Sorry, mir fiel kein passender Betreff ein, ich versuche meine Frage mal in einem Beispiel darzustellen: Gegeben sei z.B. folgendes : - Raum, Breite 300 cm - Fliesenbreite 40 cm - Anzahl Fliesen 10 Mit den Fliesen soll jetzt eine Wand konvex verkleidet werden, entsprechend eine UK gebaut werden Wie berechne ich jetzt den notwendigen Radius ? Meine spontanen Ideen: - Im CAD ausprobieren, geht, aber ist ja nicht die wirkliche Lösung - jede einzelne Fliese als Kreissegment sehen, dann eine meterlange Formel aufstellen, alles nach dem Radius auflösen ? Man könnte jetzt die Fliese erst mal als gebogen / Teil des Radius sehen, dann ist es noch rel. einfach zu rechnen/im CAD zu probieren Angenommen, die Fliese soll jetzt absolut exakt, also mit Nullfuge verlegt werden, die Kanten liegen auf dem Radius, die Mitte entsprechend weiter aussen, ich kann somit nicht mehr von einer Kreisbogenlänge von 40 cm ausgehen, diese ändert sich mit dem Radius Wie wäre hier die einfachste, aber mathematisch richtige Lösung ? Grüße Heinz
Was ist eine konvex verkleidete Wand und was ist eine UK?
Zu wenige Informationen: Soll die Diagonale als Bogen herhalten (R=3m) oder soll der Raum rundum kreisförmig (R=1,5m) zu gefliest werden? Da die Fliesen gerade und nicht flexibel (war wenigstens früher so) sind: Sollen die Fliesen, bezogen auf den Radius, nach innen ragen, sich den Radius teilen (vermittelt), oder nach "außen" ragen? Ist das Schneiden von Fliesen erlaubt? Ich gehe mal davon aus, dass die Idee die Fliesen fugenlos zu verlegen eher spaßig gemeint ist. Also kann die Vorgabe einer Fuge, die bei so vielen Fliesen nicht vernachlässigbar ist, nicht schaden.
Heinz schrieb: > Mit den Fliesen soll jetzt eine Wand konvex verkleidet werden, > entsprechend eine UK gebaut werden Toll wie klar manche Formulierungen hier oft 'rüberkommen. Konvex und Konkav kenn ich im Zusammenang mit Linsen. UK weiss auch jeder sofort. Bloss ich bin der Depp. Ach so jetzt hab ich's: United Kingdom.
Das mit den Fliesen war doch nur ein Beispiel, um es einfacher verständlich zu machen konvex heisst zum Betrachter hin gebogen, UK steht für Unterkonstruktion Aber ich versuche es anders: auf welchem Radius müssen 10 Geraden, Länge je 40 cm, angeordnet sein, das die Gesamtbreite am Ende 300 cm beträgt ?
Du möchtest die 3m breite Wand mittels einer UnterKonstruktion halbrund in einen Raum stehen lassen. Die vorhandene gerade Wandfläche ist 3m breit. Die nun erforderliche UK soll so tief in den Raum ragen, dass nun 10Stück 40 cm breite Fliesen angeordnet werden können. Richtig? Ichbin
Ragen die Fliesen nach innen, und Du kommst mit einer Mikrofuge hin, so kannst Du 20 Fliesen in einem Radius (1,5m) verteilen. Wundere Dich aber nicht, wenn dann eine Fliese pro Runde über bleibt, weil Du Probleme mit der Fuge hast...
Hallo Armin, ganz genau so wie Du es beschreibst :-) Ich gebe zu, es geht letztendlich nicht um Fliesen, Fugen, Fliesenschneider... es ist ein Beispiel Aber mich würde der mathematische Ansatz interessieren, so was zu berechnen
Heinz schrieb: > Aber ich versuche es anders: auf welchem Radius müssen 10 Geraden, Länge > je 40 cm, angeordnet sein, das die Gesamtbreite am Ende 300 cm beträgt ? Wie wird "Gesamtbreite" gemessen? Etwas genauer bitte.
> Aber ich versuche es anders: auf welchem Radius müssen 10 Geraden, Länge > je 40 cm, angeordnet sein, das die Gesamtbreite am Ende 300 cm beträgt ? Ich kenne nur Radius oder Durchmesser bei einem Kreis! Also an welcher Stelle misst Du die Breite? Von Quer nach rüber, oder hin und her?
> Wie wird "Gesamtbreite" gemessen? > Etwas genauer bitte. vom linken Ende von Gerade 1 bis zum rechten Ende von Gerade 2
> Ich kenne nur Radius oder Durchmesser bei einem Kreis! > Also an welcher Stelle misst Du die Breite? > Von Quer nach rüber, oder hin und her? Wäre es ein Halbkreis wäre es einfach - die 10 Geraden können z.B. auch auf einem Kreis mit Durchmesser 20m liegen, nur die Breite dieser 10 Geraden ist dann 300 cm (geometrisch korrekter - der Abstand zwischen der linken Spitze von Gerade 1 und der rechten Spitze von Gerade 2 ist 300 cm)
... d.h. Der Segmentbogen eines Kreises soll eine Länge von 10x40cm=4m haben. Die Sehnenlänge soll dabei 3m betragen. Welchen Radius hat der Kreis? Das ist eine nette Aufgabe für 10. Klasse am Gymnasium. Die beiden obigen Bedingungen hängen vom Winkel des Kreissegmentes und vom Radius ab. Beide Formeln raussuchen, nach dem Winkel auflösen und dann über den Winkel gleichsetzen. Die entstehende Gleichung nach r auflösen. Das wars. Joe P.S. Bei den Fliesen noch die Fugenbreite addieren!
Die Lösung ist nicht ganz vollständig, weil die Fliesen nicht rund sind. Zur Korrekturrechnung schreibe ich morgen etwas, wenn hier die 1. Lösung vorliegt.
Armin X. schrieb: > Du möchtest die 3m breite Wand mittels einer UnterKonstruktion > halbrund in einen Raum stehen lassen. Die vorhandene gerade > Wandfläche ist 3m breit. Die nun erforderliche UK soll so > tief in den Raum ragen, dass nun 10Stück 40 cm breite Fliesen > angeordnet werden können. Richtig? Habe ich das jetzt richtig verstanden? "Die Sehne eines Kreises sei 3m lang, der zugehörige (Kreis-)Bogen 4m. Welchen Durchmesser hat der Kreis?"
Man schaue auf https://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment , löse die letzte Formel in der Tabellenzeile "Bogenlänge" mit Hilfe des korrekten Ansatzes der dazugehörigen DGL. Oder: Man benutze einen Taschenrechner, der in der Lage ist, solche Formeln iterativ zu lösen. Statt eines Taschenrechners kann auch jeder x-beliebige Computer für dieses Verfahren genutzt werden. MfG Florian W.
Florian W. schrieb: > dazugehörigen DGL Ups, wer hier eine DGL sieht kann das Problem sicher nicht lösen! Joe
Joe schrieb: > Die Lösung ist nicht ganz vollständig, weil die Fliesen > nicht rund sind. Die resultierende Figur ist auch nicht rund :) Es handelt sich ja um ein(en Teil eines regelmäßigen) Polygon(s). > Zur Korrekturrechnung schreibe ich morgen etwas, wenn > hier die 1. Lösung vorliegt. Ich würde einfach versuchen, den "Durchmesser" passend umzudefinieren.
> Die Lösung ist nicht ganz vollständig, weil die Fliesen nicht rund sind. > Zur Korrekturrechnung schreibe ich morgen etwas, wenn hier die 1. Lösung vorliegt. Hallo Joe, genau das ist mein Problem, mit angenommen runden Fliesen ist es einfach, das Problem liegt darin das diese gerade sind Wie meinst Du, Du schreibst etwas zur Korrekturrechnung ? Wenn es jemand mit "runden" Fliesen vorgerechnet hat ?
Das Ganze kann als zwei Kreissegmentprobleme verstanden werden. https://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment 1. Ein Kreissegment mit einer Kreissehne
2. Zehn Kreissegmente mit jeweils einer Kreissehne
Der Radius für beide Fälle ist unbekannt, aber gleich. Der Winkel für eines der Fall 2 Kreissegmente (
) ist ein Zehntel des Winkels für Fall 1 (
). Die Formel für den Radius:
kann jetzt zweimal aufgestellt werden und ineinander eingesetzt werden was zu
führt Das ganze kann man Vereinfachen (war ich zu Faul dazu) und nach
auflösen. Wolfram alpha sagt hier 0.256277 rad (und noch einen Sack voll complexer und sich wiederholender Lösungen, trig halt). [query: solve 3/0.4 = sin(10*a/2)/sin(a/2) ] Einsetzen in eine der Radius Gleichungen führt zu einen Radius von 1.5650906332m. Btw: Gibt es hier eine Schreibweise für inline math? Also kein Zeilenumbruch vor und nach der "Gleichung"?
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Gurgel doch mal eine Runde! Z.B. mit "Vieleck". Muss aber nicht sein...
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Die Lösung von Dirk wird richtig sein. Ich hatte keine Lust zum Rechnen, aber vielleicht taugts als kleine Verifikation. Quick & Dirty im CAD. LG, Björn
Heinz schrieb: > Aber mich würde der mathematische Ansatz interessieren, so was zu > berechnen Possetitjel schrieb: > Die resultierende Figur ist auch nicht rund :) > > Es handelt sich ja um ein(en Teil eines regelmäßigen) > Polygon(s). ... > Ich würde einfach versuchen, den "Durchmesser" passend > umzudefinieren Ja, der korrekte mathematische Ansatz geht nur über den Polygonzug. :) https://de.wikipedia.org/wiki/Polygonzug @ Heinz: Es ist ein Ding der Unmöglichkeit, einen Radius aus (geraden) Einzelstrecken "zusammenzustückeln". Folglich kannst Du das bei 40 cm-Einzelstreckenlänge nur angenähert tun. Du hast also die freie Wahlmöglichkeit, wo der exakte r, bezogen auf die Einzelstrecken, liegen soll. Er könnte die Endpunkte der Strecken schneiden, aber eben so gut die Mittelpunkte der Strecken tangieren. ;) Nachdem Du von Fliesen und einer UK sprachst, soll das Ganze im Endeffekt ja auch ein "Gesicht" haben. So gesehen ist es m.E. am sinnvollsten, bereits die UK als Polygonzug auszuführen. Und zwar so, daß Du Dich dabei daran orientierst, daß der r sozusagen hinterseitig der Fliesen die gewünschte Fugenmitte schneidet. Berücksichtige bei der Anfertigung der UK auch die Schichtstärke des Dünnbett-Fliesenklebers, damit letztlich die Fugenbreite stimmt. :)
Fragender schrieb: > Was ist eine konvex verkleidete Wand und was ist eine UK? Konvex heißt wohl, dass er ne runde Wand hat, und UK kann in dem Zusammenhang auch nichts anderes als Unterkonstruktion heißen. Die Fragestellung ist quasi das Prüfungsverfahren. Wer die Abk. kennt, kann vielleicht auch die Frage beantworten. Alle anderen haben eh keine Ahnung.
Irgendwie würde eine kleine Skizze das "Problem", anschaulich rüberbringen. Und Lösungsansätze offensichtlich machen. Aber das ist ja heute unter der Würde. Grüße Bernd
mathematische Lösung? Quark -> Fliesen in gewollte Streifen schneiden und kleben geht allemal schneller als rechnen. PS. Mosaikfliesen auf Matten vereinfachen das erheblich.
Bernd F. schrieb: > Irgendwie würde eine kleine Skizze das "Problem", anschaulich > rüberbringen. Und Lösungsansätze offensichtlich machen. > > Aber das ist ja heute unter der Würde. Nein, nicht unter der Würde, sondern noch viel schlimmer. ;) Viele haben gar keine Ahnung mehr davon, daß sich mathematische Probleme häufig viel schneller auch graphisch lösen lassen. Geschweige denn, daß sie noch einen Zirkelkasten im Haus hätten und auch damit umgehen könnten. :D
Bernd schrieb: > Irgendwie würde eine kleine Skizze das "Problem", anschaulich rüberbringen. > Und Lösungsansätze offensichtlich machen. > Aber das ist ja heute unter der Würde. Weiter oben hat Björn R eine Skizze gemacht, genau so soll es aussehen L.H. schrieb: > Nein, nicht unter der Würde, sondern noch viel schlimmer. ;) > Viele haben gar keine Ahnung mehr davon, daß sich mathematische Probleme > häufig viel schneller auch graphisch lösen lassen. Gibt es denn hier einen graphischen Lösungsweg? Ich vermute nein, zumindest keinen einfachen ? Danke an Dirk für die perfekte Lösung, genau danach hatte ich gesucht :-) Danke auch an alle Fliesenleger für die Tips, hatte leider oben schon geschrieben: > Das mit den Fliesen war doch nur ein Beispiel, um es einfacher > verständlich zu machen > konvex heisst zum Betrachter hin gebogen, UK steht für Unterkonstruktion > Aber ich versuche es anders: auf welchem Radius müssen 10 Geraden, Länge > je 40 cm, angeordnet sein, das die Gesamtbreite am Ende 300 cm beträgt ? Viele Grüße Heinz
Heinz schrieb: >> Aber ich versuche es anders: auf welchem Radius müssen 10 Geraden, Länge >> je 40 cm, angeordnet sein, das die Gesamtbreite am Ende 300 cm beträgt ? > > Viele Grüße > > Heinz unlogisch, zuerst steht die Wand, dann wird gefliest, wer vorher misst, misst 2x
Joachim B. schrieb: > Heinz schrieb: >>> Aber ich versuche es anders: auf welchem Radius müssen 10 Geraden, Länge >>> je 40 cm, angeordnet sein, das die Gesamtbreite am Ende 300 cm beträgt ? >> >> Viele Grüße >> >> Heinz > > unlogisch, zuerst steht die Wand, dann wird gefliest, > > wer vorher misst, misst 2x Zumal man ja noch Fugen hat.
Björn R. schrieb: > Die Lösung von Dirk wird richtig sein. Ich hatte keine Lust zum Rechnen, > aber vielleicht taugts als kleine Verifikation. Quick & Dirty im CAD. > LG, Björn Mag ja sein. Eine kleine Handskizze mit den relevanten Parametern hätte die Lösung beschleunigt. Solche geometrische Probleme nur verbal zu beschreiben, ist ein- fach Mist. ( Wie dick sind denn diese " Fliesen" ? ) Grüße Bernd
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Da gebe ich dir vollkommen recht. Ich habe auch erst hiernach: >>Aber ich versuche es anders: auf welchem Radius müssen 10 Geraden, Länge >>je 40 cm, angeordnet sein, das die Gesamtbreite am Ende 300 cm beträgt ? verstanden, was er möchte und wie die Skizze aussehen könnte. Natürlich könnten die geraden Strecken(eine Gerade ist bekanntlich unendlich lang ;-)) auch außerhalb des Kreises liegen, dann wäre der Kreis ein Inkreis. So ist er ein Umkreis. Das ist also auch nur eine der möglichen Interpretationen des oben Zitierten. Die Skizze ist übrigens natürlich nicht von Hand bemaßt, die gegebenen Maße habe ich eingetragen, den Radius und Durchmesser hat SolidWorks berechnet. Außer der Skizze zur besseren VEranschaulichung ist es also auch eine Verifikation des bereits vorher von Dirk berechneten Ergebnisses durch die Software. LG, Björn
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Bernd F. schrieb: > Björn R. schrieb: >> Die Lösung von Dirk wird richtig sein. Ich hatte keine Lust zum Rechnen, >> aber vielleicht taugts als kleine Verifikation. Quick & Dirty im CAD. >> LG, Björn > > Mag ja sein. Eine kleine Handskizze mit den relevanten Parametern > hätte die Lösung beschleunigt. > > Solche geometrische Probleme nur verbal zu beschreiben, ist ein- > fach Mist. > > ( Wie dick sind denn diese " Fliesen" ? ) > > Grüße Bernd Zumal das alles lieb und recht ist. Aber auf'm Bau gelten Toleranzen von 1-3cm - je nach Alkoholpegel der Maurer und des Polier. Dann kommt ja Fliesenkleber drauf, wobei die Höhe - und damit die Zahnung von der Fliese abhängt. Und dann hängt die Dicke ja schlussendlich auch davon ab, wieviele Unebenheiten man ausgleichen muss. Der Fliesenleger fängt deshalb einfach in der Mitte an, fliest nach links und nach rechts, und schneidet dann bei Bedarf die letzte Reihe. Damit wird es auch 100% symmetrisch. Der Faule angeblich gelernte Depp um's Eck, der sich selbst einen Meister nennt, ist aber dafür zumeist zu faul und schneidet dann halt nur eine Reihe rechts ODER links. Entsprechend beschissen ist das Ergebnis.
Martin S. schrieb: > Zumal das alles lieb und recht ist. Aber auf'm Bau gelten Toleranzen von > 1-3cm - je nach Alkoholpegel der Maurer und des Polier. selbst wenn der TO wirklich selber seinen Trockenbau nüchtern und mit größter Liebe und Sorgfalt nach dieser "Berechnung" vornimmt wird er die Fliesen nicht vorher passend zuschneiden können da wette ich drauf.
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Es geht doch gar nicht um Fliesen, sondern nur um Lösung des mathematischen Problems...
Björn R. schrieb: > Es geht doch gar nicht um Fliesen, sondern nur um Lösung des > mathematischen Problems... Ach! ( Loriot) Da hätte man( frau) das Problem mal richtig anfassen müssen. Vieleck, Ecklänge 400mm. 10 Stück = 3000mm Sehne. Radius ( Innen ? )? ( Eine Handskizze hilft!) Grüße Bernd
Leute, vielleicht wollte er gar keine Fliesen verlegen, vielleicht wollte er nicht mal die Lösung wissen Vielleicht macht er nur eine Statistik - wieviele Leute helfen wirklich, wie viele haben nur immer was zu nörgeln und zu besserwissen
Heinz schrieb: > L.H. schrieb: >> Nein, nicht unter der Würde, sondern noch viel schlimmer. ;) >> Viele haben gar keine Ahnung mehr davon, daß sich mathematische Probleme >> häufig viel schneller auch graphisch lösen lassen. > > Gibt es denn hier einen graphischen Lösungsweg? Ich vermute nein, > zumindest keinen einfachen ? Natürlich gibt es eine graphische Lösung, und die ist auch einfacher als Du Dir das vielleicht vorstellst. ;) Bei dem von Dir gen. Beispiel mit Fliesen dachte ich sofort an eine "baustellengerechte" Lösung, um das auch incl. Fugenbreite(n) realisieren zu können. Denn dazu braucht man dann auch mindestens eine Polygon-Schablone für die UK. Wir können das aber auch weglassen und mit 40 cm Streckenlänge rechnen. Im Prinzip läuft die Lösung auf eine simple Mittelpunkt-Verschiebung von Bögen hinaus. Ausgehend von dem Abstand (= Sehnenlänge) von 3 m, der ja "gehalten" werden muß. Du kannst folglich hergehen und Dir z.B. mit einem Maßstabs-Verhältnis 4 cm = 1 m auf kariertes Papier die 3 m (horizontal) aufzeichnen. Das sind dann 12 cm Gesamtlänge mit Mittelpunkt (MP) bei 6 cm. Durch den MP zeichnest Du eine Vertikale und dann schlägst Du per Zirkel einen Halbkreis mit r = 6 cm bzw. 1,5 m nach oben. Die Bogenlänge dieses Halbkreises kannst Du im Kopf ausrechnen: 1,5 x 3,14 = 4,71 m Kannst Du nicht brauchen, weil das zu lang ist. Du brauchst 4 m Bogenlänge; d.h. 0,71 m weniger Länge, aber diese Länge bei ebenfalls 3 m Sehnenlänge. Folglich mußt Du die Stichhöhe des Bogens (ist der vertikale Abstand vom MP zum höchsten Punkt eines Bogens) nach unten drücken. Um den neuen Bogen erhalten zu können, verkürzt Du z.B. im linken (ursprünglichen) Viertelbogen (oben) die Bogenlänge um 0,355 m. Sind beim gen. Maßstab 1,42 cm. Dann stichst Du den Zirkel im 0-Punkt der 12 cm-Strecke ein und schlägst die verkürzte Bogenlänge auf die MP-Vertikale herunter. Der Schnittpunkt ist dann bereits die Stichhöhe des erforderlichen Bogens. Und die Distanz zwischen diesem Schnittpunkt und der ursprünglichen Halbbogen-Höhe ist die Länge der Mittelpunkt-Verschiebung für den neuen Bogen. Diese Distanz könntest Du unterhalb des MP nach unten auftragen, dort dann den Zirkel einstechen und durch den 0-Punkt und den obersten Punkt des Stichbogens den erforderlichen Stichbogen schlagen. Kontrollieren oder auch alternativ erzeugen kannst Du die korrekte Mittelpunkt-Verschiebung, indem Du den 0-Punkt mit dem "heruntergeschlagenen" Stichhöhe-Punkt durch eine Linie verbindest. Auf dieser Linie zeichnest Du dann eine Mittel-Senkrechte ein, die in ihrer Verlängerung die MP-Vertikale schneidet. Und zwar genau unterhalb des MP mit der o.g. Distanz zwischen den beiden Bogen-Höhen. :) Für die Zeichnung brauchst Du vielleicht 2 min. Vorausgesetzt, Papier, Zirkel und Lineal liegen bereit. Maximal dürfte nur eine "Verfeinerung" des neuen Bogens erforderlich sein. V.a. dann, wenn Du das tatsächlich mal zum Fliesen-Verlegen anwenden willst. Den richtigen Bogen zu ermitteln, ist dabei das Geringste. Aber mit der UK hängst Du dann dran, "wie die Katz am Preßsack". Stütz-Schalungen zum Mauern oder Betonieren von Bögen sind vergleichsweise ein Dreck dagegen. :D
Martin S. schrieb: > Zumal das alles lieb und recht ist. Aber auf'm Bau gelten Toleranzen von > 1-3cm - je nach Alkoholpegel der Maurer und des Polier. Kenne ich ganz anders: 1 m ist auf'm Bau kein Maß. Standard-Spruch, wenn etwas "vergeigt" wurde. :D
Unter Verwendung von Rotationsmatrizen bin ich auf folgende algebraische Gleichung gekommen:
Dabei ist d ist die Breite der Wand, s die Breite der Fliesen und r der
gesuchte Radius des Kreisbogens durch die Fliesenkanten.
Die Lösung der obigen Gleichung für d = 3 m und s = 0,4 m ist
r = 1,56508773923137114307729179175623797543240716341228
04326372828177386469757559128389518117519342012391… m
Die von Dirk gepostete Lösung von Wolfram Alpha (1,5650906332 m) ist
damit immerhin auf 5 Nachkommastellen genau :)
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Hallo Yalu, sieht spannend aus, aber wie kommt man darauf ? Ich will ja auch wissen wie ich das dann nächstes Mal für eine andere Streckenlänge / Gesamtbreite ausrechne ?
Beeindruckende Genauigkeiten. ;) Wie genau muß es denn eigentlich sein? Und was genau haben wir mit dem r ermittelt? Etwas für die Praxis taugliches?? Formeln aus meinem Beton-Kalender zur Verknüpfung von: Bogenlänge b: ist uns bekannt (4 m) Bogensehne s: ist uns bekannt (3 m) Bogenstichhöhe h: ist zu berechnen Bogenradius r: ist zu berechnen a) Näherungsformel für h: h^2 ~ 3 (b^2 - s^2) / 16 h^2 ~ 21 / 16 => ~ 1,3125 h ~ 1,1456 b) Formel für r: r = (s^2 + 4h^2) / 8h r = 14,25 / 9,1648 = 1,554912979 Die vier Nachkommastellen aufgerundet auf zwei: r = 1,56 m Grau ist alle Theorie. :D Und in der Praxis würde ich die vier Nachkommastellen nicht aufrunden, sondern die 1,55 belassen. Aber nur als Anhaltspunkt, der korrekturbedürftig ist. ;) Soll heißen: Auf eine UK läßt sich leichter (notfalls) Material auftragen, als die gesamte Geometrie bzw. den Polygonzug der UK "zurückzusetzen". Graphische Lösung ergab (bei linearer Bogenlängenverkürzung wie beschrieben): r = 1,55 m Auch dieser r ist für die Praxis lediglich als Anhaltspunkt einzuordnen. P.S. Heinz schrieb: > Ich will ja auch wissen wie ich das dann nächstes Mal für eine andere > Streckenlänge / Gesamtbreite ausrechne ? Naja, jetzt weißt Du es ja. Graphisch geht es dennoch erheblich schneller. Mit hinreichender Genauigkeit für die Praxis. :D D.O.
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Heinz schrieb: > sieht spannend aus, aber wie kommt man darauf ? Da die Kanten der einzelnen Fliesen auf einem Kreisbogen mit dem Radius r liegen, können sie durch eine Rotation um den Mittelpunkt des Kreises ineinander übergeführt werden. Der Rotationswinkel zwischen zwei benachbarten Fliesen ist dabei α (s. Abbildung) und errechnet sich aus der Fliesenbreite s und dem Kreisradius wie folgt:
Um daraus eine Rotationsmatrix zu erstellen, werden der Sinus und der Cosinus dieses Winkels benötigt:
Die Rotationsmatrix für die Rotation von einer Fliese zur nächsten ist somit
Um vom Anfangspunkt (r,0) zum Endpunkt zu gelangen, muss man die Rotationsmatrix zehnmal anwenden. Die Gesamtrotation ist somit
mit
und
Die äußere Kante der letzten Fliese liegt also an der Position
Der Verbindungsvektor v zwischen dem den äußeren Kanten der ersten und letzten Fliese ist
Er hat die Länge d, wobei
Bringt man diese Gleichung in die übliche Form einer algebraischen Gleichung mit der Unbekannten r, ergibts sich
In diese Gleichung kann man nun s=0,4m einsetzen und numerisch die Lösung für r berechnen.
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Ein faszinierendes Problem! Nur mal kurz nachgefragt: Ist der Radius nicht eher so bei 155,2 cm zu finden? Die Fliesen werden doch eher außen am Radius befestigt und nicht innerhalb, wie es in den beiden obigen CAD-Zeichnungen gezeigt wurde, womit 1,565 cm wohl richtig ist aber doch nicht für den Bau der Unterkonstruktion?
Peter.N schrieb: > Ein faszinierendes Problem! Finde ich auch. Deshalb bitte ich noch eine weitere (äquivalente) Lösung an: Die Fliesen sind Vektoren in der komplexen Ebene. Die erste Fliese startet bei z0 = r * exp(i(pi/2 + phi)) * exp(i * phi)mit unbekanntem, aber reellen r,phi Die zweite Fliese liegt bei z1 = z0 * exp(i * phi) = r * exp(i(pi/2 + phi)) * exp(i * phi) Die zehnte Fliese bei z10 = z0 * exp(i 10 phi) = r * exp(i(pi/2 + phi)) * exp(i 10 phi) Dann noch die Bedingungen: |z1 - z0| = 0.4 [m] |z10- z0| = 3 [m] |z1 - z0| = r * exp(i(pi/2 + phi))*exp(i * phi) - r * exp(i(pi/2 + phi)) * exp(i*phi) |z10 - z0| = r * exp(i(pi/2 + phi))*exp(i *10phi) - r * exp(i(pi/2 + phi)) * exp(i*phi) Vereinfacht wenn r,phi ... positiv |z1 - z0| = 2r * |sin(phi/2)| = 0.4 Gl1 |z10- z0| = 2r * |sin(5 phi)| = 3 Gl2 Gl1 / Gl2 |sin(phi/2)| / |sin(5 phi)| = 0.4/3 phi = 0.25628 ( periodisch mit 2pi) in Gl1 oder Gl2 eingestzt: r = 1.56509
Beim Übertragen vom Papier haben sich Fehler eingeschlichen. Es muss natürlich so heißen: Die erste Fliese startet bei z0 = r * exp(i(pi/2 + phi)) mit unbekanntem, aber reellen r,phi Die zweite Fliese liegt bei z1 = z0 * exp(i * phi) = r * exp(i(pi/2 + phi)) * exp(i * phi) Die zehnte Fliese bei z10 = z0 * exp(i 10 phi) = r * exp(i(pi/2 + phi)) * exp(i 10 phi) Dann noch die Bedingungen: |z1 - z0| = 0.4 [m] |z10- z0| = 3 [m] |z1 - z0| = r * exp(i(pi/2 + phi))*exp(i * phi) - r * exp(i(pi/2 + phi)) |z10 - z0|= r * exp(i(pi/2 + phi))*exp(i *10phi) - r * exp(i(pi/2 + phi)) Vereinfacht wenn r,phi ... positiv |z1 - z0| = 2r * |sin(phi/2)| = 0.4 Gl1 |z10- z0| = 2r * |sin(5 phi)| = 3 Gl2 Gl1 / Gl2 |sin(phi/2)| / |sin(5 phi)| = 0.4/3 phi = 0.25628 ( periodisch mit 2pi) in Gl1 oder Gl2 eingestzt: r = 1.56509
Ich beneide jeden, der in seiner Arbeit so viel Mathe macht, dass man das ganze noch 5 Jahre nach dem Studium noch kann.
Björn R. schrieb: > Es geht doch gar nicht um Fliesen, sondern nur um Lösung des > mathematischen Problems... Konkav oder Konvex, es ergibt eine Oberflächenvergrößerung, die man sicher aus dem Durchmesser und der Krümmung errechnen könnte...
Mani W. schrieb: > > Konkav oder Konvex, es ergibt eine Oberflächenvergrößerung, die man > sicher aus dem Durchmesser und der Krümmung errechnen könnte... Oberflächenvergrößerung bei einer zu ermittelnden Bogenlinie? Was meinst Du damit?
L. H. schrieb: > Oberflächenvergrößerung bei einer zu ermittelnden Bogenlinie? > Was meinst Du damit? Ich dachte, wenn man einen Durchmesser xxx annimmt, den dann konkav oder konvex verbiegt, dass sich dann die Oberfläche vergrößert...
Damit hast Du wohl etwas in eine falsche Richtung gedacht. :) Denn definitionsgemäß hat eine Linie keine Fläche.
L. H. schrieb: > Denn definitionsgemäß hat eine Linie keine Fläche. Und wenn die Linie verbogen wurde, dann hätte man auf einen Kreis bezogen eine größere Fläche - darum ging es!
Mani W. schrieb: > L. H. schrieb: >> Denn definitionsgemäß hat eine Linie keine Fläche. > > Und wenn die Linie verbogen wurde, dann hätte man auf einen Kreis > bezogen eine größere Fläche - darum ging es! Worum es ging sehe ich zwar anders als Du, aber wenn Du die Aufgabenstellung unbedingt über Flächenveränderung lösen willst: Dann leg los damit. :)
Heinz schrieb: > Aber ich versuche es anders: auf welchem Radius müssen 10 Geraden, Länge > je 40 cm, angeordnet sein, das die Gesamtbreite am Ende 300 cm beträgt ? Ohne zu rechnen, könnte man das als Modell darstellen, in einem geeigneten Maßstab aus stärkerem Zeichenkarton ausschneiden und mit Klebeband verbinden - dann ließe sich das auch ausmessen auf Rasterpapier...
Brut force mit ausreichender(?) Genauigkeit:
1 | #include <iostream> |
2 | #include <complex> |
3 | const double pi = 3.14159265358979; |
4 | |
5 | void radius_problem() |
6 | {
|
7 | for(double r = 1.5; r <= 2.0; r += 0.0001) |
8 | {
|
9 | for(double phi = 0.0; phi <= pi; phi += 0.0001 ) |
10 | {
|
11 | |
12 | complex<double> Z0(r,0.0); |
13 | complex<double> Z1; |
14 | complex<double> Z10; |
15 | |
16 | Z1 = Z0 * exp(I * phi); |
17 | Z10 = Z0 * exp(I * 10.0 * phi); |
18 | |
19 | double x = abs(Z1 - Z0); |
20 | double y = abs(Z10 - Z0); |
21 | |
22 | if( (abs(x - 0.4) < 0.0001) && (abs(y - 3.0) < 0.0001) ) |
23 | {
|
24 | cout << r << " " << phi << endl; |
25 | return; |
26 | }
|
27 | |
28 | }
|
29 | }
|
30 | }
|
Nachtrag:
1 | complex<double> I(0,1); // Declare i |
Resultat: 1.565 0.2563
Mani W. schrieb: > Heinz schrieb: >> Aber ich versuche es anders: auf welchem Radius müssen 10 Geraden, Länge >> je 40 cm, angeordnet sein, das die Gesamtbreite am Ende 300 cm beträgt ? > > Ohne zu rechnen, könnte man das als Modell darstellen, in einem > geeigneten Maßstab aus stärkerem Zeichenkarton ausschneiden und mit > Klebeband verbinden - dann ließe sich das auch ausmessen auf > Rasterpapier... Ganz gute Idee, wenngleich sie mit ziemlich viel Fummelkram verbunden ist, bis die Bogenlinie einigermaßen stimmt, damit man den r messen kann. :) Denke, daß die graphische Lösung die unschlagbar schnellste ist. Bei hinreichender Genauigkeit und auch überall machbar.
Angehängte Dateien:
L. H. schrieb: > Denke, daß die graphische Lösung die unschlagbar schnellste ist. hmm
Reinhard M. schrieb: > L. H. schrieb: >> Denke, daß die graphische Lösung die unschlagbar schnellste ist. > > hmm Verstehe ich das Bild richtig? ca. 71 s Programm-Laufzeit. Und wie lange dauerte die Dateneingabe und/oder schriebst Du am Programm?
Angehängte Dateien:
ja, aber verändern wir die Aufgabenstellung ein bischen. Eine Fliese soll jetzt 0,5 LE haben. Sonst bleibt alles gleich. Ergebnis: siehe Anhang ;-)
Reinhard M. schrieb: > ja, aber verändern wir die Aufgabenstellung ein bischen. > Eine Fliese soll jetzt 0,5 LE haben. > Sonst bleibt alles gleich. Soll das die Antwort auf meine Fragen sein? Befriedigt mich nicht, weil ich das schon genau wissen will. :) Bitte sei so gut und beantworte meine Fragen korrekt und alle.
L. H. schrieb: > Bitte sei so gut und beantworte meine Fragen korrekt und alle. Die Idee das Problem in der Komplexen Ebene zu lösen und die entsprechenden Formeln aufzustellen haben mich schon einige Stunden 'gekostet'. Die Umsetzung in ein C++ Programm ca. 1/2 Stunde. Aber wieso soll das wichtig sein. Ich habe jetzt eine Lösungsmethode, die ich innerhalb von Sekunden an eine veränderte Aufgabenstellung anpassen kann.
L. H. schrieb: > Damit hast Du wohl etwas in eine falsche Richtung gedacht. :) > Denn definitionsgemäß hat eine Linie keine Fläche. Ich sehe es so: Stellt man sich die Linie als Faden vor, der sich in oder um die kovex/konkav Form anlegt dann hätte man auf einen Durchmesser von 10 Metern eine wesentlich größere Fläche als 78,54 m2
Reinhard M. schrieb: > L. H. schrieb: >> Bitte sei so gut und beantworte meine Fragen korrekt und alle. > > Die Idee das Problem in der Komplexen Ebene zu lösen und die > entsprechenden > Formeln aufzustellen haben mich schon einige Stunden 'gekostet'. > Die Umsetzung in ein C++ Programm ca. 1/2 Stunde. Danke Dir für die Antwort. :) Auch eine gute Idee, und das spezielle "Hirnen" "kostet" immer Zeit. > Aber wieso soll das wichtig sein. Naja, wir Menschen sind ja alle "Gewohnheitstiere", vorgeprägt in unserem Denken und so gesehen nahezu unfähig dazu, auch in andere Richtungen zu denken. Was v.a. dann zutrifft, wenn z.B. für bestimmte Probleme bereits Lösungs-Verfahren tief im Kopf verankert sind. Wozu sollte man dann diesbzgl. überhaupt noch über andere Lösungsmöglichkeiten nachdenken? Ist es nicht bemerkenswert, wie viele Lösungsmöglichkeiten hier für die r-Ermittlung angeführt wurden? Das kann man zur Kenntnis nehmen oder auch versuchen, sie zu bewerten: 1) nach der Zeit, um eine Lösung zu erhalten; und 2) nach der Praktikabilität, um zur Lösung kommen zu können - durchaus auch unter Einbeziehung von Extremsituationen (Stromausfall, Laptop-Akku leer, kein Zugriff auf's Internet möglich usw.) Bzgl. 1) ging ich gedanklich davon aus, daß Du mindestens ein kurzes Programm geschrieben haben müßtest, um das bewerkstelligen zu können. Was ja in - sagen wir - zwei bis fünf Minuten kaum möglich ist. Aber dann schon zu 1) mit einzubeziehen wäre. ;) Insoweit wunderte ich mich etwas darüber: > L. H. schrieb: >> Denke, daß die graphische Lösung die unschlagbar schnellste ist. > > hmm Beziehen wir 2) auch noch mit ein, was bleibt dann übrig? Entweder die graphische Lösung oder die von Mani W., weshalb ich auch die ganz gut fand, weil sie mit einfachsten Mitteln überall machbar ist. (Muß ja nicht unbedingt Karton und Klebeband sein: es geht nur um die gute Idee zum Lösungsverfahren an sich.) > Ich habe jetzt eine Lösungsmethode, die ich innerhalb von Sekunden an > eine veränderte Aufgabenstellung anpassen kann. Tolle Sache. :) Offengestanden weiß ich nicht, ob es vergleichbare Programme bereits gibt. Hast Du schon mal daran gedacht, das evtl. kommerziell zu verwerten?
Mani W. schrieb: > Ich sehe es so: > > Stellt man sich die Linie als Faden vor, der sich in oder um > die kovex/konkav Form anlegt dann hätte man auf einen Durchmesser > von 10 Metern > eine wesentlich größere Fläche als 78,54 m2 Bist wohl "infiziert" bzgl. Lösungsmöglichkeiten? Kenne ich: Tickt in der "geistigen Oberwelle" unaufhörlich weiter. :) (Bzgl. Thema tickt da bei mir aber schon lange nichts mehr.) So recht verstehe ich aber nicht, was Du meinst. Wieso D 10 m? Worauf beziehen sich die 78,54 m^2?
Beispiel Durchmesser 10 m, Fläche folglich 78,54 m2... Wenn ich diese Fläche krümme, dann ist sie wohl krumm, auch wenn es nur eine Linie ist? Aber eine gekrümmte Fläche mit einer Linie Darüber wird wohl ein anderes Verhältnis sein als eine ebene Fläche? Also, gebogen nach unten oder oben wird wohl die Fläche vergrößern...
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ich hab das mal so gerechnet: aus der Skizze ergeben sich die Gleichungen r*sin(a)=20 (1) r*sin(10a)=150 (2) (1) nach a aufgelöst: a=arcsin(20/r) in (2) eingesetzt: r*sin(10*arcsin(20/r))=150 (3) (3) in WolframAlpha eingegeben ergibt r~156.508773923137114307729179175623797543240716341228043263728281773864 697575591283895181175193420123912192101774322165875277721317852211098471 8756097570047973286
Earl S. schrieb: > (3) in WolframAlpha eingegeben ergibt > > r~156.508773923137114307729179175623797543240716341228043263728281773864 > 697575591283895181175193420123912192101774322165875277721317852211098471 > 8756097570047973286 Kann hier niemand mehr normal rechnen?
Mani W. schrieb: > Kann hier niemand mehr normal rechnen? stört dich die Tatsache, dass ich das mit einem online-Gleichungslöser gerechnet habe, oder die Stellenzahl des Ergebnisses? zu ersterem: nein, ich kann das nicht ohne eine solche Hilfe rechnen. zum zweiten: zugegeben, man hätte sich bei der Genauigkeit auf den Durchmesser eines Elektrons beschränken können. Mehr macht wirklich keinen Sinn.
Earl S. schrieb: > aus der Skizze ergeben sich die Gleichungen Wenn Du sowieso schon eine Skizze machst, dann ist das bereits die "halbe Miete" der graphischen Lösung. ;) Dennoch eine weitere gute Idee zu den Lösungsmöglichkeiten. :) Mani W. schrieb: > Kann hier niemand mehr normal rechnen? "Normal" ist immer arg relativ. :) Stell Dir vor, ein Raum-Flugkörper (Sonde o.ä.) soll auf den Weg zu einem weit entfernten Zielobjekt gebracht werden. Der Start per Träger-Rakete ist von vielen Unwägbarkeiten, z.B. Winddruck auf die Rakete (unterwegs), begleitet. Was Kurskorrekturen erforderlich macht. Rechner können die mit einer Genauigkeit "erledigen", die letztlich sicherstellt, daß der Flugkörper auch das Ziel erreicht. Bei "Metermaß-Genauigkeit" reichen drei Kommastellen, z.B. 1,565 m, aus. Denn da "verzittert" man ja schon den halben mm bei einer Markierung von ihm. ;)
Die gültigen Stellen gibt das unpräziseste Messgerät in der Anordnung vor.
Mani W. schrieb: > Stellt man sich die Linie als Faden vor, der sich in oder um > die kovex/konkav Form anlegt dann hätte man auf einen Durchmesser > von 10 Metern > eine wesentlich größere Fläche als 78,54 m2 Das war gedacht als gespannter Faden über den Durchmesser - wenn die Fläche jetzt gebogen wäre, dann läge der Faden in gerader, gebogener Linie an der Form... Angenommen, dieser Durchmesser von 10 Metern wäre gleichmäßig gebogen, dann müsste man doch anhand der Länge des Fadens und des Durchmessers die Fläche errechnen können, oder nicht?
Mani W. schrieb: > Mani W. schrieb: >> Stellt man sich die Linie als Faden vor, der sich in oder um >> die kovex/konkav Form anlegt Wir wissen, daß es um einen konvexen Polygonzug geht, von dem der Umkreis-r zu ermitteln ist. >> dann hätte man auf einen Durchmesser >> von 10 Metern Welchen Durchmesser von 10 m? Was meinst Du damit? >> eine wesentlich größere Fläche als 78,54 m2 Ich weiß immer noch nicht, wie Du auf die 78,54 m^2 kommst. > > Das war gedacht als gespannter Faden über den Durchmesser - > wenn die Fläche jetzt gebogen wäre, dann läge der Faden in gerader, > gebogener Linie an der Form... Welche gebogene Fläche? Welche Form? > > Angenommen, dieser Durchmesser von 10 Metern wäre gleichmäßig > gebogen, dann müsste man doch anhand der Länge des Fadens und des > Durchmessers die Fläche errechnen können, oder nicht? Welche Fläche sollte errechnet werden und wozu? Offengestanden verstehe ich nicht, in welche Richtung Du hier überhaupt denkst. :) Magst Du das mal näher erklären? Laut Aufgabenstellung ist ein r zu suchen. Mit dem richtigen r werden weitere Angaben der Aufgabe erfüllt: 1) er schneidet die Eckpunkte des Polygonzuges, der aus 10 Fliesen mit je 0,4 m Länge besteht; und zwar so, daß 2) Anfangs- und Endpunkt des Polygonzuges 3 m auseinander liegen. Den (Teil-)Umkreis aus 1) und die Distanz aus 2) können wir uns auch fadenförmig vorstellen. Oder wie in Deiner w.o. vorgeschlagenen Lösung aus Karton. Spielt alles keine Rolle. Maßgeblich sind nur die einzuhaltenden Längen von 3 und 4 m. Weitergehend können wir den Polygonzug mit 4 m Länge als Ausschnitt aus einem in sich geschlossenen Polygon mit r verstehen. Deshalb habe ich Dir etwas herausgesucht, was Dir bei Deinen Flächenüberlegungen vielleicht helfen kann. Wenn Du da oben bei (a) 0,4 und (n) 24 sowie unten bei (d_i) 10 eingibst, werden die anderen Werte berechnet. https://rechneronline.de/pi/vieleck.php Warum die berechneten Werte ungenau sind, weiß ich nicht. Kann aber ein Anhaltspunkt für Deine Überlegungen sein. ;)
Mich beschäftigte der Gedanke, warum das o.g. Berechnungsprogramm "falsche" Werte liefert. Denn bei allen hier im Thema gen. Lösungswegen kamen wir übereinstimmend auf einen r von ca. 1,565 m. Folglich sollte dieser r jedenfalls richtig sein, und die "Ecken-Anzahl-Annahme" muß falsch gewesen sein. (Weil an sich auszuschließen ist, daß ein Rechenprogramm falsche Werte liefert) Das Rechenprogramm liefert für 24 Ecken r = 1,532 Und für 25 Ecken r = 1,596 Mittelwert dieser beiden r ist 1,564 Ein Polygon mit 24,5 Ecken?? Bei Eingabe von 24,5 Ecken "springt" das Programm auf 25 Ecken. Merkwürdige Sache. ;)
L. H. schrieb: > Ein Polygon mit 24,5 Ecken?? dein Denkfehler ist, dass du annimmst, dass die 10 Linien einen Teil eines regelmäßigen Polygons bilden. Das ist aber nicht der Fall. Wenn man die Fliesen weiterzeichnet, trifft man nicht auf den Anfang.
(pi+r*2°/(tan b - fi))^3,41
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Earl S. schrieb: > L. H. schrieb: >> Ein Polygon mit 24,5 Ecken?? > > dein Denkfehler ist, dass du annimmst, dass die 10 Linien einen Teil > eines regelmäßigen Polygons bilden. Das ist aber nicht der Fall. Wenn > man die Fliesen weiterzeichnet, trifft man nicht auf den Anfang. Ja, das war ein Denkfehler - da hast Du recht. Ein Polygonzug muß nicht ein "Teilzug" eines regelmäßigen Polygons sein. Weshalb ich das auch bereits selbst in Frage stellte. Eine Alternative zu den bisherigen Lösungsvorschlägen kann der Denkansatz ohnehin nicht sein. Weil die vorhandenen Angaben zum Polygonzug, 3 m Sehnenlänge und 4 m Bogenlänge, völlig dazu ausreichen, um den gefragten r ermitteln zu können.
Reinhard M. schrieb: > Ich habe jetzt eine Lösungsmethode, die ich innerhalb von Sekunden an > eine veränderte Aufgabenstellung anpassen kann. Ich bitte Dich um einen Gefallen, den Du mir mit veränderten Aufgabenstellungen tun könntest. :) Es geht dabei nur um veränderte Bogen- und Sehnenlängen. Willst und kannst Du Dir bitte die Zeit nehmen, mir den Gefallen zu erweisen?
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L. H. schrieb: > Ich bitte Dich um einen Gefallen, den Du mir mit veränderten > Aufgabenstellungen tun könntest. :) > Es geht dabei nur um veränderte Bogen- und Sehnenlängen. Ja;-) Aber ich sage Dir gleich es gibt Werte für die keine Lösung existiert und ich versuche genau zu erklären warum. Es läuft immer auf ein NICHTLINEARES Gleichungssystem mit 2 Unbekannten (phi,r) hinaus. Gl.1: 2r * |sin(phi/2)| = 0.4 // Fliessenlänge Gl.2: 2r * |sin(5phi) | = 3 // Sehne Jetzt teilen wir Gl.1 durch Gl.2, 2r kürzt sich weg und wir erhalten |sin(phi/2)| / |sin(5phi) | = 0.4 / 3 Die linke Seite der Gleichung wird als Funktionsgraph gezeichnet (GRÜN) Dann zeichnen wir die Gerade y = 0.4/3 (BLAU) Die x-Werte der Schnittpunkte liefern den gesuchten Wert für phi, der diese Gleichung erfüllt. Daraus wieder in Gl.1 oder Gl.2 eingesetzt und wir erhalten r. Dann gibt es Geraden die keine sinnvolle (ROT) oder gar keine Lösung liefern, weil es keinen Schnittpunkt gibt (BRAUN). Du kannst Dir also selber mit irgendeinem Matheprogramm deine Werte ausrechnen. Im angehängten Beispiel habe ich GeoGebra verwendet, das eignet sich sehr gut dazu und ist kostenlos. Mein C++ Programm macht nichts anderes als mit einem Brut Force Ansatz 2 passende Werte für phi und r zu finden. Ich kann Dir auch nichts versprechen wann ich wieder Zeit habe, heute eher nicht mehr. (Arbeit;-(
L. H. schrieb: > Ich bitte Dich um einen Gefallen, den Du mir mit veränderten > Aufgabenstellungen tun könntest. :) > Es geht dabei nur um veränderte Bogen- und Sehnenlängen. willst du nur das Ergebnis wissen? dann kannst du einfach die Gleichung aus meinem obigen Beitrag nehmen r*sin(10*arcsin(20/r))=150 die 150 ersetzt du durch deine halbe Sehnenlänge und gibst die Gleichung hier ein: https://www.wolframalpha.com/ auf = klicken und schwupp, das Ergebnis steht da.
Earl S. schrieb: > willst du nur das Ergebnis wissen? und auch hier finden sich Verhältnisse die zu keiner reellen Lösung führen. z.B. r*sin(10*arcsin(20/r))=300 warum s.o.
Reinhard M. schrieb: > und auch hier finden sich Verhältnisse > die zu keiner reellen Lösung führen. den Satz muss ich mir merken, falls ich mal jemand erklären muss, dass 10 Fliesen à 40cm nicht für eine 6m breite Wand reichen.
Earl S. schrieb: > den Satz muss ich mir merken, falls ich mal jemand erklären muss, dass > 10 Fliesen à 40cm nicht für eine 6m breite Wand reichen. genau, es lässt sich alles mathematisch beweisen ;-)) 1+
Reinhard M. schrieb: > Du kannst Dir also selber mit irgendeinem Matheprogramm deine > Werte ausrechnen. > Im angehängten Beispiel habe ich GeoGebra verwendet, das eignet sich > sehr gut dazu und ist kostenlos. Danke für Deine Antwort und diesen Tip. :) > Mein C++ Programm macht nichts anderes als mit einem Brut Force Ansatz > 2 passende Werte für phi und r zu finden. Ja, letztlich kann es bei exakten Berechnungen nur darum gehen, in Abhängigkeit von der Sehnenlänge (z.B. 3 m) über den Öffnungs- bzw. Zentriwinkel (phi) den passenden r zu finden. Der sicherstellt, daß sich über der Sehne eine ganz bestimmte Bogenlänge (z.B. 4 m) ergibt. > Ich kann Dir auch nichts versprechen wann ich wieder Zeit habe, > heute eher nicht mehr. (Arbeit;-( Brauchst mir auch nichts bzgl. Zeit zu versprechen. Denn gedacht ist schnell (manchmal auch in eine falsche Richtung ;) ) und bei den "unmöglichsten" Gelegenheiten. :) Beim Autofahren wusch ich neulich die verdreckte Frontscheibe. Die Wischer zogen dabei im Dreck bogenförmige Linien. Und deshalb dachte ich unwillkürlich wieder an die Bogenlinie hier. Genauer gesagt an die Verknüpfung von: Bogenlänge b Bogensehne s Bogenstichhöhe h Erfaßt durch die Näherungsformel: h^2 = (3/16) * (b^2 - s^2) Diese Formel schrieb ich mir mal auf, weiß aber nicht mehr, woher ich sie habe bzw. wie sie hergeleitet wurde. Bestechend an der Formel ist, daß die Bogenstichhöhe h ohne r berechnet werden kann. Dazu müssen nur b und s bekannt sein. Haben wir aber h berechnet, läßt sich damit auch r berechnen: r = (s^2 + 4h^2) / 8h Beim Autofahren fragte ich mich auch, ob es möglich ist, die Näherungsformel für einen eingeschränkten r-Bereich (z.B. r max. 2 m) genauer gestalten zu können. Denn es könnte sein, daß die Näherungsformel alle r (bis gegen unendlich) erfaßt. Bezogen auf den hier konkreten Fall fing ich schon mal an, den Faktor 3/16 "anzupassen". Damit bin ich aber noch nicht ganz "durch"; d.h. es wird noch etwas dauern. Sollte aber möglich sein, weil alle Werte genau vorliegen.
L. H. schrieb: > Bestechend an der Formel ist, daß die Bogenstichhöhe h ohne r > berechnet werden kann. > Dazu müssen nur b und s bekannt sein. Die Bogenlänge b kennen wir doch gar nicht. Zumindest wenn es sich immer noch um das 'Fliesenproblem ' handelt. Wir kennen die Streckenlängen der Fliesen (0,4m), deren Anzahl (10) und die Entfernung der Eckpunkte (3m). Die Bogenlänge ist die Länge des gekrümmten Kreisbogens. Das die Bogenlänge = 10 * 0,4 ist, ist doch nur eine weitere Näherung, die in der Praxis vermutlich keine Rolle spielt, aber exakt kennen wir aus diesen Angaben die Bogenlänge nicht. Aber vlt. habe ich Dein Ziel noch nicht verstanden. P.S. ich muss dringend meine Wischanlage reparieren ;-)
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Siehst Du was ich meine ? Die Summe der roten Strecken (2 davon eingezeichnet) sind nicht gleich der Bogenlänge.
Reinhard M. schrieb: > Das die Bogenlänge = 10 * 0,4 ist, ist doch nur eine weitere Näherung, > die in der Praxis vermutlich keine Rolle spielt, > aber exakt kennen wir aus diesen Angaben die Bogenlänge nicht. Ja, ist richtig. Wir suchten einen r, dessen Bogen die Eckpunkte des Polygonzuges schneidet. > Aber vlt. habe ich Dein Ziel noch nicht verstanden. Mir geht es um eine Korrektur des Näherungswertes für h, weil ich nicht weiß, wie ungenau der ist. Spielt sicher für die Praxis auch nicht unbedingt eine Rolle, aber es "fuchst" mich halt irgendwie. ;) Es ist auch besser, eine evtl. Korrektur gleich über die richtige Bogenlänge zu tun und nicht über die angenäherten 4 m. > P.S. ich muss dringend meine Wischanlage reparieren ;-) Damit Dir sonstwas einfällt, wenn an der Frontscheibe Bögen entstehen? ;)
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Earl S. schrieb: > L. H. schrieb: >> Ich bitte Dich um einen Gefallen, den Du mir mit veränderten >> Aufgabenstellungen tun könntest. :) >> Es geht dabei nur um veränderte Bogen- und Sehnenlängen. > > willst du nur das Ergebnis wissen? Sieh es mir bitte nach, daß ich Deine Frage erst jetzt beantworte: Nein, mich interessiert die Korrektur der Näherungsformel h^2 = 3(b^2 - s^2)/16 Was unter Verwendung aller vorliegenden genauen Werte auch möglich ist. ;) Die o. angehängte Skizze ist "frei Schnauze" gezeichnet; d.h. nicht maßstabsgerecht. Sie soll nur den Grundgedanken der bereits w.o. erwähnten Mittelpunkt-Verschiebung verdeutlichen. Diese basiert darauf, daß ein zu suchender Kreis (rot) auf der Vertikalen durch den Mittelpunkt (MP) der Sehne s (dicke horizontale Linie) seinen Mittelpunkt MP' haben muß. Der Halbkreis über s mit r=1,5 m hat eine Stichbogenhöhe von 1,5 m und einen Zentriwinkel phi von 180°. Wenn wir diesen Bogen so verändern wollen, daß sich eine andere Stichbogenhöhe h (< 1,5 m; z.B. 1,119 m) ergibt, ist das nur dadurch möglich, daß wir die Sehne s einen anderen Kreis schneiden lassen, dessen MP' unterhalb von MP ist. Was zwangsläufig dazu führt: 1) der r des anderen Kreises (rot), bezogen auf seine Schnittpunkte mit dem Anfangs- und Endpunkt der Sehne (3 m) und der "neuen" Stichbogenhöhe h (1,119 m), wird größer. 2) der relevante Zentriwinkel phi wird kleiner als 180°. Der Abstand zwischen MP und MP' ist 0,446346278 m (genau; für die Korrektur der Näherungsformel). Der Zentriwinkel phi ist 146,858° (genau). Daraus läßt sich die Bogenlänge b = r*pi*phi/180 berechnen: 4,011336 m (genau) Die Werte, eingesetzt in die Näherungsformel h^2 = 3(b^2 - s^2)/16, ergeben für h den Wert 1,153051, der zu groß ist. Denn h ist 1,565 - 0,446 = 1,119 m Korrekturfaktor für die Näherungsformel: 1,119/1,153 => *0,9705* (h = 1,153*0,9705 = 1,1189; aufgerundet 1,119) Bei bekannter Stichbogenhöhe h läßt sich für s (z.B. 3 m) b berechnen. Und auch r, sofern man den überhaupt haben will. ;) In der Praxis ist es, wie z.B. im eingangs gen. Beispiel von Heinz, nämlich nicht realistisch, in eine Wand ein Loch zu hauen, um per r des Stichbogens dessen Bogenlinie aufzeichnen zu können. :D Berechnen läßt sich der "passende" Stichbogen iterativ entweder (ohne jeglichen Rechner) aus entspr. Tabellenwerken oder Berechnungsprogrammen, wie z.B. diesem hier: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kreissehnen.htm (Dabei muß man aber etwas vorsichtig sein, weil in Rechenprogrammen manchmal die Stichbogenhöhe falsch angegeben/eingezeichnet ist. So wie das auch in diesem Programm der Fall ist (vgl. Skizze ganz unten links). Die Stichbogenhöhe h ist immer die Distanz zwischen MP Sehne und der max. Bogenhöhe. Man muß im Programm folglich h bei a angeben, damit das richtig funktioniert). Ansonsten ist das Programm recht gut, weil es erlaubt, nur jeweils vorhandene Werte einzugeben. Auch nur zwei. Z.B. nur s und h. Wenn man h (richtig bei a) eingibt, taucht bei h der Wert 0,466 auf. Das ist aber der Abstand zwischen MP und MP'. ;) @Reinhard M.: In Deiner zuletzt angehängten Datei (Clipboard02) ist unten ein Wert für phi angegeben: 0,3.. Läßt sich daraus der Zentriwinkel phi von 146,858° ermitteln?
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Na, endlich kann ich wieder ruhig schlafen... Hab zwar nicht verstanden wie man das rechnerisch oder mit Zirkel und Lineal lösen kann, aber mal GeoGebra [1] installiert und damit ist das völlig einfach! Schnittpunkt C im Bild ist der gesuchte Außenradius, für eine UK gilt als Radius natürlich L, um zu prüfen ob das alles immer so zutrifft, habe ich die Randbedingungen in obigem Bild mal geändert: Breite 200cm, 8 Fliesen mit 30cm, Radius=? Passt perfekt, vielen Dank Earl Sinclair für diese Formel: r*sin(10*arcsin(20/r))=150 [1] https://www.geogebra.org/
Peter.N schrieb: > ...für eine UK gilt > als Radius natürlich L,... Für eine UK gilt als Radius natürlich L nicht. ;)
Sicher? Hatte ich weiter oben schon mal nachgefragt... Es geht doch im Erstpost ums Fliesenlegen und um nochmal darauf zurückzukommen: sollte der Fliesenleger auf diese UK mit Radius 156.50877...cm treffen, wird er die Fliesen da außenherum anbringen, angefangen von irgendeiner Seite und später feststellen: Hoppla, auf der anderen Seite fehlen mir ja noch ein paar Zentimeter zum perfekten Wandanschluss! Oder nicht?
Peter N. schrieb: > Sicher? Ja, 100%. :) Denke, bei allen Berechnungen sollte man nicht das "Augenmaß" dafür verlieren, wozu sie eigentlich dienen sollen. Fliesen gibt es konkret nun mal nicht linienförmig. Und spätestens dann, wenn es konkret um eine UK geht, müssen alle bisher angeführten Lösungen korrigiert werden. > sollte der Fliesenleger auf diese UK mit Radius 156.50877...cm treffen, > wird er die Fliesen da außenherum anbringen, angefangen von irgendeiner > Seite und später feststellen:... Glaube nicht, daß der Fliesenleger überhaupt anfängt, auf einem r von 1,565 m die Fliesen zu verlegen. Der wird erst mal "zucken", wenn er den Bogen sieht, dazu aber noch nichts sagen. Sondern die Bogenlänge nachmessen und dann sagen: Auf diese UK kann ich keine Fliesen so verlegen, daß nur volle Fliesenlängen (40 cm) verbaut sind. Jedenfalls nicht mit einigermaßen gefälligen Fugen und auch nicht bis an die Enden des Bogens. Die ganze UK könnt Ihr komplett wieder abreißen und ganz anders wieder aufbauen. Und zwar so... Anderenfalls mache ich das nicht. So sieht die Realität aus. :D Denke aber, wir sehen das recht ähnlich.
Aber es ging doch überhaupt nicht um Fliesen :) Heinz schrieb: > Das mit den Fliesen war doch nur ein Beispiel, um es einfacher > verständlich zu machen
Yalu X. schrieb: > Aber es ging doch überhaupt nicht um Fliesen :) > > Heinz schrieb: >> Das mit den Fliesen war doch nur ein Beispiel, um es einfacher >> verständlich zu machen Naja, auch Du gingst doch bei Deiner Berechnung (nach der Äußerung von Heinz) noch von Fliesen aus. ;) Yalu X. schrieb: > Unter Verwendung von Rotationsmatrizen bin ich auf folgende algebraische > Gleichung gekommen: > ... > Dabei ist d ist die Breite der Wand, s die Breite der Fliesen und r der > gesuchte Radius des Kreisbogens durch die Fliesenkanten. > > Die Lösung der obigen Gleichung für d = 3 m und s = 0,4 m ist > > r = 1,56508773923137114307729179175623797543240716341228 > 04326372828177386469757559128389518117519342012391… m Mit der aufgezeigten Lösung kannst Du zwar den r von mir aus auf sonstwelche Kommastellen genau ausrechnen. Aber dennoch ist er aus mehreren Gründen korrekturbedürftig, wenn es um Fliesen bzw. die UK dafür geht. Genau so ist auch die mit abgewandelten Daten exemplarisch mit GeoGebra ermittelte Lösung von Peter N korrekturbedürftig. Jedenfalls, was die UK anbelangt sowie auch die Sehnenlänge, weil Fiesen nun mal nicht linienförmig sind, sondern halt auch eine Bauhöhe haben. :D
L. H. schrieb: > Naja, auch Du gingst doch bei Deiner Berechnung (nach der Äußerung von > Heinz) noch von Fliesen aus. ;) Ja, ich verwendete den Begriff aber nur, damit den Bezug zur Aufgabenstellung im Eröffnungsbeitrag nicht verloren geht. Eigentlich ist mit "Fliese" eine Kreissehne mit der entsprechenden Länge gemeint, so wie von Björn in diesem Beitrag gezeichnet: Björn R. schrieb: > Quick & Dirty im CAD. So wurde das auch von Heinz bestätigt: Heinz schrieb: > Weiter oben hat Björn R eine Skizze gemacht, genau so soll es aussehen Vorher war mir das auch nicht klar, danach hatte sich der unglücklich gewählte Begriff "Fliese" innerhalb dieses Threads schon so eingebrannt, dass ich davon ausging, dass jeder wusste, was damit gemeint ist. Im Gegensatz zu einer Kreissehne liegt eine echte Fliese natürlich nicht innerhalb der zylindrischen Unterkonstruktion, sondern tangential darauf. Des Weiteren hat sie – wie du richtig schreibst – eine Dicke > 0, weswegen erst einmal festzulegen wäre von welchen Punkten der beiden äußeren Fliesen der Abstand von 3m gemessen wird. Außerdem werden Fliesen normalerweise so verlegt, dass dazwischen eine Fuge bleibt, weswegen auch die Fugenbreite spezifiziert werden müsste. Das alles macht die Sache natürlich etwas komplizierter als sie tatsächlich gedacht ist. Dabei verläuft die Berechnung für echte Fliesen gar nicht viel anders als für die Kreissehnen. Aber man braucht eben ein paar zusätzliche Informationen, um die Aufgabe zu lösen.
Yalu X. schrieb: > Aber es ging doch überhaupt nicht um Fliesen :) Für mich ging es von Anfang an um die Verteilung von 10 Punkten in der komplexen Ebene, die alle auf einem Kreis liegen müssen, von einander einen gewissen Abstand haben müssen und der Abstand vom ersten bis zum letzten Punkt muss auch erfüllt sein. Ging's um was anderes ? ;-)
Auf jeden Fall ging es im Erstpost um was anderes, etwas später wurde die Frage dann „angepasst”.
Reinhard M. schrieb: > Für mich ging es von Anfang an um die Verteilung von 10 Punkten > in der komplexen Ebene, die alle auf einem Kreis liegen müssen, Hä? Ich dachte es ging um 10 Fliesen. Das sind 9 Punkte auf dem Kreis. Wenn du die Basispunkte mitzählst, sind es 11.
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