Habe mal ein paar Berechnungen zur PWM Restwelligkeit von passiven RC-Filtern erster bis dritter Ordnung aufgestellt. Am Ende gibt's einen Graphen, der bei der praktischen Auslegung eines Filters helfen kann. Vielleicht hat ja mal jemand die Muße, da drüber zu schauen. Ist alles nicht wirklich neu aber die Berechnungen habe ich in der Form im Netz nicht gefunden, sind also zumindest "nice to know" und helfen unter Umständen für eigene Berechnungen. Cheers Klaus
Hallo Klaus, Schöne Darstellung! Dein Artikel ergänzt sehr gut die folgenden Passagen in der Artikel- sammlung: Filterung mit RC-Tiefpass von Falk Brunner: Pulsweitenmodulation: RC-Filter dimensionieren Filterung mit Cauer-Tiefpass von Christoph Kessler: AVR PWM: Tiefpassfilter-Berechnung Vielleicht hast du ja Lust, deine Berechnungen dort ebenfalls zu verewigen. Noch eine kleine Anmerkung: Du hast der Einfachheit halber das Rechteck- signal am Eingang des Filters auf dessen Grundton reduziert. Für den Tiefpass 1. Ordnung ist es nicht schwer, auch die Oberschwingungen zu berücksichtigen, wenn man mit der exponentiellen Lade- und Entladekurve rechnet. Dann erhält man als Ripplespannung
Für niedrige Frequenzen erhält man dadurch erwartungsgemäß einen Ripple in der Höhe von U0 (bei dir sind es U0·4/π), für hohe Frequenzen einen von U0/(4·R·C·f) (bei dir sind es 2·U0/(π²·R·C·f). Der Unterschied spielt in der Praxis allerdings keine so große Rolle, da er sich unab- hängig von der Frequenz immer innerhalb von ±25% bewegt. Mit etwas mehr Aufwand lassen sich in ähnlicher Weise wahrscheinlich auch die RC-Tiefpässe 2. und 3. Ordnung berechnen, hab's aber noch nicht probiert.
Schön, so geht das natürlich viel besser, vielen Dank :-) Komme für den Filter 1. Ordnung auf ungefähr das gleiche Ergebnis. Rechnung: Während der Einschaltphase der PWM lade ich den Kondensator ausgehend von Spannung U1 auf Spannung U2 auf, während der Entladephase entlädt sich der Kondensator wieder auf U1. Im eingeschwungenen Zustand muss U1 am Anfang und am Ende des Auf-/Entladezyklus identisch sein. Gleichung für's Aufladen:
Gleichung für's Entladen:
Um schneller zu tippen:
Beide Gleichungen für U2 gleichsetzen, dann nach U1 auflösen:
U2 berechnen:
Spannungsdifferenz berechnen:
Hab's noch nicht geprüft, aber der sinh-Term kann wahrscheinlich als Null angenommen werden (vielleicht hab ich mich auch verrechnet?). Das gleiche Verfahren sollte sich tatsächlich auch auf Tiefpässe höherer Ordnung anwenden lassen, deren DC Verhalten ich zum Glück im PDF schon berechnet habe :-) Mach mich da irgendwann diese Woche mal dran. Wenn das alles fluppt, kann ich das schon in Kurzform in die Artikelsammlung tippen. Erstmal schauen, ob da was Sinnvolles rauskommt. Cheers Klaus
Datum:
... und
Du kommst leichter dahin, wenn du vor dem Ersetzen der Exponential- durch Hyperbelfunktionen Zähler und Nenner des Bruchs mittels der binomischen Formeln faktorisierst, wodurch der Bruch gekürzt werden kann. Allerdings ist
(die 2 gehört in den Nenner). Dann kommt das Gleiche heraus wie bei mir.
Datum:
Yepp, hab's :-) Dann steht den höheren Ordnungen nichts mehr im Weg, danke.
Datum:
So, für den Tiefpass 2. Ordnung müsste ich bis auf die finale Vereinfachung soweit sein. Aufladekurve:
Entladekurve:
Damit rechnen für U1 und U2 wie oben:
Abkürzung:
Das müsste jetzt noch über irgendeinen windigen Trick in einen tanh transformiert werden. Bauchgefühl sagt mir was von Summe oder Produkt aus zwei tanh, aber dafür würde ich wohl ein Weilchen brauchen. Tiefpass 3. Ordnung sollte wohl auch noch gehen...
Datum:
Tiefpass 3. Ordnung liefert ein sehr ähnliches Ergebnis, spannend. Aufladekurve:
![U_{auf}(t)=U_0\left[1-\mathrm{e}^{-x}\left(1+x+\frac{1}{2}x^2\right)\right]=U_0\left[1-b\cdot\mathrm{e}^{-x}\right)](/math/466445dd8d36005341479b2af1bacb95.png?source=U_%7Bauf%7D%28t%29%3DU_0%5Cleft%5B1-%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-x%7D%5Cleft%281%2Bx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%5Cright%29%5Cright%5D%3DU_0%5Cleft%5B1-b%5Ccdot%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-x%7D%5Cright%29)
Vereinfachung:
Entladekurve:
Dann wieder wie oben zwei Gleichungen für U2 aufstellen und gleichsetzen:
Wenn jetzt noch jemand mit viel Brain eine Vereinfachung für den letzten Bruch finden würde wäre man wohl sehr schnell bei einer allgemeinen Gleichung für die Restwelligkeit von passiven RC-Tiefpässen n-ter Ordnung...
Datum:
Nimms mir bitte nicht übel, aber bevor ich so eine Abhandlung durcharbeiten würde, würde ich das viel lieber mit Tina-TI oder einem ähnlichen Simulationsprogramm durchsimulieren. Da habe ich jederzeit die Möglichkeit auch etwaige Abweichungen von einer reinrassigen Filterschaltung oder den Standardgüten zu berücksichtigen. Auch die Eigenschaften von realen Bauteilen (endlicher Innenwiderstand von Treibern, parasitäre Serienwiderstände und Induktivitäten von Elkos, etc.) lassen sich sehr realitätsnah berücksichtigen. Kai Klaas
Autor:
Simon K.
(simon)
Datum:
Für eine schnelle Abschätzung sind doch so ein paar (unter Umständen linearisierte bzw. angenäherte Formeln (wenn man den tanh, cosh oder sinh noch irgendwie umbastelt) doch nett. Am besten wenn man die noch "so halb" im Kopf überschlagen kann. In der Zeit wo das Filterprogramm startet (bzw. möglicherweise vorher noch installiert) habe ich meinen Taschenrechner schon gezückt und das Ergebnis erhalten. Für genauere und "professionellere" Ergebnisse ist ein Filterprogramm natürlich vorhanden und die bessere Wahl.
Datum:
@ Simon K. (simon) Benutzerseite >Für eine schnelle Abschätzung sind doch so ein paar (unter Umständen >linearisierte bzw. angenäherte Formeln Dafür kann man es recht einfach hinschreiben. Wenn die PWM-Frequenz mindestens 3x größer als die Tiefpassgrenzfrequenz ist, was praktisch immer gilt, kann man Pi mal Daumen abschätzen. Tiefpass Nter Ordnung mach N*20db/Dekade. Die Dämpfung des Wechselanteils ist dann grob
Die 1,3 sind ein Korrekturfaktor, der empirisch aus einer Simulation gewonnen wurde. Wer mit dB auf Kriegsfuss steht, kann es auch direkt ausrechnen, die Wechselspannung wird dabei als Spitze-Spitze-Wert abgeschätzt.
MfG Falk
Datum:
Naja, wenn man jeden Tag 1.5 Stunden im Zug verbringt braucht man irgendeine "sinnvolle" Beschäftigung :-) Bin einfach neugierig, ob man da eine handliche Gleichung rausbekommt. Außerdem kommen einem dabei schnell weitere Ideen. Mir sagt mein "Bauchgefühl" zum Beispiel, daß für eine wirklich saubere Filterung ein Energiespeicher mit 90° Phasenversatz her muss. Vermutlich ist das der Grundgedanke eines RLC Filters. ABER: Mein AVR hat 2 PWM Ausgänge, mit denen ich zwei 90° versetzte PWM Signale erzeugen kann. Wenn ich die z. B. beide auf je einen Tiefpassfilter gebe und dann addiere, sollte ich abhängig von der Frequenz eine absolut saubere Spannung bekommen. Ist nur eine halbgare Idee, vielleicht taugt das was. Mein grundsätzlicher Antrieb war eigentlich, den einfachst möglichen DAC ohne DAC zu bauen, der noch halbwegs gut rennt. Am liebsten noch direkt einen LM317 oder ähnliches ansteuern und ohne OP auskommen. Aber das ist ein anderes Thema... @Kai: Stimme Dir vollkommen zu. Der Grundgedanke der Rechnung war auch, "andersrum" rechnen zu können, also "was brauche ich". Hab ehrlich gesagt noch nie ein Filterprogramm benutzt, daher weiß ich nicht, ob die sowas können. Komme eigentlich aus der Laser/Optik Richtung, da muss man meistens SEHR genaue Vorstellungen haben, bevor man überhaupt anfängt zu rechnen :-) @Simon: So war's gedacht! @Falk: Das sieht gut aus! Ich schau mal der Vollständigkeit halber, ob ich die Gleichungen noch irgendwie handlicher kriege, wenn jemand da eine Idee hat, wäre ich sehr neugierig. Cheers Klaus
Datum:
Angehängte Dateien:-
pwm_ripple1.PNG
19,9 KB, 408 Downloads -
pwm_ripple2.PNG
20,5 KB, 327 Downloads -
pwm_ripple3.PNG
17,2 KB, 290 Downloads -
pwm_ripple4.PNG
23,1 KB, 282 Downloads -
pwm_ripple5.PNG
21,6 KB, 290 Downloads -
pwm_ripple6.PNG
17,5 KB, 256 Downloads -
pwm_ripple7.PNG
24,3 KB, 269 Downloads -
pwm_ripple8.PNG
19,2 KB, 281 Downloads
>@Kai: Stimme Dir vollkommen zu. Der Grundgedanke der Rechnung war auch, >"andersrum" rechnen zu können, also "was brauche ich". Hab ehrlich >gesagt noch nie ein Filterprogramm benutzt, daher weiß ich nicht, ob die >sowas können. Was ich meinte ist nicht ein gewöhnliches Filterprogramm, sondern ein Simulationsprogramm a la Spice. Im Anhang habe ich die Situation für R x C x fpwm = 1 also fpwm = 3030Hz gezeigt. Das erste Bild ist ohne Kursor, das zweite mit und das dritte zeigt das Einschwingverhalten. Danach die Situation für ein 5-poliges Filter. Danach die Situation für ein hinsichtlich Ripple und Einschwingen optimiertes 5-poliges Filter mit unterschiedlichen Bauteilewerten aber gleichen Zeitkonstanten. Die Eingabe der Schaltung und die Anzeige der Resultate ist eine Frage von nur wenigen Minuten bei "Tina-TI". Kai Klaas
Datum:
>Danach die Situation für ein hinsichtlich Ripple und Einschwingen >optimiertes 5-poliges Filter mit unterschiedlichen Bauteilewerten aber >gleichen Zeitkonstanten. Korrektur: Optimiert ist nur das Einschwingen, der Ripple ist geringfügig größer. Kai Klaas
E-Mail-Benachrichtigung einschalten
Neu: Seitenaufteilung einschalten