Differentialgleichung lösen mit Potenzreihe

[Tobias P. (hubertus)]

Hallo allerseits

Gewisse Differentialgleichungen wie z.B. die Bessel-DGL und ähnliche 
kann man ja nicht wirklich exakt lösen. Stattdessen gibt es ja z.B. 
dieses

http://en.wikipedia.org/wiki/Power_series_solution_of_differential_equations

Verfahren, um eine Potenzreihe für die Lösung zu erhalten. Ich versuch 
auch grade, eine DGL mit einer solchen Potenzreihe zu lösen. Dazu 
tauchen aber bei mir jetzt 2 Fragen auf.

In diesem Dokument

http://www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/Tech.Bio/dglngesamt.pdf

wird gesagt, dass die Potenzreihe die 'gesamte Lösung der DGL ist', ich 
fasse das so auf, dass die Potenzreihe, wenn man ausreichend viele 
Glieder berücksichtigt, überall gegen die 'richtige' Lösung der DGL 
konvergiert. Stimmt das? Ich habe es in Matlab versucht nachzuvollziehen 
und habe von einer Potenzreihe so viele Glieder berücksichtigt, bis das 
letzte Glied < eps war. Die Reihe ist zwar sehr genau gegen die exakte 
Lösung konvergiert, aber nur im Intervall von ca. -2 bis +2. Darüber 
wird die Abweichung rasch >20%. Und das, obwohl ich 500 Glieder der 
Potenzreihe berücksichtigt habe, und das letzte Glied (für x^500) war < 
eps. Ich denke, die Taylor- und Maclaurin-Reihen haben ja oft auch nur 
einen beschränkten Konvergenzradius, dann ist das hier bestimmt auch so 
oder?


2. Frage. Mit dem Ansatz

$$y = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n\,x^n$$

bekomme ich ja eine Lösung, die um den Nullpunkt bei x=0 die Lösung der 
Differentialgleichung approximiert. Wenn ich aber nun eine Lösung um den 
Punkt x = 7 möchte? dann muss ich sicherlich den Ansatz

$$y = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n\,\left(x - x_0\right)^n$$

wählen, aber was ist, wenn in der Differentialgleichung selbst noch ein 
x vorkommt? Wenn ich beispielsweise die Hermite-DGL

$$y'' - 2\,x\,y' + 2\,y = 0$$

lösen will, dann setze ich ja für die y meinen Ansatz ein (also die 
unendliche Summe). Aber was passiert mit dem einen x in

$$- 2\,x\,y'$$

 ? muss da auch x - x0 eingesetzt werden, oder lasse ich das als x und 
setze einfach x0 ein?


Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.


Gruss Tobias

[Johann L. (gjlayde)]

Tobias Plüss schrieb:
> Hallo allerseits
>
> Gewisse Differentialgleichungen wie z.B. die Bessel-DGL und ähnliche
> kann man ja nicht wirklich exakt lösen. Stattdessen gibt es ja z.B.
> dieses
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Power_series_solution_of_differential_equations
>
> Verfahren, um eine Potenzreihe für die Lösung zu erhalten. Ich versuch
> auch grade, eine DGL mit einer solchen Potenzreihe zu lösen. Dazu
> tauchen aber bei mir jetzt 2 Fragen auf.
>
> In diesem Dokument
>
> http://www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/Tech.Bio/dglngesamt.pdf
>
> wird gesagt, dass die Potenzreihe die 'gesamte Lösung der DGL ist', ich
> fasse das so auf, dass die Potenzreihe, wenn man ausreichend viele
> Glieder berücksichtigt, überall gegen die 'richtige' Lösung der DGL
> konvergiert. Stimmt das?

Das kann logischerweise nur innerhalb des Konvergenzradius' gelten, 
evtl. auch für Punkte auf dem Rand des Konvergenzkreises.

> Ich habe es in Matlab versucht nachzuvollziehen und habe von einer
> Potenzreihe so viele Glieder berücksichtigt, bis das letzte
> Glied < eps war. Die Reihe ist zwar sehr genau gegen die exakte
> Lösung konvergiert, aber nur im Intervall von ca. -2 bis +2.
> Darüber wird die Abweichung rasch >20%. Und das, obwohl
> ich 500 Glieder der Potenzreihe berücksichtigt habe,
> und das letzte Glied (für x^500) war < eps.

Üblerleg erst mal, wie vernünftig sowas ist, bevor du das in irgend 'ne 
Software reinklöppelst und auf "Los" klickst ;-)

Stell die vor, du willst exp(-100) berechnen gemäß

$$e^{-100} = \sum_{n \geqslant 0} (-1)^n\frac{100^n}{n!}$$

Obwohl man weiß, dass das Ergebnis nah bei 0 ist, hat das 100. 
Reihenglied noch eine Größe von 43 Dezimalstellen!  Auch wenn die 
Glieder irgendwann beliebig klein werden, bekommt man arge Probleme mit 
Auslöschung es sei denn, man rechnet mit einer etwas größeren 
Genauigkeit als üblich.

Und auch wenn die Glieder nicht exorbitant groß werden, kann es Probleme 
mit Auslöschung geben.  Versuch einfach mal mit der Leibnitzreihe

$$\pi = 4\sum \frac{(-1)^n}{2n+1}$$

pi bis auf die ersten 10 Nachkommastellen auszurechnen!

> Ich denke, die Taylor- und Maclaurin-Reihen haben ja oft auch nur
> einen beschränkten Konvergenzradius, dann ist das hier bestimmt auch so
> oder?

Kommt auf die Potenzreihe an.

Zunächst liefert die DGL nur ein Verfahren, wie man die Koeffizienten 
einer formalen Potenzreihe (rekursiv) bestimmen kann.

Einen Wert darin einzusetzen ist nur dann sinnvoll, wenn die Potenzreihe 
auch konvergiert, d.h. der Wert muss im Konvergenzkreis liegen.  Für 
eine Berechnung kommen dann noch praktische Erwägungen hinzu wie oben 
ausgeführt.

> 2. Frage. Mit dem Ansatz
>

$$y = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n\,x^n$$

> bekomme ich ja eine Lösung, die um den Nullpunkt bei x=0 die Lösung
> der Differentialgleichung approximiert. Wenn ich aber nun eine
> Lösung um den Punkt x = 7 möchte? dann muss ich sicherlich den
> Ansatz
>

$$y = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n\,\left(x - x_0\right)^n$$

> wählen, aber was ist, wenn in der Differentialgleichung selbst
> noch ein x vorkommt?

Na dann wird die Potenzreihe mit x multipliziert.  Die Koeffizienten 
verschieben sich also um 1.  Soweit also keine Rocket Science 
erforderlich ;-)

Der Ansatz ist nur für y, nicht für x.  Dementsprechend wird die 
Reihe auch nur für y eingesetzt, nicht für x.

Man kann es auch so beschreiben, dass man die ganze Potenzreihe zu einer 
anderen transformiert, d.h.

$$\begin{align} x &\to f(x) = x-x_0 \\ y(x) &\to y(f(x)) = y (x - x_0)\\ y'(x) & \to \mathrm{d}y(f(x))/\mathrm{d}f(x) = y'(x-x_0)\\ &\vdots \end{align}$$

und diese dann um 0 entwickelt.

> Wenn ich beispielsweise die Hermite-DGL
>

$$y'' - 2\,x\,y' + 2\,y = 0$$

> lösen will,

Dann verschiebst du doch nur x

$$y'' - 2\,(x+x_0)\,y' + 2\,y = 0$$

Wenn f eine Lösung für diese DGL ist, dann löst f(x-x_0) die origonale 
DGL.