Tach zusammen,

Ich sollte eine Aufgabe Lösen aber ich brauch irgendwie nen Tip wie ich 
das angehen kann:

Gegeben Sei die Funktion

Finden sie eine Funktion v(x,y), so dass

 holomorph auf ganz C ist.

Wenn es holomorph ist, muss es ja auch differenzierbar sein, ich könnte 
dann also die partiellen ableitungen von u(x,y) bilden und dann mit den 
cauchy-differentialgleichungen schauen obs stimmt. nur das bringt mir ja 
irgendwie nichts, wie komm ich denn auf dieses v(x,y) :/


Hoffe mir kann jemand nen Ratschlag geben

Grüsse

Du weißt, dass
dv/dy = du/dx
und
dv/dx = -du/dy
sein muss.

Jetzt bildest du du/dx und du/dy:
I) du/dx = 6x^2-12x+6x = dv/dy
II) du/dy = -6y = -dv/dx

Glg. I) integrierst du dann nach y:
I) v = 6x^2y - 12xy + 6xy + c(x)
und leitest nach x ab
I) dv/dx = 12xy - 12y + 6y + c'(x)
und setzt sie mit Glg. II) gleich.
6y = 12xy - 12y + 6y + c'(x)
c'(x) = 12y - 12xy
und bestimmst c'(x) durch integration nach x.
c(x) = 12xy - 6x^2y + c2
Das setzt du in Glg. I ein:
v = 6x^2y - 12xy + 6xy +12xy - 6x^2y + c2
v = 6xy + c2

So würde ich das versuchen. Glaube aber, dass da noch ein Fehler drin 
ist.

Sicher dass in der Funktion 2 Terme in x^2 drin sind? Die hätte man doch 
erst zusammengerechnet. Womöglich fehlt da ein Term in y , kann das 
sein?

Tatsächlich, i am sorry

hab nen y vergessen,

ists und danke Simon K. werd ich gleich mal so versuchen anzugehen

Ableitung nach x

Ableitung nach y

Wenn ich dann die werte einsetze käme im Resultat das gleiche raus,

Damit hab ich jetzt ma die Differenzierbarkeit gezeigt, ne?

Jetzt hab ich aber noch das Problem dass das so nicht in der verlangten 
Form

steht, und ich nicht ganz verstehe was du mit integration der Gleichung 
I nach y meinst

Verlangt ist doch eine f(x+iy) und keine abgeleitete Funktion, also soll 
ich da einfach noch die Stammfunktion von meinem f' machen?

Deine Ableitung stimmen irgendwie nicht.
du/dx ist 6x^2-6y^2+6x
du/dy ist -12xy - 6y

Und jetzt gehts so weiter:

Du suchst jetzt eine Funktion v(x,y), dessen
a) ableitung nach x (dv/dx) gleich 12xy+6y ist
b) ableitung nach y (dv/dy) gleich 6x^2-6y^2+6x ist

also:

I) dv/dx = 12xy + 6y
II) dv/dy = 6x^2 - 6y^2 + 6x

Und wenn man die Gleichungen lösen will, muss man integrieren.

Integriere I) nach x:
v(x,y) = 6yx^2 + 6xy + c(y)

Jetzt hat man mit c(y) ein Freiheitsgrad, mit dem man die Bedigung aus 
Glg. II) zufriedenstellen kann. Dafür musst du erst mal wieder dv/dy 
erzeugen:
dv/dy = 6x^2 + 6x + c'(y)

Und das musst jetzt gleich der Glg. II) sein.
6x^2 + 6x + c'(y) = 6x^2 - 6y^2 + 6x
c'(y) = -6y^2

Und um nun c(y) zu bekommen, musst du nach y integrieren
c(y) = -2y^3 + konstante

Das heißt v(x,y) = 6yx^2 + 6xy - 2y^3

Probe:
dv/dx = 12xy + 6y
dv/dy = 6x^2 + 6x - 6y^2

Sieht gut aus, oder nicht?

Das Endresultat schon jo und mit integrieren meinst du die stammfunktion 
finden?

aufjedenfall vielen dank für deine hilfe!

Sebastian N. schrieb:
> Das Endresultat schon jo und mit integrieren meinst du die stammfunktion
> finden?
Äh ja, genau.

> aufjedenfall vielen dank für deine hilfe!
Mich würde mal interessieren, wo so eine Aufgabe gestellt wird? ;-) Das 
könnte ich mir eher im Studium vorstellen (wir haben das vor kurzem in 
Mathe III gemacht). Aber da hat man das Wort "integrieren" zumindest 
schon mal gehört...

joa, Studium, joa hab ich eigentlich auch, aber mathe ist nicht grade 
meine paradedisziplin :/

Meine Lösung ist durch hingucken ;-)

Es ist

d.h. mit diesem Term ist 2·x³ - 6·x·y² abgedeckt.
Verbleibt 3·x² - 3·y², das offenbar geliefert wird durch

und damit

Irgendwie erinnert das an ... Polynomdivision?

Da sie grad ne ähnlich Richtung hat, kann mir hier vielleicht uch jemand
auf die Sprünge helfen :/

Zeigen Sie durch

a) Verwendung der Cauchy-Riemannschen Dierentialgleichungen ,
b) direkte Auswertung des Differenzenquotienten ,

dass die Funktion f(z) = sin(z) in jedem Punkt z aus C differenzierbar
ist.

a) Ginge so ähnlich wie oben, wenn man weiss, dass

sin(z) = 1/2i * (e^(iz) - e^-(iz)), ne? Leite ich dann nach i und z ab?
oder soll ich das z in den e-funktionen wieder in x + iy ändern und dann
wieder die partiellen ableitungen machen, und mit Ux = Vy und Uy = -Vx
auf holomorphismus überprüfen?

und bei b), wie kann ich so eine funktion denn in den
differenzenquotienten übertragen?

gähn ... und wieder die Frage: wie ist sin definiert?

Holomorphismus?

http://www.wissenschaft-online.de/abo/lexikon/psycho/6637

oder doch eher

Homomorphismus?

http://de.wikipedia.org/wiki/Homomorphismus

Wegstaben Verbuchsler schrieb:
> Holomorphismus?

Ja.

http://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe_Funktion
http://de.wikipedia.org/wiki/Konforme_Abbildung

> oder doch eher
>
> Homomorphismus?

Nö, hier nicht.