Schwieriges Randwertproblem: Würfelpotential

[Manki E. (manki)]

Wie im Bild zu sehen ist, ist das Potential innerhalb des Würfels zu 
berechnen. Das Randwertproblem sieht so aus:

$$\left\{\begin{matrix} (1)& V&=&0 & \text{wenn} &x=0 \\ (2)& V&=&0 & \text{wenn} & x=a\\ (3)& V&=&0 &\text{wenn}& y=0 \\ (4)& V&=&0 &\text{wenn}&y=a \\ (5)& V&=&0 &\text{wenn}& z=0\\ (6)& V&=&V_0 &\text{wenn}& z=a \end{matrix}\right.$$

Ich rechne das mit der Methode der Separation der Variablen und ich muss 
sagen, diese Methode hat bei mir bis jetzt schon sehr viele Wunder 
bewirkt. Jedoch bei diesem beispiel scheint da irgendetwas nicht zu 
stimmen.

Wie ihr wisst ist die allgemeine Lösung dieser Methode im 3D kartesichen 
folgende:

$$V(x,y,z)=u(x)v(y)w(z)$$

wobei das große V das gesuchte Potential im Raum ist, und die drei 
Funktionen u, v, w folgendermaßen errechnet sind:

$$\left\{\begin{matrix} u(x)&=& Ae^{\sqrt{l^2+k^2}x} + Be^{-\sqrt{l^2+k^2}x}\\ v(y)&=& C\sin(ky) + D \cos(ky)\\ w(z)&=& E\sin(lz) + F \cos(lz) \\ \end{matrix}\right.$$

Aus der Bedingung (3)(y=0 -> V=0) folgt:  D = 0.
Aus der Bedingung (4)(y=a -> V=0) folgt:

$$k=\frac{\pi n}{a}$$

Aus der bedingung (1)(x=0 -> V=0) folgt: A=-B
Aus der Bedingung (2)(x=a -> V=0) folgt (und hier kommt das erste 
Problem):

$$0=2A \sinh\left( a\sqrt{k^2+l^2} \right)$$

und daraus:

$$l=\pm jk$$

Frage: Welche Lösung nehme ich denn jetzt? AUßerdem ist sie komplex. Wie 
kann das sein??

Aus der Bedingung (5)(z=0 -> V=0) folgt: F = 0
Aus der Bedingung (6)(z=a -> V=V_0) folgt eine lange Rechnung mit 
FOuriertransformationen, jedoch nur, wenn l nicht komplex ist.

Mache ich da irgendetwas falsch? Denn komplexe Lösungen habe ich noch 
nie rausbekommen.

[Purzel H. (hacky)]

Das ist ein metallischer Wuerfel, innen hohl, die Waende auf GND, und 
der abgesetzte Deckel ist auf Spannung V0 ?

[Manki E. (manki)]

Siebzehn Zu Fuenfzehn schrieb:
> Das ist ein metallischer Wuerfel, innen hohl, die Waende auf GND, und
> der abgesetzte Deckel ist auf Spannung V0 ?

Ja

[fish (Gast)]

Die Lösung ist nicht komplex. Die beiden e Funktionen ergeben einen 
Sinus da A = -B

[Rainer V. (rudi994)]

Manki E. schrieb:
> Welche Lösung nehme ich denn jetzt? AUßerdem ist sie komplex. Wie
> kann das sein?...komplexe Lösungen habe ich noch nie rausbekommen.

Irgendwann ist es immer das erste Mal. Von komplexen Zahlen darf man 
sich nicht bluffen lassen. Wenn es unter der Wurzel heißt "k^2+l^2" und 
wenn l=+/-jk ist, dann ist doch l^2=+/-(-1)*k^2, weil j^2=-1 ist. Dann 
ist l^2=-/+k^2, somit ist entweder k^2+l^2=0 oder k^2+l^2=2*k^2. Oder?

[Manki E. (manki)]

Rainer V. schrieb:
> Irgendwann ist es immer das erste Mal. Von komplexen Zahlen darf man
> sich nicht bluffen lassen. Wenn es unter der Wurzel heißt "k^2+l^2" und
> wenn l=+/-jk ist, dann ist doch l^2=+/-(-1)*k^2, weil j^2=-1 ist. Dann
> ist l^2=-/+k^2, somit ist entweder k^2+l^2=0 oder k^2+l^2=2*k^2. Oder?

SO irgendwie blick ich da nicht mehr ganz durch. j² ist -1. Das hat mir 
erstmal gehofen. Jedoch ist dann:

$$k^2=\frac{\pi^2 n^2}{a^2}$$

und

$$l^2=-\frac{\pi^2 n^2}{a^2}$$

Jedoch fällt dann der sinh zu 0, denn k^2 + l^2 = 0. Dadurch ist aber 
das gesamte Potential V = 0 überall. Und das kann nicht sein.

[Manki E. (manki)]

Ich denke nicht, dass ihr mir noch helfen könnt, deshalb werde ich mich 
ans Matheforum wenden. Denn es ist ja auch schließlich mehr eine 
Matheaufgabe..

Ich werde meine Lösung dann auch hier posten wenn ich es geschafft habe.

Danke nochmal für alles!

[Rainer V. (rudi994)]

Diese Mathematik ist nicht meine Welt. Deshalb vermutl. oben ein Fehler 
mit dem Vorzeichen (+/-). Beim Quadrieren sollte es immer zu +1 werden, 
sodaß es wg. j^2=-1 heißt: k^2=-l^2. Dann stimmt es so (s.o.). Daß das 
gesuchte Potential zu Null wird, war so wohl nicht gedacht.

Folg. habe ich eben gefunden, nicht unbedingt das Thema hier, aber vllt. 
bringt es eine Idee: Scriptsammlung (PDF, knapp 3MB), Elektromagnet. 
Felder, Elektrodynamik/-statik -> I.Elektrostatik, 3.Randwertprobleme,
3.4 Trennung der Variablen, hier allerdings für einen unendlich langen 
Quader. Auffällig: Formel (3.53)
https://itp.tugraz.at/~arrigoni/vorlesungen/elektrodynamik/scripts-elektro/actual/allscript.pdf

[fish (Gast)]

Tut mir leid für die etwas kurze Antwort gestern, ich war besoffen.

Prinzipiell war das was du gerechnet hast nicht falsch, du hast aber 
etwas vergessen: der sinh(a*sqrt(k^2 + l^2)) hat nicht nur bei 0 eine 
Nullstelle, das Argument des sinh() kann auch komplex sein (es gilt 
sinh(x+i*y) = cos(y)*sinh(x) + i*sin(y)*cosh(x) )

Das Argument im sinh() kann also komplex sein und (da a reell ist) ist 
die Wurzel komplex.

Ich würde die Rechnung gundsätzlich anders angehen: Verwende für den 
Seperationsansatz u(x) = A*cos(l*x) + B*sin(l*x) und für v(y) = 
C*cos(k*y) + D*sin(k*y). w(z) wird damit zu E*exp(g*z) + F*exp(-g*z) und 
g = sqrt(l^2 + k^2)
Versuche zuerst die homogenen Randbedingungen zu erfüllen (also die für 
x und y), somit ergeben sich A=C=0 und l = n*pi/a und k = m*pi/a mit n,m 
als ganze Zahlen.

Die dritten Randbedinungen ergeben nun E = -F, und es bleibt V(x,y,a) = 
V0

Da die Laplacegleichug homogen ist kannst du nun die gesamten Lösungen 
aufsummieren und musst die Funktion auf dem Rand noch in eine 
2D-Fourierreihe entwickeln (also in x und y). Dann kannst du einen 
Koeffizientenvergleich machen und krigst somit die Werte für E, die 
natürlich von m und n (über die summiert wird) abhängen.

[Manki E. (manki)]

Rainer V. schrieb:
> Folg. habe ich eben gefunden, nicht unbedingt das Thema hier, aber vllt.
> bringt es eine Idee: Scriptsammlung (PDF, knapp 3MB), Elektromagnet.
> Felder, Elektrodynamik/-statik -> I.Elektrostatik, 3.Randwertprobleme,
> 3.4 Trennung der Variablen, hier allerdings für einen unendlich langen
> Quader. Auffällig: Formel (3.53)
> 
https://itp.tugraz.at/~arrigoni/vorlesungen/elektrodynamik/scripts-elektro/actual/allscript.pdf

Das habe ich schon mal gerechnet. Dort funktioniert allerdings der 
allgemeine Ansatz. Man kann aber den Allgemeinen Ansatz etwas umändern, 
indem man eben einige konstanten als negativ annimmt, denn dann werden 
zwei allgemeine Lösungen in sin und cosinus ausgedrückt und nur eine in 
sinh.
Das hat schlussendlich mein Problem beseitigt. Mann muss sich da also 
immer zuallererst genau überlegen welche Randbedingungen man hat und wie 
diese die allgemeinen Lösungen beeinflussen.

Jetzt habe ich die Aufgabe auch gelöst.

Add:

fish schrieb:
> Prinzipiell war das was du gerechnet hast nicht falsch, du hast aber
> etwas vergessen: der sinh(a*sqrt(k^2 + l^2)) hat nicht nur bei 0 eine
> Nullstelle, das Argument des sinh() kann auch komplex sein (es gilt
> sinh(x+i*y) = cos(y)*sinh(x) + i*sin(y)*cosh(x) )
>
> Das Argument im sinh() kann also komplex sein und (da a reell ist) ist
> die Wurzel komplex.
>
> Ich würde die Rechnung gundsätzlich anders angehen: Verwende für den
> Seperationsansatz u(x) = A*cos(l*x) + B*sin(l*x) und für v(y) =
> C*cos(k*y) + D*sin(k*y). w(z) wird damit zu E*exp(g*z) + F*exp(-g*z) und
> g = sqrt(l^2 + k^2)
> Versuche zuerst die homogenen Randbedingungen zu erfüllen (also die für
> x und y), somit ergeben sich A=C=0 und l = n*pi/a und k = m*pi/a mit n,m
> als ganze Zahlen.
>
> Die dritten Randbedinungen ergeben nun E = -F, und es bleibt V(x,y,a) =
> V0
>
> Da die Laplacegleichug homogen ist kannst du nun die gesamten Lösungen
> aufsummieren und musst die Funktion auf dem Rand noch in eine
> 2D-Fourierreihe entwickeln (also in x und y). Dann kannst du einen
> Koeffizientenvergleich machen und krigst somit die Werte für E, die
> natürlich von m und n (über die summiert wird) abhängen.

Ist schon alles passiert. Danke für den Tipp mit sinh!! Weißt du auch 
zufällig wie diese Identität heißt?

[fish (Gast)]

Kein Plan wie die Identität heisst man kann sie ganz einfach zeigen wenn 
man x+i*y in den sinh einsetzt und diesen als 2 exp() Terme schreibt. 
Suche auf Wikipedia sinh, es gibt den Unterpunkt komplexe Argumente.

[Manki E. (manki)]

fish schrieb:
> Kein Plan wie die Identität heisst man kann sie ganz einfach zeigen wenn
> man x+i*y in den sinh einsetzt und diesen als 2 exp() Terme schreibt.

Ach ja stimmt... Euleridentität halt..

[Dirk J. (dirk-cebu)]

> Weißt du auch zufällig wie diese Identität heißt?
Bourne Identität?