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Forum: Analoge Elektronik und Schaltungstechnik Ladungsmenge vs. Energie ?


Autor: Christine H. (Gast)
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Hallo Leute!
Ich tu mir schwer den Zusammenhang zwischen Ladung und Energie zu 
verstehen.
Die elektrische Ladung ist ja Strom*Zeit, Q=I*t [As]. In einem 
Kondesator gilt Q=C*U [As/V]*[V]=[As]. Dh ein kleiner Kondesator muss 
auf eine größere Spannung geladen werden, als ein großer um die gleiche 
Ladungsmenge zu speichern.

Hier ein Beispiel:
Ein Strom von 1A fließt 1µs lang in einen C1=1µF Kondensator und einen 
C2=1nF Kondesator.
C1 wird auf 1V geladen, C2 auf 1kV.
C1 speichert 0,5µJ und C2 0,5mJ.
Also um den Faktor 10^3 den C2 kleiner ist, ist mehr Energie 
gespeichert. Mir ist schon klar das dies aus dem quadrat in der Formel 
Ec=C*U^2/2 kommt.
Doch wie kann man das erklären? Bin jetzt etwas verwirrt...

Autor: Fralla (Gast)
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Rechne die mal die Spannung aus und dann die leistung, die diese 1A 
Stromquelle bringen muss, dann über die 1µs Mitteln und Energieagabe 
berechen. Dann sollte der Unterschied klar sein. Die Spannung der 
I-Quelle ist jene am Kondesator...

Nebenbei, dass Frauen soetwas interessiert?, schön das es das auch gibt.

MFG

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Vielleicht machst du dir den Schverhalt erst einmal anhand von Batterien
klar, bei denen die Spannung während des Ladens und Entladens in erster
Näherung konstant ist:

Erst die Ladung:

Eine Mignonzelle hat eine Ladung von Q=2Ah, d.h. sie kann 2 Stunden lang
1A liefern (Q=I·t). Jetzt schließt du 2 Zellen in Reihe und entlädst sie
wieder mit 1A. Auch die Reihenschaltung hält nur 2 Stunden, weil der
Strom durch jede Einzelzelle immer noch 1A beträgt und die eine Zelle
von der anderen gar nichts mitbekommt. Die Ladung der Reihenschaltung
ist also die gleiche wie die einer Einzelzelle, nämlich 2Ah.

Wenn man allerdings an die Zellen parallelschaltet, addieren sich die
Entladeströme und kann deswegen 2 Stunden lang 2A entnehmen, was eine
Ladung von 4Ah ergibt.

Kommen wir zur Energie:

Jede Zelle enthält eine gewisse Energiemenge. Auf Grund des Energie-
erhaltungssatzes muss die entnommene Energie beim Entladen immer gleich
sein, egal, wie man sie entlädt¹. Deswegen enthalten zwei Zellen immer
die doppelte Energiemenge als eine alleine, unabhängig davon, wie man
sie verschaltet.

Jetzt kommt die Spannung mit ins Spiel:

Beim Entladen der Reihenschaltung hat man zwar nur den einfachen Strom,
dafür aber die doppelte Spannung. Bei der Parallelschaltung hat man nur
die einfache Spannung, dafür aber den doppelten Strom. Die Energie ist
in beiden Fällen gleich, nämlich W=P·t=U·I·t=U·Q. Da die Nennspannung
der Zellen 1,5V ist, ist die Energie einer Zelle 1,5V·2Ah=3Wh=10,8kJ.
Bei zwei Zellen ist die Energie entsprechend 6Wh=21,6kJ.

Und was ist bei den Kondensatoren anders?

Die Überlegungen bzgl. der Ladungen sind genau die gleichen wie oben.
Bei der Energie hingegen ist zu berücksichten, dass die Spannung beim
Entladen mit einem konstanten Strom linear abfällt und nicht wie bei der
Batterie konstant bleibt. Man muss also in der Gleichung W=U·Q für U die
mittlere Spannung während des Entladens einsetzen, also die Hälfte der
Anfangsspannung. Damit ergibt sich für den Kondensator W=½·U·Q=
=½·U·(U·C)=½·U²·C, wenn U die Anfangsspannung ist.

¹) Da es keinen "Ladungserhaltungssatz" gibt, gilt diese Überlegung bei
   Ladungen nicht.

Autor: Michael (Gast)
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Christine H. schrieb:
> Die elektrische Ladung ist ja Strom*Zeit

Also die elektrische Ladung ist erstmal eine Naturgröße. Strom ist 
hierbei bewegte Ladung pro Zeit. Wenn ich den Strom also über die Zeit 
aufsummiere ergibt mir das nicht zwangsläufig die im System vorhandene 
Ladung. ;)

Christine H. schrieb:
> ein kleiner Kondesator muss
> auf eine größere Spannung geladen werden, als ein großer um die gleiche
> Ladungsmenge zu speichern.

Richtig. Plattenkondensator kann man sich gut vorstellen. Bei einem 
kleineren Kondensator sind die Platten weiter auseinander. Mit dem 
Hintergrundwissen, dass Spannung Ladungstrennungsarbeit ist ist auch 
klar warum ein kleinerer Kondensator bei gleicher Ladungsmenge eine 
höhere Spannung aufweisen muss.

Christine H. schrieb:
> Hier ein Beispiel:
> Ein Strom von 1A fließt 1µs lang in einen C1=1µF Kondensator und einen
> C2=1nF Kondesator.
> C1 wird auf 1V geladen, C2 auf 1kV.

Was hier fehlt ist die Ausgangsbedingung. Auf Grund der Formelierung 
nehme ich an, dass C1 und C2 zum Zeitpunkt t=0s komplett entladen sind 
(Uc=0V).

Christine H. schrieb:
> Also um den Faktor 10^3 den C2 kleiner ist, ist mehr Energie
> gespeichert. Mir ist schon klar das dies aus dem quadrat in der Formel
> Ec=C*U^2/2 kommt.
> Doch wie kann man das erklären? Bin jetzt etwas verwirrt...

Wie schon oben verdeutlicht, muss ja der kleinere Kondensator die 
Ladungsträger weiter auseinander ziehen. Dazu muss er mehr Arbeit 
verrichten was ja mehr Energie bedeutet.

Das war nun die simple Betrachtung über den Abstand. Man könnte nun 
natürlich den Abstand konstant halten und die Fläche verändern um 
Kondensatoren unterschiedlicher Kapazität zu erhalten und würde wieder 
den gleichen Effekt sehen. Wie nun eine geringere Fläche zur höheren 
Spannung resultiert...nun, denk mal ein wenig darüber nach und schau dir 
noch das ein und andere Buch an und du wirst erkennen, dass auch dies 
logisch ist ;).

Autor: Michael (Gast)
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Yalu X. schrieb:
> Bei der Energie hingegen ist zu berücksichten, dass die Spannung beim
> Entladen mit einem konstanten Strom linear abfällt und nicht wie bei der
> Batterie konstant bleibt

Die Spannung bleibt auch bei der Batterie nicht konstant sondern fällt 
auch ab. Das Beispiel halte ich aber auch von daher schlecht gewählt, da 
eine Batterie eben ein Ladungsspeicher ist, der darauf "getrimmt" worden 
ist seine Spannung möglichst konstant zu halten. Die unterschiedlichen 
Arten Ladung zu speichern sind hier der Knackpunkt. Es hat ja auch schon 
seinen Grund warum bei einer Batterie die "Kapazität" in Ah angegeben 
ist (eigentlich eine Ladnung) während es beim Kondensator in F angegeben 
ist (As/V, also Ladung pro Spannung).

Auch stimmt die Aussage nicht, dass beim Kondensator W=1/2*Q*U ist weil 
ja beim Kondensator bei konstanter Entladung die Spannung linear fällt 
und man mit der mittleren Spannung rechnet. Das suggeriert, dass das 1/2 
genau daher kommt was aber falsch ist, das 1/2 kommt aus dem Integral 
der Feldenergie und das gilt für Kondensatoren wie auch Batterien 
gleicher Maßen.

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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@Michael:

Das, was du schreibst, ist schon alles richtig. Mir ging es aber darum,
den ganzen Sachverhalt vereinfacht und unter idealisierten Bedingungen
zu beschreiben in der Hoffung, dass Christine ihn erst einmal grob
nachvollziehen kann.

Deswegen haben ich mit einem Entladungsvorgang begonnen, wo Spannung und
Strom beide konstant sind und als anschauliches Beispiel die Batterien
genommen. Wohlwissend, dass eine Batterie natürlich keine ideale Kon-
stantspannungsquelle ist, habe ich geschrieben

> bei denen die Spannung während des Ladens und Entladens in /erster/
> Näherung konstant ist:

Dann bin ich, weil das ja auch die Frage war, zu den Kondensatoren
übergegangen, wo die Spannung während des Entladens eben nicht (auch
nicht näherungsweise) konstant ist. Das Beispiel mit dem konstanten
Stromfluss diente nur dazu, nicht gleich mit Integralen losballern zu
müssen.

Mir selbst geht es jedenfalls so, dass ich komplizierte Sachverhalte am
besten lerne, wenn mir das jemand (oder etwas) erst einmal anhand
einfacher (wenn auch ungenauer) Modelle erklärt. Anschließend kann man
schrittweise die Komplexität dieser Modelle erhöhen und gleichzeitig
mathematische Geschütze auffahren, mit denen auch diese höhere
Komplexität beherrschbar bleibt. Wenn man aber gleich zu Anfang die
Formalismen in den Vordergrund stellt, kommen hinterher Aussagen wie
diese:

> Mir ist schon klar das dies aus dem quadrat in der Formel
> Ec=C*U^2/2 kommt.
> Doch wie kann man das erklären? Bin jetzt etwas verwirrt...

Und wirklich falsch ist, das, was ich geschrieben habe, in meinen Augen
nicht, höchstens ungenau bzw. unvollständig. Ich würde einem Anfänger
auch eine Diode erst einmal anhand eines Rückschlagventils erklären,
obwohl das noch viel "falscher" als das oben Geschriebene ist. Aber so
habe ich es damals am schnellsten kapiert, und wahrscheinlich geht es
anderen (vielleicht nicht allen) ebenso. Die Shockley-Gleichung (die
immer noch stark idealisiert) kommt später :)

Autor: Detlev T. (detlevt)
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Vielleicht hättet ihr einen unelektronischen Vergleich nehmen sollen, 
zum Beispiel das Stapeln von Kisten. Also: Eine einzelne Kiste habe die 
Masse m und die Höhe h. Die erste Kiste liegt auf dem Boden und hat die 
potentielle Energie 0. Die zweite Kiste muss ich um h anheben, damit sie 
auf die erste passt, und hat dadurch die Energie E=m x g x h. Die dritte 
muss ich dann schon um 2 x h anheben usw. Habe ich insgesamt N+1 Kisten 
gestapelt ist die Gesamtenergie des Stapels:
(Euler Formel für sehr große N)

N ist hier so etwas wie die Ladung, die Gesamthöhe H = N * h die 
Spannung und (m * g)/h die Energieerhöhung pro Kiste, also die 
Kapazität. Das Quadrat und der Faktor 1/2 ergibt sich also zwangsläufig 
aus der Tatsache, dass die Energie, die ich brauche, um noch eine Kiste 
(Elektron) draufzupacken davon abhängt, wie viele Kisten (Elektronen) 
schon da sind.

Autor: Sven P. (haku) Benutzerseite
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Machs mal ganz banal, quasi anschauliche Holzhammererklärung:

Stell dir einen Plattenkondensator vor, also zwei Platten, auf die du 
deine Ladungen verteilst. Dazu weißt du, dass sich gleichnamige Ladungen 
abstoßen.
Beim kleinen Kondensator musst du dich weitaus mehr anstrengen, um eine 
bestimmte Ladungsmenge auf die kleinen Platten zu drücken, als bei einem 
großen Kondensator, bei dem sich die Ladungsmenge weit auf den Platten 
verteilen kann.

Ich weiß, sehr unwissenschaftlich, aber mir hats geholfen, zu dem 
Geraffel einen 'natürlichen' Zugang zu finden, bei dem ich weder jedes 
Mal erst mein Gehirn entknoten muss, noch blind auf Formeln baue.

Autor: Martin (Gast)
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...
Auch stimmt die Aussage nicht, dass beim Kondensator W=1/2*Q*U ist weil
ja beim Kondensator bei konstanter Entladung die Spannung linear fällt
und man mit der mittleren Spannung rechnet.
...

Aber natürlich stimmt das!

Wird ein Kondensator mit Iconst enladen, fällt U linear. Daraus folgt 
sofort, dass ich mit der mittleren Spannung rechnen kann:

Ua = Anfangsspannung
Ue = Endspannung

     Ua + Ue
W =  -------    I  t
        2

BeispieL:

Kondensator 1 µF ist auf 1 V geladen.

Entladung 1

Ua = 1 V
Ue = 0,75 V
I  = 1 µA
t  = 0,25 s

    1 V + 0,75 V
W = ------------   1 µA  0,25 s = 218,75 nJ
         2

Entladung 2

Ua = 0,75 V
Ue = 0 V
I  = 1 µA
t  = 0,75 s

    0,75 V + 0 V
W = ------------   1 µA  0,75 s = 281,25 nJ
         2

Autor: Michael (Gast)
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Yalu X. schrieb:
> Dann bin ich, weil das ja auch die Frage war, zu den Kondensatoren
> übergegangen, wo die Spannung während des Entladens eben nicht (auch
> nicht näherungsweise) konstant ist.

Genau das finde ich aber ungünstig eben weil eine Batterie eben Ladungen 
ganz  anders speichert als es ein Kondensator macht und sie ihre 
Spannung nur deshalb quasi konstant halten kann. Eine Batterie wandelt 
elektrische Energie ich chemische Energie um, ein Kondensator tut das 
nicht, er speichert direkt die elektrische Energie. Bei der Batterie 
kann ich z.B. auf der einen Seite mittels Widerdstand ständig 
elektrische Energie der Batterie entziehen. Auf der anderen Seite der 
Batterie (innerhalb) wird aber auch ständig chemische Energie in 
elektrische Energie umgewandelt sodass die effektive elektrische Energie 
innerhalb der Batterie über einen langen (oder weniger langen) Zeitraum 
konstant bleibt. Diesen "Vorteil" hat man beim Kondensator einfach 
nicht. Bei der Batterie entzieht man zwar auf der einen Seite auch 
ständig Ladungsträger aber auf der anderen Seite werden da auch ständig 
Ladungsträger erzeugt bis die chemische Energie aufgebraucht ist. Ist 
die chemische Energie aufgebraucht verhält sich die Batterie wie ein 
Kondensator.

Sven P. schrieb:
> Beim kleinen Kondensator musst du dich weitaus mehr anstrengen, um eine
> bestimmte Ladungsmenge auf die kleinen Platten zu drücken, als bei einem
> großen Kondensator, bei dem sich die Ladungsmenge weit auf den Platten
> verteilen kann.

Och schade, jetzt haste schon verraten wie die Plattengröße hier 
mitspielt :(. Ich hoffte Christine würde hierzu Überlegungen anstellen.

Autor: Michael (Gast)
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Martin schrieb:
> Aber natürlich stimmt das!
>
> Wird ein Kondensator mit Iconst enladen, fällt U linear. Daraus folgt
> sofort, dass ich mit der mittleren Spannung rechnen kann:

Wenn es linear fällt, klar. Aber so wie es geschrieben ist könnte man 
meinen, dass das 1/2 daher kommt, weil man mit der mittleren Spannung 
rechnet. Stimmt aber nicht da das 1/2 absolut nichts mit der mittleren 
Spannung zu tun hat sondern das 1/2 aus dem gelösten Integral der 
elektrischen Feldenergie kommt.

Autor: Martin (Gast)
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...
Wenn es linear fällt, klar. Aber so wie es geschrieben ist könnte man
meinen, dass das 1/2 daher kommt, weil man mit der mittleren Spannung
rechnet. Stimmt aber nicht da das 1/2 absolut nichts mit der mittleren
Spannung zu tun hat sondern das 1/2 aus dem gelösten Integral der
elektrischen Feldenergie kommt.
...

Mir ging es nur darum, deine Behauptung (siehe unten) zu widerlegen. Wer 
da etwas meint oder meinen könnte ist dabei völlig irrelevant.

...
Auch stimmt die Aussage nicht, dass beim Kondensator W=1/2*Q*U ist weil
ja beim Kondensator bei konstanter Entladung die Spannung linear fällt
und man mit der mittleren Spannung rechnet.
...

Autor: Michael (Gast)
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Martin schrieb:
> Mir ging es nur darum, deine Behauptung (siehe unten) zu widerlegen. Wer
> da etwas meint oder meinen könnte ist dabei völlig irrelevant.

Aber bitte auch das komplette Zitat beachten. Ich markiere dir mal die 
kritischen Stellen

...
Auch stimmt die Aussage nicht, dass beim Kondensator W=1/2*Q*U ist 
weil
ja beim Kondensator bei konstanter Entladung die Spannung linear fällt
und man mit der mittleren Spannung rechnet.
...

Ich sage hier ja nicht, dass die Gleichung falsch ist sondern lediglich, 
dass das 1/2 nicht daher kommt, weil man mit der mittleren Spannung 
rechnet. Beachte auch noch den Folgesatz der da lautet:

Michael schrieb:
> Das suggeriert, dass das 1/2
> genau daher kommt was aber falsch ist, das 1/2 kommt aus dem Integral
> der Feldenergie und das gilt für Kondensatoren wie auch Batterien
> gleicher Maßen.

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Michael schrieb:
>> Wird ein Kondensator mit Iconst enladen, fällt U linear. Daraus folgt
>> sofort, dass ich mit der mittleren Spannung rechnen kann:
>
> Wenn es linear fällt, klar. Aber so wie es geschrieben ist könnte man
> meinen, dass das 1/2 daher kommt, weil man mit der mittleren Spannung
> rechnet. Stimmt aber nicht da das 1/2 absolut nichts mit der mittleren
> Spannung zu tun hat sondern das 1/2 aus dem gelösten Integral der
> elektrischen Feldenergie kommt.

Ob das stimmt oder nicht, hängt von der Definition von "mittlere Span-
nung" ab. In diesem Kontext ist damit die Spannung gemittelt über die
Ladung gemeint. Dann stimmt W=Umittel·Q schon, sowohl beim Kondensator
als auch bei der Batterie. Die Gleichung stimmt selbst dann noch, wenn
die Batteriespannung nicht konstant ist.

Autor: Christine (Gast)
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Danke für eure hilfe, mir ist das jetzt schon klarer.

Die verschiedenen Ansätzte haben mir geholfen

>ich den Strom also über die Zeit aufsummiere ergibt mir das nicht >zwangsläufig 
die im System vorhandene Ladung. ;)
Warum nicht? Dann stimmt Q=I*t nicht? Man kann ja eine Anfangsbedingung 
setzen Q(0)=...

>W=1/2*Q*U
Ich dachte immer das 1/2 kommt von
 mit C=Q/U

Den ganz anderen Ansatz mit der Leistung/Energie der Stromquelle bei 
meinen Beispielen finde ich auch sehr gut.

Mir ist schn kar dass eine Batterie keine Ideal Spannunsquelle ist und 
die Spannung Zeit und Stromabhängig ist.

Aber noch etwas:

Beim Plattenkondesator gilt ja C=er*e0*A/d und für die Feldstärke gilt 
E=Q/(er*e0*A). Ist mir klar denn wenn bei konstanter Ladung die Fläche 
verdoppelt wird ist die halbe Feldstärke notwendig.
Doch wieso kommt d nicht vor? Wenn der Abstand vergrößert wird (sagen 
wir verdoppelt) muss die Spannung doppelt so hoch sein damit die 
Feldstärke gleich bleibt.
Jetz fällt mir ein, ich kann für Q=C*U einsetzen und in C kommt dann d 
vor

Ladung und Energie ist mit jetzt klar.
Doch ich kann die Größen Feldstärke, Energie, Kapazität, Ladung nicht 
richtig verbinden.
Wäre nett wenn ihr das auch noch etwas Erklären könntet...

Autor: Michael (Gast)
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Christine schrieb:
> Warum nicht? Dann stimmt Q=I*t nicht? Man kann ja eine Anfangsbedingung
> setzen Q(0)=...

Genau, du musst auch eine Anfangsbedingung berücksichtigen, zum Beispiel 
Q(0)=0...oder 10As oder 2345785923As

Christine schrieb:
> Ich dachte immer das 1/2 kommt von

Dein Intergral ist das schon oben von mir angesprochene Integral der 
Feldenergie und genau da kommt die 1/2 auch her. ;)

Yalu X. schrieb:
> Ob das stimmt oder nicht, hängt von der Definition von "mittlere Span-
> nung" ab.

So wie du es definiert hast steck das Integral in der *mittleren 
Spannung* drin. Du gehst einen anderen Weg der, meiner Meinung nach, 
deutlich schwerer ist nachzuvollziehen (u.a. weil komplexes dafür raus 
gelassen wird). Grade für einen Beginner. Ob es immer stimmt wenn man 
die Spannung lediglich mittelt. Das muss ich mir erst anschaun auf'm 
Papier. logisch finde ich es erstmal nicht, insbesondere wenn ich an 
eine "typische" Kondensatorentladung denke.

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