Mathematische Frage: Termumformung

[Tobias P. (hubertus)]

Hallo,

ich habe gerade ein Problem mit einer komplexen Exponentialfunktion. 
Mein Term lautet:

$$\exp\left( i \cdot \arctan x \right)$$

den möchte ich umformen, möglichst so, dass ich die Exponentialfunktion 
oder wenigstens den Arkustangens weg bekomme. Spasseshalber habe ich mal 
in Wolfram Alpha geguckt; interessanterweise liefert dieses:

"Alternate Form:

$$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} - i\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

 "

ich frage mich nun, wie man darauf kommt. Kann einer Tipps geben?

[Hannes J. (Firma: _⌨_) (pnuebergang)]

Der Ansatz dürfte die Eulerische Formel sein 
http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel bzw. man kann den 
Arkustangens durch den komplexen Logarithmus ausdrücken.

[Johann L. (gjlayde)]

Tobias Plüss schrieb:

$$> \exp\left( i \cdot \arctan x \right)$$

Es ist

$$i \, \arctan x = \operatorname{artanh}\,(ix)$$

sowie

$$\operatorname{artanh}\,(z) = \frac12\ln\left(\frac{1+z}{1-z}\right)$$

Einsetzen:

$$\exp\left( i \, \arctan x \right) = \sqrt{\frac{1+z}{1-z}}$$

dann Erweitern mit 1+z und beachten daß z = ix.

Alternativ
 

$$e^x = \sinh x + \cosh x$$

also

$$\exp\left( i \cdot \arctan x \right) = \sinh(\operatorname{artanh}\,(ix)) + \cosh(\operatorname{artanh}\,(ix))$$

und Verwenden von

$$\sinh(\operatorname{artanh}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

und ähnlichem Zusammenhang für cosh(artanh).

Alternative II
 
exp (ix) in cos und i·sin zerlegen und verwende entsprechende 
Zusammenhänge für sin(arctan) und cos(arctan).

[Tobias P. (hubertus)]

Hallo hallo

sorry, habe irgendwie die Email-Benachrichtigung nicht bekommen und 
nicht gesehen, dass ihr geantwortet habt. Tatsächlich habe ich jetzt, 
dank deinen Tips Johann, das nachvollziehen können. Dankeschön. Die 
Eulersche Formel war mir schon bekannt, habe aber nicht grade gesehen, 
wie das mit dem Einsetzen klappen soll, aber jetzt hats funktioniert ;-)

Gruss
Tobias

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Hier ist noch eine geometrische Veranschaulichung des Ganzen:

Der rote Punkt stellt die gesuchte Zahl in der komplexen Zahlenebene
dar. Das grüne Dreieck hat die Katheten 1 und x (x = tan φ), daraus
ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras die Länge der Hypothenuse.

Das rote Dreieck ist dem grünen ähnlich, hat aber eine Hypothenuse der
Länge 1. Aus dem Verhältnis der Hypothenusen ergeben sich die Längen der
Katheten des roten Dreiecks. Diese stellen Real- und Imaginärteil der
gesuchten Zahl dar.