Was meinst du mit vollständigen Gleichungen?
Ich probiere es nun vollständiger zu schreiben (ich wollte ja nur den
Weg skizzieren, und war schlampig, da ich dachte, es sei ohnehin klar):
Ich gehe von zwei beliebigen Feldverteilungen A, B aus (Magnetfeld +
erzeugende Quellen) und zeige die Äquivalenz von
wobei die Volumsintegration über den gesamten Raum erfolgt.
Hier habe ich
verwendet, dann das B durch die Rotation über ein Vektorpotenzial A
ersetzt:
was wegen der Quellfreihet von B immer geht.
Bei der partiellen Integration habe ich die Identität
Also angwandt
Das Volumsintegral über die Divergenz eines Vektors ist gemäß Gauß'schen
Satz das Oberflächenintegral über den Vektor, wobei über die vom
Integrationsvolumen umrandete Oberfläche integriert wird, wird
Da ich als Volumen über den gesamten Raum integriere und in weiter
(unendlicher) Entfernung von meinen Quellen die Felder aus
physikalischen Gründen verschwinden müssen, habe ich
Also bleibt über
Nun ist aber in der Magnetostatik (Verschiebungsströme gibt es ja nicht)
Das ist einfach der Durchflutungssatz.
Daher, eingesetzt in das Integral
Nun hätte ich im ganz ersten Integral ebenso gut
substituieren können, und hätte mit der gleichen Rechnung (bei der nur A
und B vertauscht wurde erhalten:
Also gilt
Bein Auflösen der Integrale bleibt als Raumgebiet nur das Volumen der
beiden Drahtschleifen über. Woanders ist ja J=0.
Das infinitesimale Volumen der Drahtschleife ist aber (Spatprodukt)
wobei dF das vektorielle Flächenelement über den Querschnitt ist, und dl
ein Längenelement entlang des Drahtes.
Also wird
Im letzten Schritt habe ich den Satz von Stokes benutzt:
Also gilt, wenn man das andere Integral durchführt
Damit ist der Beweis der Reziprozität von Ursache und Wirkung für die
beiden Schleifen erbracht.