 Watt, Nenntemperatur +70 °C.
Bei jedem Typ können 47 Widerstandswerte innerhalb des angegebenen 
Bereiches kombiniert werden.
Einzelwerte:
Typ 286-0/1-2-4-8 Ohm, Typ 287-0/10-20-40-80 Ohm,
Typ 288-0/100-200-400-800 Ohm, Typ 289-0/1-2-4-8 kOhm.

Typ                          Bestell-Nr Stückpreis ab
                                           1    10    50   100   500
286–0, Bereich 0R5 bis 15R   {37 E 900} 1,79  1,54  1,38  1,22  1,14
287–0, Bereich 5R0 bis 150R  {37 E 905} 1,79  1,54  1,38  1,22  1,14
288–0, Bereich 50R bis 1K5   {37 E 910} 1,79  1,54  1,38  1,22  1,14
289–0, Bereich 500R bis 15K  {37 E 919} 1,79  1,54  1,38  1,22  1,14

Wer hat eine Liste mit allen 47 möglichen Werten?
Wer hat / schreibt ein Programm, das diese Fälle systematisch berechnet?
Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn es mehr als 4 Rs wären (5, 6, x)?


Viel Spaß bei der Kombinatorik

Autor: War zufällig da (Gast)
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Danke für den Beitrag. Es ist mir jetzt zu umständlich, mich da 
reinzuknien. Nachdem das Kind aber jetzt einen Namen hat, geht mir im 
Nachhinein beim Rätseln an der neuen Herdplatte meiner Eltern ein Licht 
auf :-)

Autor: yalu (Gast)
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Für die Herdplattenschaltung mit drei Heizwiderständen
        R1         R2         R3
       ____       ____       ____
   +--|____|--+--|____|--+--|____|--+
   |          |          |          |
   1          2          3          4

gibt es 13 grundsätzlich verschiedene Möglichkeiten, die vier Anschlüsse
zu beschalten:
   1   2   3   4
   -------------
   -   -   -   -           L: Außenleiter
   -   -   L   N           N: Neutralleiter
   -   L   -   N           -: unbelegt
   -   L   N   -
   -   L   N   L
   L   -   -   N
   L   -   N   -
   L   -   N   L
   L   N   -   -
   L   N   -   L
   L   N   L   -
   L   N   L   N
   L   N   N   L

Damit lassen sich, wenn die Widerstandswerte genügend "krumm" gewählt
werden, also 13 unterschiedliche Leistungen (einschließlich der 0 Watt)
schalten.

Alle übrigen 68 Kombinationsmöglichkeiten von L, N und - sind jeweils zu
einer der aufgelisteten äquivalent. Beispiele:
   L---  =  ----
   LNN-  =  LN--
   NLN-  =  LNL-

Verallgemeinerung: Bei n in Reihe geschalteten Widerständen mit n+1
Anschlüssen ergeben sich f(2n+1) Möglichkeiten, wobei f(k) für die k-te
Fibonacci-Zahl nach der Definition
   f(0) = 0
   f(1) = 1
   f(k) = f(k-1) + f(k-2)   für k >= 2

steht (nichtrekursive Formel zur Berechnung der Fibonacci-Zahlen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge#Forme...).

Für bis zu sechs Widerstände sehen die Ergebnisse folgendermaßen aus:
   n   f(2n+1)
   -----------
   0       1
   1       2
   2       5
   3      13    <-- Beispiel von oben
   4      34
   5      89
   6     233

Ich habe auch einen Beweis für die Verallgemeinerung gefunden, der aber
nicht in drei Sätzen formuliert werden kann. Falls Interesse besteht,
werde ich ihn aber gerne aufschreiben und hier posten.

Autor: hypergast (Gast)
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und wenn ich 2 mit 3 verbinde? 1 and N und 4 an L?

Autor: Gast (Gast)
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..oder wenn ich einfach 1 bis 4 und L mit N und PE verbinde..?

kopfschüttel

Autor: yalu (Gast)
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hypergast schrieb:

> und wenn ich 2 mit 3 verbinde? 1 and N und 4 an L?

Guter Einwand. Durch solche Querverbindungen steigt die Anzahl der
Möglichkeiten weiter, bei drei Widerständen nur um diese eine, bei einer
größeren Zahl von Widerständen um mehr.

Bei meiner obigen Überlegung bin ich davon ausgegangen, dass jeder
Anschluss entweder direkt mit L oder N verbunden wird oder offen bleibt,
so wie es auch bei der Siebentaktschaltung der Fall ist.

Man könnte nun versuchen, auch für die Anzahl der Möglichkeiten bei
erlaubten Querverbindungen eine allgemeine Lösung zu finden, aber heute
nicht mehr ;-)

Autor: Peter (Gast)
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man könnte das ganze ja noch um eine Diode erweitern die verbaut werden 
darf - dann hat man fast eine Stufenlos regelung.

Autor: Dieter B. (debe)
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Hallo eProfi,

hier ist die gewünschte Liste der Kombinationen.

Gruß debe

Autor: Dieter B. (debe)
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... und hier die Vorderseite

Gruß debe

Autor: yalu (Gast)
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Die Tabellen sind schon etwas seltsam aufgestellt :). Die angegebenen
Ohmwerte entsprechen nicht immer den tatsächlichen Werten. Statt dessen
stellen sie eine ungleichmäßige E32-Reihe dar, deren Werte durch
Kombination der vier Widerstände angenähert werden. Von den 47
Konfigurationen sind nur 39 wirklich verschieden. So werden bspw. 8 Ohm
und 8,2 Ohm beide durch den 8-Ohm-Widerstand dargestellt.

Andererseits gibt es außer den 10 angegebenen Topologien mindestens 6
weitere, bspw. zwei oder drei Widerstände in Reihe und parallel dazu ein
weiterer. Die Topologie 8 erlaubt 11 unterschiedliche Gesamtwiderstände,
8 davon werden nur genutzt. Es gibt also zusätzlich zu den 39 aufgelis-
teten Werten noch jede Menge weitere, die in der Tabellen nicht
auftauchen.

Autor: eProfi (Gast)
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Hallo, schön, dass sich hier was rührt...


yalu, danke für Deine Überlegungen:
"Guter Einwand. Durch solche Querverbindungen steigt die Anzahl der
Möglichkeiten weiter, bei drei Widerständen nur um diese eine, bei einer
größeren Zahl von Widerständen um mehr."

Nein, es gibt noch weitere Verbindungen, ich definiere es mal 
allgemeiner:
Jede der 4 Klemmen kann 4 Zustände annehmen, wobei A und B temporäre 
Verbindungen bedeuten, d.h. falls bei verschiedenen Klemmen ein A 
auftaucht, sind sie miteinander verbunden.
0  N
1  A
2  B
3  L

Wir brauchen also für jede Klemme 2 Bits, insgesamt 8 Bits.
Also gibt es schon mal 256 Möglichkeiten.
Von diesen sind 4 gleichbedeutend, da (N und L)  und  (A und B) 
vertauschbar sind, also bleiben 64 Möglichkeiten (von denen jede Menge 
gleichbedeutend sind). Aber wie viele sind dann nicht gleichbedeutend?



Autor: Peter (Gast) Datum: 13.02.2009 00:05
----------------------------------------------------------------------
"man könnte das ganze ja noch um eine Diode erweitern die verbaut werden
darf - dann hat man fast eine Stufenlos regelung."

Bisher der beste Beitrag, daran habe ich noch gar nicht gedacht.
Aber: Im o.g. anderen Thread ging es ja darum, eine möglichst 
oberwellen- und verzerrungsblindleistungs-freie EVU-freundliche Last zu 
finden.



Autor: Dieter B. (debe) Datum: 13.02.2009 09:47
Danke für die Liste, ich habe absichtlich noch nicht danach gesucht, um 
(unbelastet) alle selbst zu erarbeiten.



yalu:
"Andererseits gibt es außer den 10 angegebenen Topologien mindestens 6 
weitere, bspw. zwei oder drei Widerstände in Reihe und parallel dazu ein 
weiterer. Die Topologie 8 erlaubt 11 unterschiedliche Gesamtwiderstände, 
8 davon werden nur genutzt. Es gibt also zusätzlich zu den 39 aufgelis- 
teten Werten noch jede Menge weitere, die in der Tabellen nicht 
auftauchen."

Genau darum geht es, ich bin ebenso der Meinung, dass es noch etliche 
Kombinationen gibt, die nicht aufgeführt sind. Die möchte ich einfach 
alle finden.
Natürlich habe ich mir auch schon Gedanken gemacht, wollte sie von Euch 
(unvoreingenommen) bestätigt haben. Und auch ganz sicher gehen, dass wir 
alle gefunden haben.

Bei der Zusammenstellung der Liste haben sie sich nicht allzu große Mühe 
gemacht.  Oder übersehe ich etwas ganz geniales?

Bitte lasst noch was von Euren Überlegungen hören.

Autor: Dieter B. (debe)
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Diese Liste oben stammt noch aus den frühen 70er Jahren. Damals hatten 
Röhrenfernseher noch reichlich Leistungswiderstände. Für die Reparatur 
vor Ort sollten diese Widerstände als Ersatz dienen. Deswegen ist 
vorwiegend die E24er-Reihe aufgeführt und nicht alle möglichen 
Kombinationen. Mit nur 4 Widerständen war man gut ausgerüstet.

Gruß debe

Autor: yalu (Gast)
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Ich habe mal ein Python-Programm die Gesamtwiderstände berechnen lassen,
die aus vier Einzelwiderständen mit 1, 2, 4, und 8 Ohm zusammengesetzt
werden können. Ich bin (manuell) auf 17 topologisch verschiedene
Verschaltungsmöglichkeiten gekommen, wenn man die beiden Triviallösungen
Draht (R = 0) und Nichts (R = unendlich) weglässt.

Die Verschaltungsmöglichkeiten sind im Programm in der Liste circuits
vorgegeben. Es setzt für die 'R's alle möglichen Variationen aus den
vier Widerständen ein und wertet die Ausdrücke aus. Bei gleichen
Gesamtwiderständen werden alle Lösungen bis auf eine eliminiert. Die
Ergebnisse werden sortiert und als Bruch und als gerundete Dezimalzahl
ausgegeben.

Programm:
# Generator zur Auswahl von n Elementen aus den in lst vorgegebenen
def variations(lst, n):
  if n:
    for i in range(len(lst)):
      for v in variations(lst[:i] + lst[i+1:], n-1):
        yield [lst[i]] + v
  else:
    yield []

# einfache rationale Arithmetik -> exakte Ergebnisse
class rational:
  def __init__(self, n, d=1):
    a, b = n, d
    while a:
      a, b = b % a, a
    self.n, self.d = n/b, d/b
  def __str__(self):
    return str(self.n) if self.d==1 else str(self.n) + '/' + str(self.d)
  def __float__(self):  return float(self.n) / self.d
  def __add__(self, y): return rational(self.n*y.d + y.n*self.d, self.d*y.d)
  def __mul__(self, y): return rational(self.n*y.n, self.d*y.d)
  def __div__(self, y): return rational(self.n*y.d, self.d*y.n)
  def __or__(self, y):  return self*y / (self+y)

# Topologien (R = Widerstand, + = Serienschaltung, | = Parallelschaltung
circuits = [ 'R', 'R+R', 'R|R', 'R+R+R', 'R|R|R', '(R+R)|R', '(R|R)+R',
  'R+R+R+R', 'R|R|R|R', '(R+R)|R|R', '(R|R)+R+R', '(R+R+R)|R', '(R|R|R)+R',
  '((R+R)|R)+R', '((R|R)+R)|R', '(R+R)|(R+R)', '(R|R)+(R|R)' ]

# vorgebene Widerstandswerte
rs = map(rational, [1, 2, 4, 8])

# Berechnung und Ausgabe
s = {}
for c in circuits:
  expr = c
  for i in range(4):
    expr = expr.replace('R', 'r[%d]'%i, 1)
  fmt = c.replace('R', '%s')
  for rc in variations(rs, c.count('R')):
    rg = eval('lambda r:' + expr)(rc)
    s[float(rg)] = (rg, fmt, rc)
s = s.items()
s.sort()
for i, (rgf, (rgr, fmt, rc)) in enumerate(s):
  print '%3d. %-12s = %6s = %6.3f' % (i+1, fmt%tuple(rc), rgr, rgf) 

Ausgabe (Auszug):
  1. 8|4|2|1      =   8/15 =  0.533
  2. 4|2|1        =    4/7 =  0.571
  3. 8|2|1        =   8/13 =  0.615
  4. (8+4)|2|1    =  12/19 =  0.632
  :     :              :        :
 93. (2|1)+8+4    =   38/3 = 12.667
 94. 8+4+1        =     13 = 13.000
 95. 8+4+2        =     14 = 14.000
 96. 8+4+2+1      =     15 = 15.000

Die komplette Liste liegt als Datei im Anhang.

Mit 1, 2, 5 und 9 Ohm statt der 1, 2, 4 und 8 Ohm lassen sich sogar 100
unterschiedliche Gesamtwiderstände realisieren.

@Dieter B:
Spuck mal aus, wieviele Möglichkeiten du gefunden hast, damit ich weiß,
wieviele ich unter den Tisch habe fallen lassen :)


Zu der Herdplattenaufgabe:

Wenn man auch Querverbindungen zwischen den Anschlüssen berücksichtigt,
kommen zu den genannten 13 Möglichkeiten noch die vier folgenden hinzu:
   ALAN           A: diese Anschlüsse sind miteinander verbunden
   ALNA
   LAAN
   LANA

Hast du noch weitere gefunden?

Autor: eProfi (Gast)
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yalu, Du bist ein Schatz!

"Bei gleichen Gesamtwiderständen werden alle Lösungen bis auf eine 
eliminiert."

Könntest Du bitte noch eine Liste posten, ohne die Eliminationen?

Und die mit 1-2-5-9 - auch ohne Löschungen?

Da müsste man glatt mal die R-Hersteller aufklären.



Herdplatte:
Bin gerade nicht an meinem Rechner, aber 17 oder 18 waren es bei mir 
auch.
Diese Aufgabe hat mich schon mal vor 20 Jahren beschäftigt und 
fasziniert.

Ich werde auch nochmal einfach alle 64 Möglichkeiten durchrechnen 
lassen.



Glückwunsch! Und tut mir leid, dass Du Dir meinetwegen die halbe Nacht 
um die Ohren schlägst. Aber so sind wir halt mal...

Autor: yalu (Gast)
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> yalu, Du bist ein Schatz!

Du auch grins

> Könntest Du bitte noch eine Liste posten, ohne die Eliminationen?

Wie meinst du das? Die Sache ist die: Wenn ich die Mehrfachlösungen drin
lasse, werden es ziemlich viele, weil dann bspw. die Reihenschaltung aus
3 bestimmten Widerständen 6-mal und die Parallelschaltung aus allen 4
Widerständen 24-mal auftaucht. Solche trivialen Umstellungen durch die
Symmetrie in den Schaltungen werden durch das Programm nämlich nicht
behandelt. Sie werden erst beim Vergleich des Gesamtwiderstands als
gleich erkannt.

Dass es insgesamt bis zu 100 Kombinationsmöglichkeiten gibt, kann man
aber auch folgendermaßen sehen:

Es gibt 17 Verschaltungsmöglichkeiten, wobei jede auf eine oder mehrere
Arten mit den vier Widerständen belegt werden kann. Die folgende Tabelle
zeigt jeweils die (im Kopf ermittelte) Anzahl dieser Belegungen, wobei
nur nicht zueinander symmetrische Belegungen berücksichtigt werden:
Verschaltung  Belegungen
------------------------
 R                4         + Reihenschaltung
 R+R              6         | Parallelschaltung
 R|R              6
 R+R+R            4
 R|R|R            4
 (R+R)|R         12
 (R|R)+R,        12
 R+R+R+R          1
 R|R|R|R          1
 (R+R)|R|R        6
 (R|R)+R+R        6
 (R+R+R)|R        4
 (R|R|R)+R,       4
 ((R+R)|R)+R     12
 ((R|R)+R)|R     12
 (R+R)|(R+R)      3
 (R|R)+(R|R)      3
------------------------
                100

Die 100 Möglichkeiten werden bei unregelmäßig gewählten Widerstands-
werten wie 1-2-5-9 auch tatsächlich erreicht. Bei 1-2-4-8 hingegen ist

  (8+4)|(2+1) = (8|2)+(4|1) = 2,400
  (8+2)|(4+1) = (8|4)+(2|1) = 3,333
  (2+1)|4     = (8+4)|2     = 1,714
  (2|1)+4     = (8|4)+2     = 4,667

so dass vier Lösung wegfallen und nur 96 übrigbleiben. Die
1-2-4-8- Zusammenstellung, wie sie meist verkauft wird, hat den Vorteil,
dass 15 aufeinanderfolgende ganzzahlige Gesamtwiderstände (1 bis 15)
realisierbar sind. Bei 1-2-5-9 hat die Serie der ganzzahligen Werte
Lücken bei 4 und 13 (stattdessen gehen 16 und 17).

> Und tut mir leid, dass Du Dir meinetwegen die halbe Nacht um die Ohren
> schlägst. Aber so sind wir halt mal...

Kein Problem, den größten Teil dieser halben Nacht habe ich etwas
anderes gemacht. Dieses hier war anschließend die Entspannung :)

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