Hallo Leute, wenn ich die Trägheitsmomente einer dünnen quadratischen scheibe berechnen möchte, so gilt ja zunächst, dass ich nur Jxx,Jyy und Jzz habe, die Deviationsmomente alle Null sind (Schwerpunktachse). Meine Frage lautet nun: Wie ändern sich meine Trägheitsmomente, wenn an jeder ecke noch mal symmetrisch mit einem kleinen Würfel belastet wird ? D.h. an jeder ecke meiner quadratischen Platte klebe ich einen kleinen Würfel drauf (insgesamt also 4).... Wie berechne ich nun analytisch mein Trägheitsmoment ?
Die Trägheitsmomente der Teilkörper addieren sich. Allerdings musst du die Traägheitsmoments der Teilkörper für die tatsächliche Drehachse berechnen (Satz von Steiner).
Benjamin N. schrieb: > Wie berechne ich nun analytisch mein Trägheitsmoment ? Der Steinersche Satz sagt dir etwas? https://de.wikipedia.org/wiki/Steinerscher_Satz
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Die Problemstellung habe ich versucht mal visuell darzustellen. Wie gesagt, die linke Platte ist problemlos berechenbar, jedoch nicht die rechte platte...
Der Andere schrieb: > ie Trägheitsmomente der Teilkörper addieren sich. > Allerdings musst du die Traägheitsmoments der Teilkörper für die > tatsächliche Drehachse berechnen (Satz von Steiner). Was ist daran unverständlich? Oder suchst du nur einen Dummen der es für dich durchrechnet?
Um es nochmal für einen 9 Klässler zu sagen. 1. Du nimmst dein Trägheitsmoment für die Platte 2. Du berechnest das Trägheitsmoment eines gelben Würfels 3. mit dem Satz von Steiner berechnest du das Trägkeitsmoment des Würfels jetzt für die Drehung um die gemeinsame Achse (schwarzer Punkt) 4. Du addierst zu dem Trägkeitsmoment der Platte 4 mal das Trägheitsmoment des gelben Würfels wie du ihn unter 3. ausgerechnet hast.
Der Andere schrieb: > 2. Du berechnest das Trägheitsmoment eines gelben Würfels > 3. mit dem Satz von Steiner berechnest du das Trägkeitsmoment > des Würfels jetzt für die Drehung um die gemeinsame Achse Nun ja. Man könnte ja auch mal dahergehen und eine grobe Abschätzung machen, indem man die kleinen gelben Würfel als Punktmassen behandelt - aber das ist natürlich unsportlich, weil viel zu einfach...
Possetitjel schrieb: > aber das ist natürlich unsportlich, weil viel zu einfach... Vor allen Dingen - wozu? Wenn nach einer analytischen Lösung gefragt ist, ist eine analytische Lösung gefragt und keine Näherungslösung/Abschätzung.
Der Andere schrieb: > 3. mit dem Satz von Steiner berechnest du das Trägkeitsmoment des > Würfels jetzt für die Drehung um die gemeinsame Achse (schwarzer Punkt) > 4. Du addierst zu dem Trägkeitsmoment der Platte 4 mal das > Trägheitsmoment des gelben Würfels wie du ihn unter 3. ausgerechnet > hast. Ja mir ist der Steinersche Satz bekannt, ist ja auch recht einfach herzuleiten. Aber inwiefern wird Punkt 3 gelöst, sodass ich nun das Trägheitsmoment ausrechne ?
Benjamin N. schrieb: > Ja mir ist der Steinersche Satz bekannt Benjamin N. schrieb: > Aber inwiefern wird Punkt 3 gelöst, sodass ich nun das > Trägheitsmoment ausrechne ? Sorry aber das widerspricht sich zu 100% Du plenkst übrigens.
Der Andere schrieb: > 2. Du berechnest das Trägheitsmoment eines gelben Würfels Bezogen auf welche Achse ? Sorry, ich steh leicht auf den schlauch...
Nur keine Panik :) Also du berechnest ja das Trägheitsmoment der kleinen gelben Würfel für sich alleine. Hier geht die Drehachse durch das Zentrum des Würfels und ist senkreht auf einer Aussenfläche. Dieses Trägheitsmoment bringt dich aber noch nicht weiter, da du ja wissen musst wie sich der gelbe Würfel verhält, wenn er um die neue Drehachse (welche ja jetzt im Zentrum der Platte liegt) gedreht wird. Genau dafür ist der Satz von Steiner.
Also ich habe ausgerechnet für meine Platte habe ich nun das Massenträgheitsmoment: Theta_x=(m/12)*(b^2+h^2), wobei b meine breite bzw. tiefe ist (da quadratisch) und h meine Höhe. Als Drehachse habe ich hier den Schwerpunkt der Platte verwendet. So, nun nehme ich den Würfel, welches ein Quader ist, und berechne wieder mein Massenträgheitsmoment bzgl. der x-Achse, wobei ich aber nun als Drehachse den Schwerpunkt des Würfels nehme: Theta_x=(m/6)*(b^2), da Quader und alle Seiten die Länge b haben. So, jetzt habe ich jeweils zwei Massenträgheitsmomente bzgl. Ihrer Schwerpunkte alleine berechnet. Wie funktioniert nun die Superposition ? Der Satz von Steiner sagt ja, gut nehme Trägheitsmoment 1 und addiere die masse multipliziert mit dem Abstand vom Schwerpunkt Platte zu Würfel. Aber irgendwie klappt das nicht ??
Ich verstehe die Superposition nicht. Die quadraische Platte hat eine Masse, und der Würfel hat eine Masse. Welche Masse nehme ich denn bei dem Steiner-Satz??? Irgendwie klappt das einfach nicht ???
Dein Trägheitsmoment für die Platte ist schon falsch. Stell dir vor, du machst die Platte noch höher (bei gleicher Masse). Würde sich das Moment dann ändern? Zum Steinerschen Satz. Stell dir vor, du hast nur den Würfel. Einmal Drehachse im Zentrum und einmal Drehachse parallel dazu. Dann ist es klar, welche Masse man nehmen muss. Und es ist der Abstand zum Quadrat. Den Satz kann man dann auch mit dem Abstand 0 rechnen^^ PS: Mache noch mal eine Skizze mit allen Längen und Massen (etwa: m_1, m_2) für die Finale Formal.
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Manuel S. schrieb: > Dein Trägheitsmoment für die Platte ist schon falsch. Stell dir > vor, du machst die Platte noch höher (bei gleicher Masse). Würde sich > das Moment dann ändern? > Zum Steinerschen Satz. Stell dir vor, du hast nur den Würfel. Einmal > Drehachse im Zentrum und einmal Drehachse parallel dazu. Dann ist es > klar, welche Masse man nehmen muss. Und es ist der Abstand zum Quadrat. > Den Satz kann man dann auch mit dem Abstand 0 rechnen^^ > > PS: Mache noch mal eine Skizze mit allen Längen und Massen (etwa: m_1, > m_2) für die Finale Formal. Wieso soll das trägheitsmoment der Platte falsch berechnet worden sein ? Ich denke die Formel ist in jedem Mechaniker Buch auffindbar.... Die Formel ist schon richtig, denke ich, meine Mechanik Vorlesung ist Jahre her
Rotiert das Gebilde aus der Platte und den vier Würfel um den Schwerpunkt der quadratischen Platte oder um den Schwerpunkt des Gesamtgebildes? Im ersten Fall geht es so, wie bereits mehrfach geschrieben wurde. Das Trägheitsmoment der Platte und der Würfel hast du ja schon berechnet. Um den Satz von Steiner anwenden zu können, musst du noch ausrechnen, wie weit der Würfelschwerpunkt von der Rotationsachse entfernt ist. Der Herr Πυθαγόρας könnte dir dabei sicher helfen, so er noch leben würde. Im zweiten Fall musst du erst einmal die Lage des neuen Schwerpunkts bestimmen. Hier steht, wie: https://de.wikipedia.org/wiki/Massenmittelpunkt#Mathematische_Definition Dann wendest den Satz von Steiner zweimal an, nämlich einmal für die quadratische Platte und einmal für die Würfel. Am Schluss addierst du die Einzelträgheitsmomente wieder zusammen, und die Birne ist geschält. Beobachter schrieb: > Wieso soll das trägheitsmoment der Platte falsch berechnet worden sein ? > Ich denke die Formel ist in jedem Mechaniker Buch auffindbar.... Ja, die Formel stimmt. Oder genauer gesagt: Die x-Achse, um die gedreht wird, lässt sich so legen, dass die Formel stimmt ;-)
Yalu X. schrieb: > Beobachter schrieb: >> Wieso soll das trägheitsmoment der Platte falsch berechnet worden sein ? >> Ich denke die Formel ist in jedem Mechaniker Buch auffindbar.... > > Ja, die Formel stimmt. > > Oder genauer gesagt: Die x-Achse, um die gedreht wird, lässt sich so > legen, dass die Formel stimmt ;-) Ich hatte Benjamin so verstanden, dass h die Höhe/Dicke der Platte ist und b die Breite/Tiefe. Wenn dann um den roten Punkt rotiert wird, ist das Trägheitsmoment der Platte:
mit a = b
und damit unabhängig von der Höhe/Dicke der Platte. Daher wollte ich ja auch die Skizze...
Yalu X. schrieb: > Rotiert das Gebilde aus der Platte und den vier Würfel > um den Schwerpunkt der quadratischen Platte oder um den > Schwerpunkt des Gesamtgebildes? Sag' jetzt bitte, dass das eine Fangfrage ist...!
Manuel S. schrieb: > Wenn dann um den roten Punkt rotiert wird, ist das Trägheitsmoment der > Platte: Der Punkt alleine definiert noch keine Rotationsachse. Aus Benjamins Rechenergebnis Theta_x=(m/12)*(b^2+h^2) kann man schließen, dass für ihn die x-Achse vom Schwerpunkt in Richtung Mittelpunkt einer der Quadratseiten zeigt. Die y-Achse zeigt dann vermutlich zum Mittelpunkt einer der parallel zur x-Achse liegenden Quadratseiten, und die z-Achse steht senkrecht auf dem Quadrat. Dein Ergebnis wäre somit das Trägheitsmoment bzgl. der z-Achse. > Daher wollte ich ja auch die Skizze... Ja, am besten eine, die das Gebilde in zwei oder drei Ansichten zeigt, und in der auch die zu betrachtenden Rotationsachsen klar in allen drei Dimensionen zu sehen sind. Das würde Einiges an Missverständnissen vermeiden. Possetitjel schrieb: > Yalu X. schrieb: > >> Rotiert das Gebilde aus der Platte und den vier Würfel >> um den Schwerpunkt der quadratischen Platte oder um den >> Schwerpunkt des Gesamtgebildes? > > Sag' jetzt bitte, dass das eine Fangfrage ist...! Wie meinst du das? Beim Trägheitsmoment bzgl. der z-Achse (nach obiger Definition) spielt die z-Koordinate des Schwerpunkts natürlich keine Rolle, bei der Rotation um die x- oder y-Achse aber schon.
Yalu X. schrieb: > Possetitjel schrieb: >> Yalu X. schrieb: >> >>> Rotiert das Gebilde aus der Platte und den vier Würfel >>> um den Schwerpunkt der quadratischen Platte oder um den >>> Schwerpunkt des Gesamtgebildes? >> >> Sag' jetzt bitte, dass das eine Fangfrage ist...! > > Wie meinst du das? Ich war aus Ursprungsartikel und später gelieferter Zeichnung davon ausgegangen, dass die Anordnung um die Z-Achse rotieren soll. In diesem Fälle lägen die Schwerpunkte der Platte allein, der vier Würfel allein und des Gesamtgebildes alle auf der Z-Achse, (da ja die Symmetrie der Anordnung vorausgesetzt war), und Deine Frage wäre eine Fangfrage :) > Beim Trägheitsmoment bzgl. der z-Achse (nach obiger Definition) > spielt die z-Koordinate des Schwerpunkts natürlich keine Rolle, > bei der Rotation um die x- oder y-Achse aber schon. Du hast natürlich Recht, daran habe ich nicht gedacht; es gibt ja überdies beliebig viele Rotationsachsen, die das dargestellte Gebilde genau im rot markierten Punkt durchstoßen. Erforderlich ist ja nicht nur ein Punkt, sondern eine Rotations- achse.
Benjamin N. schrieb: > Die Problemstellung habe ich versucht mal visuell darzustellen. Benjamin N. schrieb: > Theta_x=(m/12)*(b^2+h^2), wobei b meine breite bzw. tiefe ist (da > quadratisch) und h meine Höhe. > Theta_x=(m/6)*(b^2), da Quader und alle Seiten die Länge b haben. > > So, jetzt habe ich jeweils zwei Massenträgheitsmomente bzgl. Ihrer > Schwerpunkte alleine berechnet. Die ganzen Größen, die in den Formeln auftauchen und den Radisu für den Steinerschen Satz, trage doch mal in der Graphik ein, damit es keine Missverständnisse gibt. Yalu X. schrieb: > Der Punkt alleine definiert noch keine Rotationsachse. In der 2D-Projektion schon, wenn man sich vorstellt, dass man von vorne auf die Achse guckt, die Achse also senkrecht aus der Zeichenebene heraus kommt.
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Also ich habe es nochmal versucht darzustellen: Man muss sich das ganze so vorstellen, dass ich einen Körper habe, der aus einer quadratische Platte besteht und auf der zusätzlich vier identische Würfel an den Außenkanten angebracht sind. Und nun möchte ich die Massenträgheitsmomente bzgl. des Schwerpunktes berechnen. Für die Berechnung des Schwerpunktes habe ich nur die dünne quadratische Platte betrachtet, ohne die Würfel, da diese ja symmetrisch angeordnet werden und somit die Schwerpunktskoordinaten nicht ändern dürften, oder ? Zunächst berechne ich Jxx=Jyy=(m/12)*(a^2+c^2), die Massenträgheitsmomente NUR DER PLATTE OHNE DIE WÜRFEL im Schwerpunkt der Platte! Nun berechne ich im SCHWERPUNKT DES WÜRFELS die Massenträgheitsmomente: J1xx=J1yy=(m/6)*(b^2), da Quader und alle Seiten die Länge b haben. Nun wende ich den Satz von Steiner an für die Massenträgheitsmomente des Würfels und als parallele Achse betrachte ich die Schwerpunktslinie. Das Ergebnis multipliziere ich mit vier und addiere das dann auf das Massenträgheitsmoment der Platte ohne Würfel. Ist dieser Ansatz korrekt ?
Yalu X. schrieb: > Rotiert das Gebilde aus der Platte und den vier Würfel um den > Schwerpunkt der quadratischen Platte oder um den Schwerpunkt des > Gesamtgebildes? Aber die Schwerpunktskoordinaten des gesamten Gebildes müssten doch gleich der Schwerpunktskoordinaten der quadratischen Platte sein, oder ? Ich meine, wenn ich die Schwerpunktskoordinaten einer Platte habe und lege nun überall an den Außenkanten dieser Platte identische Würfel, so dürfte sich doch nichts geändert haben ?!
Benjamin N. schrieb: > Aber die Schwerpunktskoordinaten des gesamten Gebildes müssten doch > gleich der Schwerpunktskoordinaten der quadratischen Platte sein, oder ? Nein. Du klebst die vier Würfel ja auf die Platte obendrauf. Also wird der Schwerpunkt etwas nach oben wandern.
Guck einfach was bei einer Umdrehung passiert: 1. Die Rechteckplatte dreht sich um ihren eigenen Schwerpunkt. => Deren Trägheitsmoment bzgl. ihres Schwerpunktes bestimmen 2. der 1. Würfel dreht sich einmal um seinen eigenen Schwerpunt => Trägheitsmoment des ersten Würfels bzgl. seines Schwerpunktes bestimmen. 3. der 1. Würfel wird an einem Hebelarm um die Drehachse Bewegt => Trägheitsmoment des ersten Würfelschwerpunkts(und dessen Masse) bzgl. der Drehachse bestimmen. (Satz von Steiner) 4. Punkte 2. und 3. für die restlichen Würfel durchführen. Bedenke dabei: die Würfel haben alle die gleichen Abmessungen, Massen und Abstände von der Drehachse. 5. Alle auftretenden Trägheitsmomente addieren sich zum gesamten Trägheitmoment.
Gerd schrieb: > uck einfach was bei einer Umdrehung passiert: Vielen dank Gerd, ich werde es mal probieren. Yalu X. schrieb: > Benjamin N. schrieb: >> Aber die Schwerpunktskoordinaten des gesamten Gebildes müssten doch >> gleich der Schwerpunktskoordinaten der quadratischen Platte sein, oder ? > > Nein. Du klebst die vier Würfel ja auf die Platte obendrauf. Also wird > der Schwerpunkt etwas nach oben wander Aber das verunsichert mich etwas ! Mir ist nicht klar, warum sich die Schwerpunktskoordinaten ändern, wenn ich überall symmetrisch gleich was anbringe.
Yalu X. schrieb: > Nein. Du klebst die vier Würfel ja auf die Platte obendrauf. Also wird > der Schwerpunkt etwas nach oben wandern. Der Schwerpunkt des Systems ist aber völlig irrelevant. Für das Trägheitsmoment zählt nur die Achse um das das Ganze rotiert. Und zur Diskussion bzgl. der Lage der Rotationsache. Wenn ich von einem dreidimensionalen Körper eine zweidimensianale Zeichnung habe, und ich sehe dort als Drehachse einen Punkt, dann gehe ich davon aus, dass die Achse deshalb als Punkt dargestellt ist weil sie senkrecht zur Ansicht steht.
Benjamin N. schrieb: > Vielen dank Gerd, ich werde es mal probieren. Das ist das gleiche was ich dir schon vor zwei Tagen gesagt hatte. Benjamin N. schrieb: >> Nein. Du klebst die vier Würfel ja auf die Platte obendrauf. Also wird >> der Schwerpunkt etwas nach oben wander > > Aber das verunsichert mich etwas ! Mir ist nicht klar, warum sich die > Schwerpunktskoordinaten ändern, wenn ich überall symmetrisch gleich was > anbringe. Der Schwerpunkt des Gesamtsystems ist nicht relevant. Da die Würfel AUF die Platte geklebt werden und nicht symmetrisch je ein halber auf und ein halber unter die Platte wandert der Schwerpunkt des Gesamtsystems etwas in der Z Achse. Dein 2 dim. Koordinatensystem in deiner 3 dim zeichnung ist übrigens Unsinn, wenn du schon perspektivisch zeichnest dann brauchst du auch ein perspektivisches Koordinatensystem.
der Schwerpunkt wandert in Richtung der Drehachse. Stell dir vor dein Blech steht senkrecht auf dem Boden, wenn du jetzt deine Würfel aufklebst, fällt das Blech um => der Schwerpunkt liegt nicht mehr im Blech. aber: das Massenträgheitsmoment ändert sich dadurch nicht! weil das ja nur vom Abstand von der Drehachse abhängt. und aufgrund der Symmetrien bleiben auch die Deviationsmomente = 0.
Vielen vielen Dank liebe Leute für eure Antworten. Es hat mir wirklich viel geholfen und zum Verständnis beigetragen!
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