Gegeninduktivität

[Michael W. (Gast)]

Theoretische Frage:

Bei gekoppelten magnetischen Kreisen (Wicklungen 1, 2) durchsetzt der 
durch Wicklung-1 und Strom I1 erzeugte Fluss nicht vollständig die 
Wicklung-2, da sich ein Teil des Gesamtflusses als Streufluss an 
Wicklung-2 vorbeischwindelt. Man beschreibt dies durch den Begriff der 
Gegeninduktivität:

$$\Phi_{1,2} N_2 = M_{12} \cdot I_1$$

Ebenso:

$$\Phi_{2,1} N_1 = M_{21} \cdot I_2$$

Nun kann man zeigen, dass für beliebige Wicklungsanordnungen in Luft 
immer

$$M_{12} = M_{21}$$

gilt. Während ich dies leicht nachvollziehen kann, bin ich mir in 
magnetischen Kreisen mit unterschiedlicher Permeabilität nicht mehr 
sicher. Gilt das Prinzip dennoch? Falls ja, wie kann man das zeigen? Ich 
gehe von der idealisierten Annahme aus, dass der Zusammenhang zwischen B 
und H für alle im Kreis beteiligen Materialien linear und reversibel 
sei.

[Joe G. (feinmechaniker)]

Michael W. schrieb:
> Gilt das Prinzip dennoch? Falls ja, wie kann man das zeigen?

Unter Voraussetzung linearer Systeme kann die Gegeniduktivität kann als 
immer reziproker magnetischer Vierpol dargestellt werden. Das bedeutet, 
keinen Energieverlust innerhalb des Wandlers. Wo sollte der 
Energieverlust auch herkommen? Das System ist linear (keine Hysterese), 
keine dissipativen Verluste.
Ja, und zeigen kann man es auch. Für alle reziproken Wandler gilt das 
Onsagersche Reziprozitätsgesetz.

[Michael W. (Gast)]

Unter Voraussetzung linearer Systeme kann die Gegeniduktivität kann als 
immer reziproker magnetischer Vierpol dargestellt werden. Das bedeutet, 
keinen Energieverlust innerhalb des Wandlers. Wo sollte der 
Energieverlust auch herkommen? Das System ist linear (keine Hysterese), 
keine dissipativen Verluste.

und wo wird das bewiesen? In den Beweis dürften nur die Maxwell 
Gleichungen einfließen. Ich kenne zwar den unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Gegeninduktion

beschriebenen Beweis, der oft zitiert wird, aber in einem 
magnetisierbaren Medium versagt, da  das Vektorpotenzial A in diesem 
Fall ja nicht nur von der Stromdichte, sondern auch von der 
Magnetisierung abhängt.

Ich habe versucht, dies auf Medien zu verallgemeinern, komme aber noch 
zu keinem brauchbaren Ergebnis, da mir die Randbedingungen Probleme 
machen. Nur weiß ich nicht, ob ich einem Phantom hinterherjage, das es 
gar nicht gibt.

[Joe G. (feinmechaniker)]

Michael W. schrieb:
> und wo wird das bewiesen?

Wie ich schon schrieb, in den Onsagerschen Reziprozitätsbeziehungen [1]. 
Nicht immer ist Maxwell zuständig ;-)


[1] 
https://de.wikipedia.org/wiki/Onsagersche_Reziprozit%C3%A4tsbeziehungen

[Michael W. (Gast)]

Danke, aber du hast mich nicht verstanden.
Es kann schon sein, dass diese Theoreme ähnliche Struktur haben udn 
unter dem Namen zusammengefasst werden. Trotzdem ist das keine 
Erklärung. Man müsste die "Onsagerschen Reziprozitätsbeziehungen" aus 
denm zugrundeliegenen physikalischen Kontext, also in unserem Fall die 
Maxwellgleichungen herleiten. Wenn ich dann weiß, dass sie immer und 
uneingeschränkt gelten, kann ich in Zukunft so darauf verweisen, wie du 
das tust.

Worin sollten sich das Theorem in einem elektromagnetischem Kontext denn 
sonst begründen als durch die Maxwell'schen Gleichungen? Das fällt ja 
nicht einfach so vom Himmel...

[Michael W. (Gast)]

Ich glaube, nach langem Grübeln eine relativ allgemeine Argumentation 
für obige Vermutung auf Basis der Maxwell'schen Gleichungen gefunden zu 
haben - kann mir jemand Feedback geben, ob hier ein Denkfehler enthalten 
ist?

Zu zeigen ist:

Unter der Annahme, dass der Zusammenhang zwischen B und H an jeder 
Stelle (egal ob in Luft oder im Eisen) linear sei, möchte ich zeigen, 
dass die Gegeninduktivitäten M(1,2) und M(2,1) zweier magnetisch 
gekoppelter Leiterschleifen, egal wie diese zueinander und zu einem 
Eisenkern beliebiger Form liegen, gleich sind. Ich beginne dazu zuerst 
ganz allgemein mit zwei Feldverteilungen (A), (B )in einem 
magnetisierbaren Medium mit beliebig ortsabhängiger, skalarer 
Permeabilität. (A) und (B) liegen nicht gleichzeitig vor, sondern sind 
gedanklich unabhängige Szenarien.

Die statischen magnetischen Feldstärken seien

$$\vec H_A(\vec x)$$

und

$$\vec H_B(\vec x)$$

Ich bilde das Volumsintegral

$$\int_V \mu(\vec x) \vec H_A (\vec x) \cdot \vec H_B (\vec x) \, dV$$

Das kann ich mit der Definition des Vektorpotenzials umformen in

$$\int_V \vec B_A \cdot \vec H_B \, dV = \int_V (\vec \nabla \times \vec A_A) \cdot \vec H_B \, dV$$

Wenn ich nun partiell über den gesamten Raum integriere, erhalte ich

$$\int_V (\vec \nabla \times \vec H_B )\cdot \vec A_A \, dV - \int_O \vec \nabla \cdot (\vec H_B \times \vec A_A) dO$$

Das letzte Oberflächenintegral verschwindet, da im Unendlichen die 
Felder H und B gegen Null gehen müssen; das erste Integral wird mittels 
Durchflutungssatz (verknüpft H mit der freien Stromdichte) zu

$$\int_V \vec J_B \cdot \vec A_A \, dV$$

Da das ursprüngliche Integral symmetrisch in A und B ist, gilt daher 
ebenso gut:

$$\int_V \vec J_B \cdot \vec A_A \, dV = \int_V \vec J_A \cdot \vec A_B \, dV$$

Wenn ich für die beiden Fälle (A) und (B) nun die im Bild 
eingezeichneten Szenarien wähle, so ergibt die Auswertung der 
Volumsintegrale links und rechts(der Drahtdurchmesser der 
Leiterschleifen sei sehr sehr klein)

$$I_{2B} \Phi_{2A} = I_{1A} \Phi_{1B}$$

oder

$$\Phi_{2A} / I_{1A} = \Phi_{1B} / I_{2B}$$

oder

$$M_{12} = M_{21}$$

Für Spulen, die aus Leiterschleifen zusammengesetzt sind, verläuft die 
Argumentation sinngemäß.

Sieht jemand in dieser Argumentationskette eine Lücke?

Würde mich über konstruktive Rückmeldungen von theoretisch 
interessierten Forumsteilnehmern freuen.

Danke,
Michael

[Simon Diehl (Gast)]

Ich denke, dass es gut wäre wenn ich du vollständige Gleichungen 
verwenden würdest. Ich finde es schwierig die Umformung 
nachzuvollziehen, weil mir die Ausgangssituation nicht klar ist. Du hast 
einfach eine Formel in den leeren Raum geworfen und dann ein bisschen 
malträtiert, bis das gewünschte rausgekommen ist.

[Michael W. (Gast)]

Was meinst du mit vollständigen Gleichungen?
Ich probiere es nun vollständiger zu schreiben (ich wollte ja nur den 
Weg skizzieren, und war schlampig, da ich dachte, es sei ohnehin klar):

Ich gehe von zwei beliebigen Feldverteilungen A, B aus (Magnetfeld + 
erzeugende Quellen) und zeige die Äquivalenz von

$$\int_V \mu(\vec x) \vec H_A (\vec x) \cdot \vec H_B (\vec x) \, dV = \int_V \vec J_B \cdot \vec A_A \, dV$$

wobei die Volumsintegration über den gesamten Raum erfolgt.

Hier habe ich

$$\vec H_A = \mu \vec B_A$$

 verwendet, dann das B durch die Rotation über ein Vektorpotenzial A 
ersetzt:

$$\vec B_A = \vec \nabla \times \vec A_A$$

was wegen der Quellfreihet von B immer geht.

Bei der partiellen Integration habe ich die Identität

$$\vec \nabla \cdot (\vec a \cdot \vec b) = \vec b \cdot (\vec \nabla \times \vec a)-\vec a \cdot (\vec \nabla \times b)$$

Also angwandt

$$\int_V \vec B_A \cdot \vec H_B \, dV = \int_V (\vec \nabla \times \vec A_A) \cdot \vec H_B \, dV = \int_V (\vec \nabla \times \vec H_B )\cdot \vec A_A \, dV + \int_V \vec \nabla \cdot (\vec H_B \times \vec A_A) dV$$

Das Volumsintegral über die Divergenz eines Vektors ist gemäß Gauß'schen 
Satz das Oberflächenintegral über den Vektor, wobei über die vom 
Integrationsvolumen umrandete Oberfläche integriert wird, wird

$$\int_V \vec \nabla \cdot (\vec H_B \times \vec A_A) dV = \oint_V (\vec H_B \times \vec A_A) d \vec O$$

Da ich als Volumen über den gesamten Raum integriere und in weiter 
(unendlicher) Entfernung von meinen Quellen die Felder aus 
physikalischen Gründen verschwinden müssen, habe ich

$$\oint_V (\vec H_B \times \vec A_A) d \vec O = 0$$

Also bleibt über

$$\int_V \vec B_A \cdot \vec H_B \, dV = \int_V (\vec \nabla \times \vec A_A) \cdot \vec H_B \, dV = \int_V (\vec \nabla \times \vec H_B )\cdot \vec A_A \, dV$$

Nun ist aber in der Magnetostatik (Verschiebungsströme gibt es ja nicht)

$$\vec \nabla \times \vec H_B = \vec J$$

Das ist einfach der Durchflutungssatz.

Daher, eingesetzt in das Integral

$$\int_V \vec B_A \cdot \vec H_B \, dV = \ldots = \int_V (\vec \nabla \times \vec H_B )\cdot \vec A_A \, dV = \int_V \vec J_B \cdot \vec A_A \, dV$$

Nun hätte ich im ganz ersten Integral ebenso gut

$$\vec H_B = \mu \vec B_B$$

substituieren können, und hätte mit der gleichen Rechnung (bei der nur A 
und B vertauscht wurde erhalten:

$$\int_V \mu(\vec x) \vec H_A (\vec x) \cdot \vec H_B (\vec x) \, dV = \int_V \vec J_A \cdot \vec A_B \, dV$$

Also gilt

$$\int_V \vec J_A \cdot \vec A_B \, dV = \int_V \vec J_B \cdot \vec A_A \, dV$$

Bein Auflösen der Integrale bleibt als Raumgebiet nur das Volumen der 
beiden Drahtschleifen über. Woanders ist ja J=0.

Das infinitesimale Volumen der Drahtschleife ist aber (Spatprodukt)

$$dV = d \vec F \, \cdot d \vec l$$

wobei dF das vektorielle Flächenelement über den Querschnitt ist, und dl 
ein Längenelement entlang des Drahtes.

Also wird

$$\int_V \vec J_A \cdot \vec A_B \, dV = \oint_{Drahtquerschnitte} \oint_{schleifen} \vec J_A \cdot \vec A_B \, d \vec F \, \cdot d \vec l = I_{1,A} \oint_{weg\,entlang\,schleife-1} \vec A_B \, \vec dl = I_{1,A} \Phi_{1,B}$$

Im letzten Schritt habe ich den Satz von Stokes benutzt:

$$\oint_{Weg entlang Schleife} \vec A \cdot d \vec l = \oint_{Flaeche\, der\,Schleife} \vec \nabla \times \vec A \cdot d \vec F = \oint_{Flaeche\,der Schleife} \vec B \cdot d \vec F = \Phi_{Schleife}$$

Also gilt, wenn man das andere Integral durchführt

$$\int_V \vec J_B \cdot \vec A_A \, dV = \ldots = I_{1,B} \Phi_{1,A}$$

Damit ist der Beweis der Reziprozität von Ursache und Wirkung für die 
beiden Schleifen erbracht.

$$I_{1,B} \Phi_{1,A} = I_{1,A} \Phi_{1,B}$$

[Michael W. (Gast)]

Vielleicht sollte man noch erwähnen, dass sich Felder H und B in weiter 
Entfernung von den Quellen wie Dipolfelder verhalten, und daher mit 
mindestens 1/r³ abfallen. Das Vektorpotenzial fällt mindestens mit 1/r 
ab, also sind die Felder in weiter Entfernung von den Quellen O(1/r^4). 
Daher wird das Oberflächenintegral des Produkts aus H und A 
verschwinden. Das ist eigentlich die Crux der ganzen Beweiskette.

[Rolf L. (dj7th)]

und ich bleibe dabei: die Erde ist eine Scheibe Punkt

[Michael W. (Gast)]

??