Kleines Rätsel: LGS mit ganzen Zahlen lösen?

[Johannes K. (softeisbieger)]

Moin,

folgendes Rätsel:
Man möchte für 100€ genau 100 Tiere kaufen. Zur Auswahl:
- Tier A für 0.5€
- Tier B für 3€
- Tier C für 10€

Wie löst man das? Man kann zwei Gleichungen aufstellen:
a + b + c = 100
a*.5 + b*3 + c*10 = 100

Unterbestimmt -> weitere "Gleichung": a,b,c müssen ganze Zahlen seien, 
>=0.
Kann man das irgendwie mathematisch lösen?

Methode des scharfen Hinsehens: 80*a und 20*b, 0*c. Gibts auch eine 
Kombination bei dem von jedem Tier mindestens ein Exemplar gekauft wird?

Wie löse ich Gleichungssystem bei denen die Koeffizienten ganze Zahlen 
seien sollen?! Muss doch gehen...

Gruß,
 Johannes

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Solange die Gleichung wie hier linear ist, ist die Lösung einfach:

  http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_diophantische_Gleichung

Edit:

In dem konkreten Beispiel, wo die Zahlenwerte relativ klein sind, geht
es natürlich noch einfacher:

Man eliminiert a und erhält

  5·b + 19·c = 100

c kann nicht größer als 5 werden, da sonst b negativ würde. Außerdem
muss c durch 5 teilbar sein, da es 5·b und 100 ebenfalls sind. Also
bleiben nur 0 und 5 als Lösungen für c übrig.

[Matthias H. (hallamen)]

Ein etwas anderer Zugang:

Die beiden Gleichungen beschreiben je eine Ebene im 3d-Raum. Schneide 
diese Ebenen und finde eine Parameterdarstellung der gesuchten Geraden. 
Das ergibt

P = (80,20,0) + t*(-24,-19,5)

Nun sucht man alle Punkte mit positiven, ganzen Zahlen als Koordinaten.

Dieser Zugang sollte sich auch Algorithmisch lösen können.

[Paul B. (paul_baumann)]

Johannes schrub:
>Man möchte für 100€ genau 100 Tiere kaufen. Zur Auswahl:
>- Tier A für 0.5€
>- Tier B für 3€
>- Tier C für 10€

In Anbetracht des bevorstehenden Mittagessens weise ich darauf hin, daß
es auch halbe Tiere gibt, z.B. halbe Hähnchen.

Das macht die Rechnung eventuell einfacher....

;-)

MfG Paul

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

@Paul:

Wo du recht hast, hast du recht.

Wenn man davon ausgeht, dass ein halbes Tier auch nur den halben Preis
kostet, ergibt sich damit eine dritte Lösung, nämlich

  87 Ameisen, 10½ Brathähnchen und 2½ Chimären   (100 Tiere)

    43,50 €        31,50 €           25,00 €     (100 €)

Die Chance, durch Zufall auf eine richtige Lösung zu tappen, erhöht sich
dadurch.

Wünsche noch einen guten Appetit gehabt zu haben :)

[Ralf G. (ralg)]

Paul Baumann schrieb:
> In Anbetracht des bevorstehenden Mittagessens
> ...

Yalu X. schrieb:
> 87 Ameisen, 10½ Brathähnchen und 2½ Chimären

Was ist denn das für ein Menü? ;)

[Rainer V. (rudi994)]

Paul Baumann schrieb:
> es auch halbe Tiere gibt, z.B. halbe Hähnchen.

Nicht überall! Wer bei uns in der Kneipe Halven Hahn bestellt, der 
bekommt ein Röggelchen (Roggenbrötchen) mit mittelaltem Gouda, 
Zwiebelringen und Senf. Letzerer ist so scharf, daß er normalerweise nur 
an Raubkatzen verfüttert wird, z.B. an die Löwen im Düsseldorfer Zoo.

[Paul B. (paul_baumann)]

Yalu rechnete:
>87 Ameisen, 10½ Brathähnchen und 2½ Chimären   (100 Tiere)

>    43,50 €        31,50 €           25,00 €     (100 €)

Genau so habe ich mir das gedacht.

>Wünsche noch einen guten Appetit gehabt zu haben :)

Hatte ich, danke der Nachfrage!
;-)

Rainer schrub:
>Nicht überall! Wer bei uns in der Kneipe Halven Hahn bestellt, der
>bekommt ein Röggelchen (Roggenbrötchen) mit mittelaltem Gouda,
>Zwiebelringen und Senf.

Das ist mir in Köln unter Gelächter meiner Arbeitskollegen passiert.

Spitzbuben!
;-)
Wie war das Sprichwort?
-Wer den Schaden hat, spottet jeder Beschreibung.

MfG Paul

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Ralf G. schrieb:
> Yalu X. schrieb:
>> 87 Ameisen, 10½ Brathähnchen und 2½ Chimären
>
> Was ist denn das für ein Menü? ;)

Ich habe mich gefragt, wofür die Abkürzungen A, B und C wohl stehen.

Die Idee mit dem (Brat-)Hähnchen hatte Paul ja schon.

Da man für 50 Cent kein Angus-Rind bekommt, kann das A nur eine gut
zubereitete Ameise sein.

Bei C dachte ich erst an einen Chow-Chow, der in China eine Delikatesse
sein soll. Da aber Hunde in Deutschland nicht zum Verzehr angeboten
werden dürfen, werde ich mich hüten, dies hier im Forum zu tun. Bei den
Chimären sagt aber keiner was, die kannst du essen, bis dir der Bauch
platzt :)

[Ralf G. (ralg)]

Yalu X. schrieb:
> Da man für 50 Cent kein Angus-Rind bekommt, kann das A nur eine gut
> zubereitete Ameise sein.

Jaaa, natürlich! Getrüffelte Ameisen. Jetzt fällt's mir wieder ein :)

[Rainer V. (rudi994)]

Zu 50ct gibt es Ansichtskarten von Rinderherden in der Pampa, für ein 
paar Euro darf man mal zusehen, wie sich Steaks auf dem Grill räkeln. Im 
TV kommt gerade die Sendung mit den Determinanten. Also bis später.