Raumfahrt, Trajektorien, Benötige Erklärungsversuche für eine Formel

[Leo B. (luigi)]

Hallo zusammen,

ich habe leider nächste Woche eine Klausur im Fach Raumfahrt und 
verzweifle seit Stunden an der Trajektorienplanung.
Dabei soll irgendwie die Geschwindigkeit des Raumschiffs (space craft: 
S/C) auf die Geschwindigkeit in Bezug auf einen Zentralkörper (central 
body: Cb) umgerechnet werden.
Mein Ansatz wäre ja eine "simple" Vector-Addition bzw. -Subtraktion aber 
hier wird eine Formel verwendet, die in meinen Augen dem Satz des 
Pythagoras (a²+b²=c²) ähnelt aber dank fehlendem 90° Winkel kann das ja 
nicht stimmen.
Ich habe auch schon überlegt ob da in irgend einer Weise die Energie 
drin steckt, also mit [E = 1/2 m c²] aber das gibt auch keinen Sinn.
Einzig die Vis-Viva-Gleichung steck zweifellos in dem [ Gm/r ].

Die Formel welche mich verzweifeln lässt ist die rot eingerahmte in der 
Abbildung im Anhang. Leider habe ich auch keine weiteren Unterlagen 
dazu, da das ganze in der Vorlesung so klar war, das keine Notizen mehr 
gemacht wurden...

Was mich richtig kirre werden lässt ist, dass v_unendlich ja üblicher 
Weise die Fluchtgeschwindigkeit ist. Hier gibt das aber für meine Logik 
überhaupt keinen Sinn.

Jetzt hoffe ich, dass sich hier im Forum jemand findet, der eine Idee 
oder vielleicht sogar Ahnung hat und mit das erklären kann.

Vielen Dank

[Purzel H. (hacky)]

Es sei eine stabile Umlaufbahn, deren Orbitgeschwindigkeit ist so, dass 
sich Schwerkraft und Zentrifugalkraft aufheben. Wenn man weiter raus 
will muss man beschleunigen. Wenn man nun weiter draussen um einem 
Planten orbiten will, muss man schauen, auf der richtigen Hoehe 
reinzukommen. Essentiell ist es von hinten (aussen) zu kommen, das 
heisst bezueglich der Umlaufbahn der Planeten um die Sonne. Denn dann 
wird von der eigenen Geschwindigkeit die Vorwaertsgeschwindigkeit des 
Planeten abgezaehlt. Ist somit in einem vernueftigen Rahmen.

[Karl H. (kbuchegg)]

Leo B. schrieb:

> Ich habe auch schon überlegt ob da in irgend einer Weise die Energie
> drin steckt, also mit [E = 1/2 m c²]


Lass Einstein da raus.
DIese Gleichung ist bei solchen Sachen völlig uninteressant.

Wenn irgendwo Energie vorkommt (und das tut es in deinem JPG), dann ist 
das entweder die potentielle Energie Epot = m*g*h oder die kinetische 
Energie Ekin = (m*v^2)/2


in deinen Formeln kommt v^2/2 vor. Da wird sich wohl die Sondenmasse 
irgendwo weggekürzt haben.


klassische Mechanik! relativistisch brauchst du da nichts rechnen.

[Karl H. (kbuchegg)]

Und ja. Das ist ein Energievergleich.
Aus heliozentrischer Sicht, hat die Sonde die Gesamtenergie Ekin_sonne + 
Epot_sonne. Aus Sicht des Planeten hat es nur noch die Gesamteneergie 
Ekin_planet (weil die Epot des Planeten vernachlässigt wird, wie im 
Beibackzettel steht).

Die Energie kann aber nicht einfach verschwinden. Aus beiden Sichtweisen 
heliozentrisch und planetenzentrisch muss die Sonde die gleiche Energie 
haben. Daher wird

  E_kin_sonne + E_pot_sonne = E_kin_planet

gleich gesetzt und nach dem interessierenden v in E_kin_planet gelöst.

[Gerrit M. (slicer)]

Die Formel ist an sich ganz einfach. Dein v_unendlich ist die 
Relativgeschwindigkeit. Das mit der Energie hast du richtig erkannt, 
hier gilt die Energieerhaltung.

Die gesamte kinetische Energie minus der durch Bewegung der beiden 
Körper verursachten (der zweite Teil der Gleichung ist das 
Gravitationsgesetz) ergibt die relative kinetische Energie des 
Raumschiffs bezogen auf den Himmelskörper.

Edit: Karl Heinz war schneller...

[Karl H. (kbuchegg)]

Gerrit M. schrieb:

> Edit: Karl Heinz war schneller...

Mir fällt grad auf: Das - da drinnen macht mir noch Sorgen.
Das ist, denke ich, argumentativ noch nicht sauber begründet.

Müsste sich allerdings ergeben, wenn man die Formel dann tatsächlich aus 
der Energieerhaltung herleitet.

@Leo Der Satz von der Erhaltung der Energie ist DER heilige Gral in der 
klassischen Mechanik. Dem wirst du noch oft begegnen. Der Trick besteht 
nur oft darin, dann auch wirklich alle kinetischen bzw. potentiellen 
Energien (bzw. was sonst noch relevant ist) zu finden und zu 
berücksichtigen bzw. korrekt auf das jeweilige Bezugssystem einzusetzen.


Ab. jetzt hab ich das -
Wenn ich auf der Autobahn neben jemandem mit gleicher Geschwindigkeit 
herfahre, dann hat er aus meiner Sicht (wegen Relativgeschwindigkeit 
gleich 0) scheinbar keine kinetische Energie. Die hat er natürlich 
schon, weil ich mich ja auch bewege (in Bezug auf den Boden). D.h. wenn 
ich aus meiner Sicht seine Ekin von 0 auf die Ekin in Bezug auf den 
Boden wissen will, dann muss ich meine Ekin addieren. Bzw. umgekehrt, 
wenn ich seine Ekin in Bezug auf den Boden kenne, dann subtrahiere ich 
meine eigene Ekin um seine Ekin in Bezug auf mich zu erhalten.

Und genau darum gehts ja: um den Wechsel im Bezugssystem und wie sich 
der auf die Zahlen auswirkt. Nur das hier natürlich "alle" Energien 
berücksichtigt werden.

[Leo B. (luigi)]

Danke euch, aber ich glaube das geht nicht auf:

$$X_{...,S} \text{Bezugsystem Sonne}$$

$$X_{...,P} \text{Bezugsystem Planet}$$

$$X_{sc} \text{Raumschiff}$$

-------------------

$$E_{kin,S} = \frac{m_{sc} \cdot v_{sc,S}^2}{2}$$

$$E_{pot,S} = \frac{m_{sc} \cdot G \cdot m_S}{r_{sc,S}^2}$$

$$E_{kin,P} = \frac{m_{sc} \cdot v_{sc,P}^2}{2}$$

-------------------

$$E_{kin,S} + E_{pot,S} = E_{kin,P}$$

$$\frac{m_{sc} \cdot v_{sc,S}^2}{2} + \frac{m_{sc} \cdot G \cdot m_S}{r_{sc,S}^2} = \frac{m_{sc} \cdot v_{sc,P}^2}{2}$$

$$\frac{v_{sc,S}^2}{2} + \frac{G \cdot m_S}{r_{sc,S}^2} = \frac{v_{sc,P}^2}{2}$$

Der Fehler ist:

$$r_{sc,S}^2$$

Also das Quadrat macht Ärger...

Halt Stop! Falsche Formel!

$$F = \frac{m_{sc} \cdot G \cdot m_S}{r_{sc,S}^2}$$

Korrigiert:

$$E_{kin,S} = \frac{m_{sc} \cdot v_{sc,S}^2}{2}$$

$$E_{pot,S} = \frac{m_{sc} \cdot G \cdot m_S}{r_{sc,S}}$$

$$E_{kin,P} = \frac{m_{sc} \cdot v_{sc,P}^2}{2}$$

-------------------

$$E_{kin,S} + E_{pot,S} = E_{kin,P}$$

$$\frac{m_{sc} \cdot v_{sc,S}^2}{2} + \frac{m_{sc} \cdot G \cdot m_S}{r_{sc,S}} = \frac{m_{sc} \cdot v_{sc,P}^2}{2}$$

$$\frac{v_{sc,S}^2}{2} + \frac{G \cdot m_S}{r_{sc,S}} = \frac{v_{sc,P}^2}{2}$$

Jetzt gehts auf. Vielen lieben Dank!