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Forum: Mikrocontroller und Digitale Elektronik Abstandsmessung berührungslos im freien


Autor: Herbert Sondermann (Firma: ing.-büro sondermann) (spitti52)
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hallo,
ich weiss nicht, ob ich hier richtig bin, aber ich möchte folgende Frage 
stellen:
Auf dem Boden liegen verschiedene Kugeln, deren Abstand untereinander 
möglichst genau vermessen werden soll.

Geht das mittels Kamera?

Ich würde mich freuen, wenn jemand eine Antwort weiss und sages chon mal 
danke

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Herbert Sondermann schrieb:
> hallo,
> ich weiss nicht, ob ich hier richtig bin, aber ich möchte folgende Frage
> stellen:
> Auf dem Boden liegen verschiedene Kugeln, deren Abstand untereinander
> möglichst genau vermessen werden soll.
>
> Geht das mittels Kamera?

Im Prinzip: ja.
Aber:
  was ist über die Kugeln bekannt
  was bedeutet 'möglichst genau'
  was ist über die Bodenbeschaffenheit (Unebenheit) bekannt
  wie wird die Kamera fixiert, wird sie das überhaupt?

Autor: STK500-Besitzer (Gast)
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Modellbauer machen gerne Fotos von Originalen mit einem Maßstab im Bild.
Wenn der auch noch 3D ist, dann hat man auch eine gewisse räumliche 
Aussagekraft.

Autor: STK500-Besitzer (Gast)
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>Auf dem Boden liegen verschiedene Kugeln, deren Abstand untereinander
>möglichst genau vermessen werden soll.

Klingt irgendwie nach Boule.
Kamera von oben...

Autor: Herbert Sondermann (Firma: ing.-büro sondermann) (spitti52)
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ist auch boulen :-)

Es gibt noch keine Möglichkeit, den Abstand im mm-Bereich zu vermessen

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Herbert Sondermann schrieb:
> ist auch boulen :-)
>
> Es gibt noch keine Möglichkeit, den Abstand im mm-Bereich zu vermessen

Das wirst du auch mit einer Kamera nicht so einfach hinkriegen.
Zumindest nicht so, wie du dir das vorstellst:
Du baust dich da irgendwo auf, hältst die Kamera in Richtung Ort des 
Geschehens und auf dem Display steht "Blau-zu-Rot: 89.7 Millimeter"

So einfach ist das nicht.

Autor: Herbert Sondermann (Firma: ing.-büro sondermann) (spitti52)
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es handelt sich um den freizeitsport boulen
hier gibt es eine kleine Holzkugel(30 mm Durchmesser) und diverse 
Stahlkugeln(Durchmesser ca. 75mm)
Der Boden ist uneben
Die Messgenauigkeit sollte im mm- Bereich liegen

Autor: oszi40 (Gast)
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Jedes Objektiv hat eine gewisse optische Verzerrung. Daher müßte die 
Messung immer unter gleichen Bedingungen stattfinden und ein Maß als 
Referenz daneben liegen. Einfacher wäre auf Millimeterpapier zu spielen.

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Gut

Du müsstest:
Aus einem Kamerabild den exakten Abstand einer Kugel von der Kamera und 
den exakten Winkel extrahieren unter dem die Kugel von der Kamera aus 
sichtbar ist. Prinzipiell ist das schon möglich, weil du ja das 
Zielobjekt kennst. Allerdings ist dann nichts mehr mit ~75mm. Das muss 
dann schon genauer sein.

Dazu muss man erst einmal die Kugel im Bild finden. Bei sich gegenseitig 
verdeckenden Kugeln gar nicht so einfach.

Aber seis drumm: Angenommen du hast die Objektivverzeichnung 
rausgerechnet, dann kann man in der Umkehrung eine virtuelle Kugel so im 
Raum platzieren, dass ihre perspektivische Abbildung sich mit dem Bild 
deckt. Damit erhält man dann die genauen 3D-Positionen aller Kugeln. Die 
Distanz ist dann einfach nur noch Distanz zwischen den Mittelpunkten 
minus die Radien der beteiligten Kugeln.

Machbar ist das. Bei Snooker wird das auch gemacht. Allerdings hat man 
dort noch besser kontrollierbare Bedinungen. Die Kamera ist immer am 
gleichen Ort, die Kugeln sind exakt gearbeitet und der Untergrund ist 
absolut eben und waagrecht.

Inwiefern dir da jetzt deine zusätzlichen Schwierigkeiten (keine fixe 
Kameraposition, kein ebener Boden, Kugeln die wahrscheinlich nicht 
wirklich rund sind) einen Strich durch die Rechnung machen, wage ich 
nicht zu beurteilen. Selbst unter Idealbedingungen ist das kein 
einfaches Problem.

Wie fit bist du den in Mathe?
Wieviel Erfahrung hast du in Bildverarbeitung?

Autor: Mark Brandis (markbrandis)
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Ich würde es so aufbauen, dass die Kamera auf ein Gerüst montiert wird - 
vielleicht zwei Meter über dem Boden. Sie ist dann in der Mitte über dem 
Spielfeld und fotografiert senkrecht nach unten. Natürlich muss der 
fotografierte Bildausschnitt so groß sein, dass alle Kugeln erfasst 
werden:



     Kamera y-Position
           |
           |
           |
+++++++++++++++++++++++
+          |          +
+       O  |          +
+          |          +
+          +----------+--- Kamera x-Position
+     O  o     O      +
+                     +
+        O            +
+      Kugeln         +
.                     .
.                     .
.                     .
.                     .
.                     .
.     ^      ^        .
.     |      |        .
.     |      |        .
.     |      |        .
.    Spielrichtung    .



Wenn der Kontrast der Kugeln zum Untergrund groß genug ist, dann sollte 
es eigentlich nicht so schwer sein diese bildverarbeitungsmäßig zu 
erkennen. Man könnte auch an den oberen und seitlichen Rändern des 
Spielfelds entsprechende Markierungen aufbringen die man 
mitfotografiert, das sollte eigentlich nicht stören.

Autor: Bollek (Gast)
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Reicht es nicht aus einfach das Paar mit der geringsten Entfernung zu 
bestimmen? Das würde die Sache bestimmt erleichtern.
Die mm sind doch egal, wenn man der Gewinner ist, oder?!

Da wäre dann das Gestell von Mark angebracht und du bestimmst dann nur 
die Pixel zwischen den Kugeln.

Für Matlab gibts viel Bilderkennungskram mit dem das bestimmt machbar 
ist.

Ein Hoch auf die, die mit Kanonen auf Spatzen schießen!

Autor: Mat (Gast)
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2D Laserscanner im rechten Winkel über das Feld bewegen?

Autor: STK500-Besitzer (Gast)
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Mat schrieb:
> 2D Laserscanner im rechten Winkel über das Feld bewegen?

Kanonen und Spatzen...

Da dürfte es schon einfacher sein, eine Stereo-Kamera aufzubauen.

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Bollek schrieb:

> Da wäre dann das Gestell von Mark angebracht und du bestimmst dann nur
> die Pixel zwischen den Kugeln.

Dazu musst du die Kamera dann aber möglichst exakt über die 
Verbindungslinie der beiden Kugeln bringen. Spätestens jetzt wäre dann 
ein Kreuzschlitten in 2 Meter Höhe auf dem Gestell angebracht.

(Geh ins Extrem. Die Kugeln können 1 Meter auseinander liegen, wenn du 
in 10 Meter Entfernung die Kamera senkrecht nach unten schauen lässt, 
wird deine Kamera kein einziges freies Pixel zwischen den Kugeln 
ausmachen können, weil die eine Kugel die andere perspektivisch 
verdeckt. Diese Perspektivischen Effekte musst du wegkriegen und das 
geht nun mal nur auf der optischen Achse der Kamera.

> Ein Hoch auf die, die mit Kanonen auf Spatzen schießen!

Yep.
Eine Art "große Schiebelehre" mit langen Fühlern, die man zwischen die 
Kugel setzt und dann die Fühler solange auseinanderfährt bis sie die 
Kugeln berühren würde es auch tun. Da muss noch nicht einmal ein 
Massstab drann (auch wenn er manches ev. erleichtern würde)

Autor: ... (Gast)
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Im Prizip ist das ziemlich dasselbe, was die Roboterfußball machen 
(http://de.wikipedia.org/wiki/Roboterfu%C3%9Fball). Insbesondere in der 
"Small Size" Liga. Eine zentrale Kamera 4m über dem Boden mit Blick nach 
unten, dazu ein paar fixe Markierung auf dem Spielfeld (bzw. am Rand).

Autor: U.R. Schmitt (Gast)
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Vorschlag:
Ein Laserentfernungsmesser, der auf einer optischen Achse nach zwei 
Seiten gleichzeitig misst und die Entfernung addiert (Plus seine eigene 
Abmessung).
Seh ich als das gangbarste, und sowas müsste es eigentlich auch schon 
geben.
(Halt nur nicht für 19,90 bei Obi)

Autor: Floh (Gast)
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Also wir machen das immer mit ner Stück Schnur :-)
Erst werden augenscheinlich alle Kugeln entfernt, die unstritig weiter 
weg sind. Die Abstände zur Holzkugel werden dann mit nem Stück Schnur 
verglichen.

Keep it simple, stupid and short :-)

Autor: U.R. Schmitt (Gast)
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Floh schrieb:
> Keep it simple, stupid and short :-)
Genau :-)
Ausserdem ist der Sinn von Sport daß man sich bewegt und nicht vorm 
Monitor sitzt und sich die Entfernungen nur anzeigen lässt :-))))

Autor: JojoS (Gast)
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...und gerade beim Boule hat man doch Rotwein trinkende alte Menschen 
vor Augen die in aller Gemütsruhe ihre Spielchen machen. Man braucht ein 
paar Kugeln und etwas Platz im Park und fertig. Und jetzt Kameras, Strom 
und Stress. Ne, das passt ja gar nich, bei aller Liebe zur Technik :-)

Autor: moe (Gast)
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Das zu überwachende Feld hat vielleicht eine Größe von 4m*4m. Die 
gewünschte Auflösung von 1mm pro Pixel wäre also erst bei Kameras mit 
einer Auflösung von typischerweise 4096*4096 Pixeln erfüllt. Es gibt 
zwar industrielle Farb-Flächen-Kameras mit solchen Eckdaten, aber nur 
für viel Geld. Da kommt man wahrscheinlich mit einer Nikon D3x 
(6048*4032) billiger davon.

Sind die Kugeln später erkannt, kann deren Schwerpunkt bei hinreichend 
großem Umfang genauer als ein Pixel² bestimmt werden. In der Praxis 
kommt man also wahrscheinlich auch mit kleineren Sensoren hin.

Messen im Bild: Das Stichwort heißt Kamera-Kalibrierung nach Tsai/Lenz. 
Jede Menge Literatur dazu erhältlich. Nach Korrelation einiger 
Kalibrierungspunkte auf der Fläche in Welt-Koordinaten mit deren 
Bildkoordinaten kann man beliebig zwischen Welt- und Bild-Koordinaten 
verrechnen. OpenCV kann das.

Die stabile Erkennung der Kugeln ist aber ein Kapitel für sich.

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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JojoS schrieb:
> ...und gerade beim Boule hat man doch Rotwein trinkende alte Menschen
> vor Augen die in aller Gemütsruhe ihre Spielchen machen. Man braucht ein
> paar Kugeln und etwas Platz im Park und fertig. Und jetzt Kameras, Strom
> und Stress. Ne, das passt ja gar nich, bei aller Liebe zur Technik :-)

Ich denke wenn so etwas einfach machbar wäre, dann hätte man das längst 
bei Olympischen Spielen oder dergleichen bei Curling eingeführt. So 
einfach wirds dann eben nicht sein.

Apropos Kugeln und Abstände: Hat wer von euch schon mal Indoor Bowls 
geguckt (kommt selbst auf Eurosport nur ganz selten). Ich finde das 
faszinierend, wie die ihre 'Bälle' auf die Distanz ins Zielfeld 
manövrieren.
Youtube-Video "Kerkow vs Foster"

Autor: Michael (Gast)
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Karl heinz Buchegger schrieb:
> Ich denke wenn so etwas einfach machbar wäre

Würde man es u.a. in der Industrie machen...was man auch tut...meine 
Abschlussarbeit beschäftigte sich damit Objekte auf einem Laufband zu 
erkennen bzgl. Position und Lage und Form.

Keine Frage, da steckt ein riesiger Aufwand dahinter, primär aber in der 
Erkennung der Objekte. Hat man die auf dem Bild erstmal sicher erkannt 
(das ist der eigentliche Knackpunkt) dann ist der Rest nur noch 
Geometrie (Fleißarbeit). Die Genauigkeit wird in erster Linie von der 
Genauigkeit der Kugeln bestimmt. 75mm±2mm oder doch ±3mm? Ich glaub, man 
kann hier schon erkennen was das Problem ist. Und genau das ist auch der 
Grund warums bei den Olympischen Spielen und Co nicht verwendet wird. 
Soooo genau wird höchstens beim Snooker die Kugel geformt. Bei anderen 
Spielarten wird und muss die Kugel gar net so genau sein und nur für ne 
Messeinrichtung...dann greift man im Zweifelsfall doch lieber zum 
Maßband und ist seit Jahrhunderten quasi erprobt. Sofern man die 
Abstandsmessung auch wirklich anhand der Kugelgröße machen will. Option 
zwei wäre ja die Abstandsmessung wie sie z.B. in der Raumfahrt zu 
machen: Man packt ein Gitter auf die Linse. Dann hat man wieder Spass 
mit Geometrie (Strahlensatz sei hier mal als Stichwort genannt).
An Stelle des TE würde ich mich als erstes mal ins Thema der 
Objekterkennung in Bildern einlesen. Kantendetektion ist denke ich nicht 
verkehrt. Aber keine Illusion, sowas lernt man nicht in einer Woche. Da 
geht eher ein halbes Jahr für drauf, wahrscheinlich noch viel mehr da es 
ja ein Hobby ist und man hier eher weniger Zeit investiert als in einen 
Full-Time-Job (also zumindest ich hab deutlich mehr als nur ein Hobby).

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Michael schrieb:
> Karl heinz Buchegger schrieb:
>> Ich denke wenn so etwas einfach machbar wäre
>
> Würde man es u.a. in der Industrie machen...was man auch tut...meine
> Abschlussarbeit beschäftigte sich damit Objekte auf einem Laufband zu
> erkennen bzgl. Position und Lage und Form.

Klingt interessant.
Welche Kamera benutzt ihr (Auflösung, Entfernung)
und welche Genauigkeit kriegst du in der Positionsmesung hin?

Man bedenke auch bei der Aufgabenstellung: Wir bewegen uns nicht auf 
einem ebenen Untergrund! Das ist kein 2D Problem!

Autor: Lord Ziu (lordziu)
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Muss es denn vollautomatisiert sein?

Wenn ein Mensch für die Vermessung eingesetzt werden kann, könnte ich 
mir Folgendes vorstellen:

- An einem fixen Punkt am Rand des Spielfelds (z.B. an einer Ecke) steht 
ein Laserentfernungsmesser (LEM), der von einem Menschen bedient wird. 
Dieser LEM hat Sensoren für seine eigene Neigung und seinen Winkel 
zwischen den beiden einschließenden Rändern.

- Der Mensch richtet den LEM auf jede Kugel und loggt die Daten 
(Entfernung, Winkel, Neigung, Art der Kugel (wegen Durchmesser), ...)

Dadurch müsste man doch alle Daten haben, um ein 3D-Koordinatensystem 
aufzuspannen. Jede Kugelposition ist ein Vektor mit Betrag (Entfernung) 
und 2 Raumwinkeln. Die Position der LEM ist der Koordinatenursprung.

Könnte das so funktionieren?

Autor: funky (Gast)
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naja, so wie sich das anhört haben sie ja schon ein richtiges Spielfeld. 
Du scheinst Dir da jetzt irgendeinen Kartoffelacker vorzustellen. Ich 
glaub aber nicht das das zutrifft. Zumindest bei den Bouleplätzen die 
ich so gesehen habe ist das alles immer schön ordentlich und auch recht 
ebenerdig gewesen. von daher kann man die dritte Dimension sicherlich 
vernachlässigen

Wenn die Kamera stationär aufgebaut werden kann in x Meter Höhe und 
senkrecht aufs Spielfeld schaut wäre das sicherlich von Vorteil. Dann 
sollte man außerdem noch für möglichst gleichbleibende Beleuchtung 
sorgen(sehr wichtig!)

Sind die Kugeln immer gleich? z.B. rot oder grün? Eher nicht, oder? Da 
hat sicherlich jeder Spieler seine eigenen Lieblingskugeln?

Ich würde das Hauptproblem auch in der sicheren Kugelerkennung sehen. 
Die Abstandsmessung kann man doch sicherlich durch einmalige 
Kalibrierung erledigen...mal ein 20cm Lineal ins Bild legen und Pixel 
zählen. Der Rest ist dann Mathematik.

Viele Probleme kann man erschlagen indem man die Kamera stationär 
aufbaut und über das Spielfeld hängt. Dann hat man auch keine Probleme 
mit verdeckten Kugeln oder ähnlichem.

OpenCV ist dafür gut geeignet und damit ist das definitiv machbar. Aber 
selbsterklärend ist etwas anders. Ich würde erstmal kleine Brötchen 
backen und mit ner Webcam und einer 50x50cm Fläche oder so beginnen.

Autor: funky (Gast)
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achso, das war auf Karl-Heinzens Beitrag bezogen bezüglich 2D/3D

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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funky schrieb:
> achso, das war auf Karl-Heinzens Beitrag bezogen bezüglich 2D/3D

Ich hab mich nur auf seine eigene Aussage von weiter oben bezogen.

> Du scheinst Dir da jetzt irgendeinen Kartoffelacker vorzustellen.

Kartoffelacker ist jetzt etwas zu dick aufgetragen. Ich hab da eher mehr 
an einen normalen Vorgartenrasen gedacht, der schon lange nicht mehr 
gewalzt wurde.

Autor: funky (Gast)
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hmm, ok...hatte nur gelesen das das Spielfeld eine Ausdehnung von 4x4m 
hat. Und die Bouleplätze die ich so kenne sind mit Kies oder Sand 
bedeckt und möglichst ebenerdig.

Die Frage ist ja nun auch wirklich ob das System stationär aufgebaut 
wird oder mal hier mal dort. Zweiteres halte ich erstmal für ziemlich 
unrealistisch in endlicher Zeit. Ersteres ist sicherlich möglich.

Autor: -Gast_XIV (Gast)
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Mal n paar Gedanken dazu:

funky schrieb:
> Ich würde erstmal kleine Brötchen
> backen und mit ner Webcam und einer 50x50cm Fläche oder so beginnen.

Es braucht aber keine Webcam da es keine bewegten Bilder sind.

Eine gute Digitalknipse reicht und macht wohl ausreichend gute Bilder.

12 Megapixel ergibt ne Kantenlänge von 3,464 m in mm Auflösung. Wenn das 
nicht reicht nimmt man eben mehrere.

Die Pixel sind auch immer an der gleichen Stelle. Mit einem 
Kalibriervorgang (1mm Schachbrettmuster aufnehmen) wird das ganze 
eingemessen.

Dann ist eine Kugel evtl recht einfach zu identifizieren. Einen 
Bildvergleich Boden mit Kugeln und Boden ohne Kugeln zu differenzieren 
ist wohl für einen Mathematiker eine recht einfache Matrixoperation ergo 
machbar. Selbst die Größe lässt sich über Integrale? feststellen

Beim ändern der Lichtverhältnisse müssen wohl Referenzbilder her.

Autor: Frank M. (ukw) (Moderator) Benutzerseite
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Man lässt die kleine weiße Kugel sich einfach aufblasen... die erste 
Kugel, die berührt wird, gewinnt! ;-)

Spaß beiseite:

Wenn man es schafft, die Kamera exakt senkrecht über der weißen Kugel zu 
positionieren, braucht man kein Liniengatter in der Linse, sondern es 
reichen konzentrische Kreise um das Zentrum. Auch fällt dann die 
Berücksichtigung des Betrachtungswinkels weg.

In der Praxis würde ich es so umsetzen:

Man nehme eine kleine mobile drahtlose Webcam, einer der Spieler hält 
die Webcam möglichs senkrecht über der weißen Kugel und schießt ein 
Foto. Das Foto wird zu einem nahestehenden Notebook übertragen, wo 
einfach ein kleines Bildbearbeitungsprogramm läuft, welches die weiße 
Kugel im Zentrum immer dicker werden lässt... bis sie eine der anderen 
Kugeln berührt - fertig!

EDIT:
Das Programm kann simpel sein: Man positioniert die Maus auf das Zentrum 
der kleinen Kugel und lässt dann per Mausrad einen Kreis konzentrisch um 
den Mauszeiger wachsen/schrumpfen. Der Betrachter sieht dann schon die 
Berührung. Eine Objekterkennung per Programm ist nicht notwendig.

Gruß,

Frank

Autor: Michael (Gast)
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Karl heinz Buchegger schrieb:
> Klingt interessant.
> Welche Kamera benutzt ihr (Auflösung, Entfernung)
> und welche Genauigkeit kriegst du in der Positionsmesung hin?

Die Kamera hatte eine Auflösung von 1024*1280 gehabt und war nen Meter 
übern Laufband positioniert. Sie beobachtete 200mm*200mm großes Feld auf 
dem Laufband und es war möglich den Greifer auf einen Millimeter genau 
ins Ziel zu bringen. Aber ist das für hier interessant? Ich glaub ich 
schrieb schon, dass die Objekterkennung das große Problem sein wird.

Karl heinz Buchegger schrieb:
> Man bedenke auch bei der Aufgabenstellung: Wir bewegen uns nicht auf
> einem ebenen Untergrund! Das ist kein 2D Problem!

Nunja, große Schlaglöcher sind in so einer Bahn auch nicht. Ich denke 
für die erste Näherung könnten die Höhenunterschiede von vielleicht 
maximal 10 cm durchaus vernachlässigt werden. Bei einer Kamerahöhe von 
2m macht das grad mal 5% aus, wenns direkt unter der Kamera liegt, je 
weiter Weg es von der Kamera ist desto geringer wirkt sich der 
Höhenunterschied aus.

Autor: ursula (Gast)
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.

.   ich würde das spielfeld mit google maps beobachten lassen ...

.

Autor: moe (Gast)
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@funky: Das mit den 4m*4m hab ich verbockt. Laut Wikipedia haben die 
meisten Boule-Bahnen eine Breite von 3-4,5 Metern und Längen von bis zu 
30 Metern. Man würde also nur das Zielfeld beobachten. Wie man die 
Kamera da hin bekommt, ist eine andere Sache.

Über die Anforderung an die 3D-Vermessung hab ich gerade noch mal 
nachgedacht. Da Kugeln rotationssymetrisch sind, kann man über die 
Randpunkte von als Kugeln erkannten Objekten sehr genau (auch bei durch 
den Boden verdeckten Rändern) mittels Fit den (2D-) Mittelpunkt finden. 
Da man die Kamera vorher kalibriert hat, ist bekannt, auf welchem 
"Strahl" (Winkel+Startpunkt) sich die Kugel, vom Sensor aus gesehen, 
befindet. Über den Kugelfit kennt man den Radius und kennt damit die 
Entfernung der Kugel vom als Ebene angenommenen Boden. Das als 
z-Koordinate bei der Rückprojektion angeben, und man hat die "echte" 
3D-Koordinate ohne Parallax-Versatz.

Hoffe, das war halbwegs verständlich.

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Momentan denke ich, dass 
Beitrag "Re: Abstandsmessung berührungslos im freien"
Frank M. recht hat.
Die eigentliche Distanz in Millimeter ist zwar ganz interessant, 
interessiert aber im konkreten Fall niemanden. Da denken wir alle zu 
kompliziert. Es geht doch einzig und alleine darum, wer näher an einer 
Zielkugel ist. Seine Systematik würde das rausfinden.

Autor: Frank M. (ukw) (Moderator) Benutzerseite
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Karl heinz Buchegger schrieb:
> Momentan denke ich, dass
> Beitrag "Re: Abstandsmessung berührungslos im freien"
> Frank M. recht hat.

:-)

> Die eigentliche Distanz in Millimeter ist zwar ganz interessant,
> interessiert aber im konkreten Fall niemanden. Da denken wir alle zu
> kompliziert. Es geht doch einzig und alleine darum, wer näher an einer
> Zielkugel ist. Seine Systematik würde das rausfinden.

Auch den 2. und 3. Platz kann man so ermitteln.

Gruß,

Frank

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