Digitalfilter

[macnesium (Gast)]

Hallo zusammen,

ich bin grade dabei einen Digitalfilter zu entwerfen den ich für eine 
Entkopplung einer Regelstrecke benötige. Im Laplacebereich sieht diese 
Funktion noch recht einfach aus, nur habe ich Probleme diese zu 
diskretisieren.

Im Laplacebereich sieht meine Funktion so aus:

$$F(s) = s \frac{(s\cdot a1+a0)}{(s\cdot b1+b0)}$$

wenn ich das in den Zeitbereich transformiere tauchen natürlich 
Dirac-distributionen auf und man erhält eine Funktion der Form:

$$f(t) = c1\cdot\delta(t)'+c2\cdot\delta(t)+c3\cdot e^{-c4\cdot t}$$

Für die z-Transformation muss nun ja ein Integral der folgenden Form 
gelöst werden:

$$F(z=e^{Ts}) = \sum_{n=0}^{\infty}\int_{t=0}^{\infty} f(t)\cdot e^{-s\cdot t}\delta(t-nT)dt$$

... und genau hier liegt mein Problem. Der Erste Term sieht so aus:

$$F_1(z=e^{Ts}) = \sum_{n=0}^{\infty}\int_{t=0}^{\infty} c1\cdot\delta(t)'\cdot e^{-s\cdot t}\delta(t-nT)dt$$

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man damit umgeht?
Sollte ich vielleicht einen anderen Ansatz wählen?
Direktes "transformieren" über Nährungsgleichungen z.B.

$$s \rightarrow \frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}$$

hat keine zufriedenstellenden Ergebnisse geliefert.

MFG

[A. S. (rava)]

ich kenne den Ansatz für die genaue Transformation, den du da verwendest 
jetzt nicht.

Aber dein Regelglied hat einen s-Anteil und ist damit differenzierend. 
Das lässt sich nicht realisieren (Kausalität) und muss deswegen 
angenähert werden.

Wenn dir das lieber ist, kannst du die Näherung schon im s-Bereich 
durchführen.

[macnesium (Gast)]

Hallo,

danke für deine Antwort. Genau darum geht es, die Regelung muss 
prädiktiv sein. Ich habe erhoffe mir über diese Transformation den 
Zugang auf eine entsprechende Reglerrealisierung. Wenn ich "ideal" in 
die Zukunft gucke muss ich das angesprochene Integral lösen. Ich habe 
die Vermutung, dass bei der Lösung dieses Integrals irgendwelche 
unendlichen Summen entstehen die man dann geeignet abbrechen kann/muss.

Was meinst du mit "Näherung schon im s-Bereich durchführen"? Das 
einfügen einer Zeitkonstante?

$$s \sim \frac{s}{Ts+1}$$

[A. S. (rava)]

was dir vielleicht noch weiterhelfen könnte:

z = exp(Ts)
also s = ln(z) / T

das kann man einfach einsetzen.
Da man ein lineares System haben möchte, nähert man das Ganze dann über 
Taylor an und erhält (je nachdem, wo abgeschnitten wird), dasselbe 
Ergebnis wie bei der bilinearen Transformation.
Taylor bietet dir auch die Option auf eine unendliche Summe, wenn du 
wirklich eine haben möchtest ^^

Je mehr Terme man mitnimmt, desto genauer aber auch instabiler wird das 
Ganze.

Mach es doch einfach zur Übung nur für ein D-Glied :)

Und dann prüfe, wie lange die Simulation sinnvolle Ergebnisse liefert 
und welchen Einfluss T hat.




Es gibt aber auch andere Ansätze als Taylor, diese Approximation 
durchzuführen. Ich habe z.B. schonmal was von Impulsinvarianzmethoden 
gehört. Darüber gibt's aber ganze Bücher.
Dass das Ganze mit einem komplexeren nichtkausalen System jetzt nicht 
perfekt funktioniert ist schon im Rahmen des Möglichen. Ein Mathematiker 
könnte da sicherlich Konvergenz- und Stabilitätsanalysen durchführen. 
Ich hab das aber nicht auf dem Schirm!



macnesium schrieb:
> Was meinst du mit "Näherung schon im s-Bereich durchführen"? Das
> einfügen einer Zeitkonstante?

Das wäre jetzt mein Vorgehen. Ist aber natürlich abhängig davon, was für 
ein Problem du genau hast ;)

[macnesium (Gast)]

Danke für die Hinweise, hat mir weitergeholfen.
Über eine Taylor bekommt man recht unhandliche Terme aber für zwei 
Zeitschritte sind die Ergebnisse annehmbar. Verbunden mit einer 
Vorsteuerung siehts jetzt ganz ordentlich aus =)

MFG

[sdfsdf (Gast)]

Kannst du sagen wieso dir die Bilineare Transformation nicht hilft? Die 
Tuskin-Formel scheint dir ja bekannt zu sein: s=(2/T)*(z-1)/(z+1). Damit 
kannst du direkt zwischen Laplacebereich und Z-Bereich transformieren 
ohne die Übertrahungsfunktion im Laplacebereich in den zeitbereich zu 
überführen.

[macnesium (Gast)]

Hallo,

die Bilineare Transformation ist lediglich eine Nährung an die 
Z-Transformation. Offensichtlich ist sie bei meinen schaltfrequenzen 
nicht exakt genug. Ich habe die Sache auch auf sich beruhen lassen und 
arbeite jetzt mit einer Prädiktion.

[FH-Student (Gast)]

macnesium schrieb:
> die Bilineare Transformation ist lediglich eine Nährung

Das höre ich heute zum ersten mal O.O

[chris_ (Gast)]

>Das höre ich heute zum ersten mal O.O
Macht nix, als Student hört man vieles zum ersten Mal.

Die billineare Transformation selbst ist umkehrbar. Für den realen 
Anwendungsfall aber nicht ( Stichwort Frequenzverzerrung ):

"Durch den Umstand, dass der kontinuierliche Frequenzbereich -∞ ≤ Ω ≤ ∞ 
der s-Ebene auf den Winkel -π ≤ ω ≤ π am Einheitskreis der z-Ebene 
abgebildet wird, muss die Transformation von der zeitkontinuierlichen 
zur zeitdiskreten Frequenzvariablen nichtlinear sein"

aus

http://de.wikipedia.org/wiki/Bilineare_Transformation_%28Signalverarbeitung%29

[FH-Student (Gast)]

chris_ schrieb:
>>Das höre ich heute zum ersten mal O.O
> Macht nix, als Student hört man vieles zum ersten Mal.
>
> Die billineare Transformation selbst ist umkehrbar. Für den realen
> Anwendungsfall aber nicht ( Stichwort Frequenzverzerrung ):
>
> "Durch den Umstand, dass der kontinuierliche Frequenzbereich -∞ ≤ Ω ≤ ∞
> der s-Ebene auf den Winkel -π ≤ ω ≤ π am Einheitskreis der z-Ebene
> abgebildet wird, muss die Transformation von der zeitkontinuierlichen
> zur zeitdiskreten Frequenzvariablen nichtlinear sein"
>
> aus
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Bilineare_Transformat...

Richtig, aber trotzdem handelt es sich bei der Bilinearen Transformation 
selber nicht um eine Näherung, sondern um eine umkehrbare, konforme 
Abbildung.

[derguteweka (Gast)]

FH-Student schrieb:
> Richtig, aber trotzdem handelt es sich bei der Bilinearen Transformation
> selber nicht um eine Näherung, sondern um eine umkehrbare, konforme
> Abbildung.

Warum sollte es sich speziell bei dieser Bilinearen Transformation, die 
zweifellos eine umkehrbare, konforme Abbildung ist, nicht auch um eine 
Naehrung handeln koennen?

"In der Signalverarbeitung und Regelungstechnik besteht mittels 
bilinearer Transformation die Möglichkeit, zeitkontinuierliche 
Übertragungsfunktionen G(s) von linearen, zeitinvarianten Systemen in 
zeitdiskrete Übertragungsfunktionen H[z] mit _ähnlichen_ Verhalten 
umzuwandeln."
(Wikipedia)

Aehnliches Verhalten sehe ich als Naehrung fuer "das selbe Verhalten".

Gruss
WK