Hi, ich les mir grad was über komplexe zahlen durch. Mir ist dabei was aufgefallen was für mich ziemlich unlogisch ist: und zwar heisst es: i² = -1 = i*i wenn ich jetzt jedoch für i =wurzel(-1) schreib komm ich auf plus eins: i*i = i² = wurzel (-1) * wurzel (-1) = wurzel (-1 * -1) = wurzel (+1) = +1 Ich versteh das nicht. wieso ist dsann i² minus 1? eine begründung wäre: (wurzel(-1))² -> hoch zwei und wurzel kürzt sich -> =-1 aber diese aussage deckt sich nicht mit dem oberen...irgendwas passt da doch nicht. Kann mir von euch das jemand erklären? Grße Christoph
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Das ist einfach so definiert! Da gibt es nix zu erklären das ist einfach so =) Übrigens ein etwas falsches Forum - wir sind Elektrotechnikentwickler - heißt jetzt nicht, dass wir keine Ahnung von Mathe haben =)
naja, schau dir mal die Potenzrechenregeln an: da gilt: Wurzel(-1) = (-1)^0,5 (-1)^0,5 * (-1)^0,5 = (-1)^(0,5+0,5) = (-1)^1 = -1 Ganz klar :-P
Es gibt einfach eine zweite Achse, die ist senkrecht zur ersten Achse. Die Basisvektoren sind 1 & i. Weshalb i = sqrt(-1) ist kommt spaeter, wenn man die Multiplikation von komplexen Zahlen dran nimmt.
>wenn ich jetzt jedoch für i =wurzel(-1) schreib komm ich auf plus eins: > >i*i = i² = wurzel (-1) * wurzel (-1) = wurzel (-1 * -1) = wurzel (+1) = >+1 Du darfst mit "Wurzel (-1)" ja gar nicht rechnen, weil "Wurzel (-1)" nicht definiert ist. Das ist doch gerade der Geck. Wenn du irgendwo "Wurzel (-1)" hast, mußt du es "i" benennen und als solches stehen lassen. Erst wenn du in der weiteren Rechnung irgend wann "i^2" erhälst, darfst du dafür "-1" schreiben.
christoph schrieb: > i*i = i² = wurzel (-1) * wurzel (-1) = wurzel (-1 * -1) = wurzel (+1) = > +1 auf den letzten Rechenschritt kommts an: Die Wurzel aus +1 hat zwei Lösungen, nämlich +1 und -1. Wie so oft ist nur eine der beiden Lösungen richtig... -1.
christoph schrieb: > aber diese aussage deckt sich nicht mit dem oberen...irgendwas passt da > doch nicht. Kann mir von euch das jemand erklären? Gar nicht so leicht den Fehler zu finden. Ich denke das Problem ist dass Wurzel(a) * Wurzel(b) = Wurzel(a * b) nur für positive a und b gilt. Damit wird die folgende Gleichungskette Ungültig: > i*i = i² = wurzel (-1) * wurzel (-1) = wurzel (-1 * -1) = wurzel (+1) = > +1 ZigZeg
Was ist die Wurzel aus 4? richtig 2! Aber (-2)^2 ist auch wieder 4! Merke: Die Wurzeloperation schränkt das Ergebnis ein, wenn man nicht komplex rechnet! Guck dir mal Einheitswurzeln an.
Die Wurzel ist eine Operation, und hat ein Resultat. Nichtsdestotrotz hat eine quadratische Gleichung zwei Losungen.
Ein Oschi schrieb: > Die Wurzel ist eine Operation, und hat ein Resultat. Nichtsdestotrotz > hat eine quadratische Gleichung zwei Losungen. Die Wurzel ist eine Operation, und hat im allgemeinen zwei Lösungen. Eine quadratische Gleichung hat oft 2 Lösungen. Manchmal aber auch eine oder gar keine (im Reellen). Eine Wurzelgleichung lässt sich in eine quadratische Gleichung umformen.
Ich wollte darauf hinweisen, dass eine Wurzeloperation und eine Gleichung nicht dasselbe ist. Eine Wurzel hat ein Resultat, nicht zwei. Dass man die anderen Losungen durch Drehung erhaelt ist dann klar.
Ein Oschi schrieb: > Eine Wurzel hat ein Resultat, nicht zwei. Das Ergebnis der Operation Wurzelziehen sind die Zahlen, die mit sich selbst multipliziert den Operanden ergeben. Wurzel aus 4 ist also +2 und -2. Im Körper der Reellen Zahlen kann die Operation mehrere Lösungen haben. Wurzeln aus negativen Zahlen existieren nur, wenn man mit komplexen Zahlen rechnet.
Ute schrieb: > Du darfst mit "Wurzel (-1)" ja gar nicht rechnen, weil "Wurzel (-1)" > nicht definiert ist. Das ist doch gerade der Geck. So ein Unsinn, natürlich ist es definiert, eben als i. Es ist zwar in |R nicht definiert, aber das tut nichts zur Sache.
Kai S. schrieb: > Ich denke das Problem ist dass Wurzel(a) * Wurzel(b) = Wurzel(a * b) > nur für positive a und b gilt. Genau das ist der Punkt. Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29#Potenzgesetze Da steht:
für beliebige reelle r, s, falls a > 0 ist; für beliebige rationale r, s mit ungeraden Nennern, falls a < 0 ist. Im vorliegenden Fall ist a=-1 und r=s=½. Da weder a>0 noch der Nenner von ½ ungerade ist, kann die Rechenregel nicht angewendet werden.
Da wir aber ein E-Technik-Forum sind, sollten wir eher "j" schreiben ;-) Mein "jott"!
Haare spalten? Ok: Uhu Uhuhu schrieb: > Ein Oschi schrieb: >> Eine Wurzel hat ein Resultat, nicht zwei. > > Das Ergebnis der Operation Wurzelziehen sind die Zahlen, die mit sich > selbst multipliziert den Operanden ergeben. Wurzel aus 4 ist also +2 und > -2. Bis in den reellen Zahlenraum: Nä, leider nicht. Das Ergebnis des Wurzeloperators angewendet auf positive Zahlen ist per Definition positiv, die Wurzel aus 4 ist eindeutig und ist +2. Das Wurzelzeichen steht für die Wurzelfunktion, zu der nur der positive Ast gehört. Andernfalls wäre sie keine Funktion mehr. Die zweite Lösung schummelt sich bei Lösung der quadratischen Gleichung über ein impliziertes Betragszeichen dazu:
Erst bei der Wurzel aus komplexen Zahlen wird der Wurzeloperator mannigfaltig, denn die Wurzel aus einer komplexen Zahl ist per Definition die Lösung der zugehörigen Potenzgleichung. Das ist nötig, da eine komplexe Zahl nicht so ohne Weiteres positiv oder negativ ist. Da '2' allerdings auch eine komplexe Zahl ist, deren Imaginärteil eben 0 ist, darf man nun freudig Haare spalten, in welchem Zahlenraum wir denn gerade waren :-) Bis in den reellen Zahlenraum hinein ist folgendes jedoch nach Definition und Konvention _falsch_:
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