LR-Glied Meine Rechenschritte!

[Johann H. (johann_h821)]

Strom durch Spule wenn S1 geschlossen ist

-> 0,3333A

Strom durch Spule wenn S1 offen und S2 geschlossen ist -> 3,25A

Also steigt der Strom um 2,9167A an.

Diese Differenz 2,9167 * e ^ (-t * L/R3)???
t = 132ms

ergibt -> 0,1322A

Ziehe ich diese 0,1322A von 3,25A ab ergibt

-> 3,117785A !!!

Stimmen die Schritte?

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Ja, diese Schritte sind auch numerisch nachvollziehbar; für mit lesende 
Instanzen hier etwas ausführlicher.

Vor Äonen wurde der erste Schalter (links) geschlossen, sodass die 
Induktivität "L" gegenwärtig im stationären Zustand vom Strom

$$i(0\ \mathrm{s}) = \frac{U_{e1}}{R_3} \cdot \frac{\frac{1}{\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}}}{R_1 \ + \frac{1}{\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}}} \ = \ \frac{1}{3} \mathrm{A}$$

 durchflossen ist.

(Johann hat es richtig dargestellt: nach Umschaltung liegt R2 parallel 
an der idealen Spannungsquelle Ue2 und hat keinen Einfluss mehr.)

Damit folgt für ab jetzt (t >= 0s), z. B. mittels Laplace 
-Transformation, die  Strom -Zeitfunktion

$$i(\overbrace{t}^{132 \mathrm{ms}}) \ = \ \overbrace{ \ \ \frac{U_{e2}}{R_3} \ \ }^{3.25 \mathrm{A}} \ -\underbrace { \underbrace{\left \lbrace \overbrace{\ \ \frac{U_{e2}}{R_3} \ \ }^{3.25 \mathrm{A}} -\overbrace{i(0 \ \mathrm{s})}^{0.333\cdots \mathrm{A}} \right \rbrace}_{2.91666\cdots\mathrm{A}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{ \overbrace{t}^{132 \mathrm{ms}} }{ \ \ \underbrace{\tau }_{\frac{L}{R_3}} \ \ }}}_{0.132217\cdots \mathrm{A}} \ = \ 3.1177827 \cdots \mathrm{A},$$

 wie Johann zuvor darlegte.

(Bemerkenswert: Dieses Resultat weicht leicht ab von der im 
entsprechenden gelb hinterlegten Formular -Feld als möglich 
vorgeschlagene Antwort).

[Vorsicht da oben im Exponenten: es heisst e hoch minus t/tau, wobei tau 
{42.666... ms} hier "L/R3".]

Ausserdem muss, nebenbei erwähnt, die Spannung über der Induktivität 
gemäss Masche

$$u_L(\overbrace{t}^{85.3 \mathrm{ms}}) \ = \ \overbrace{U_{e2}}^{39 \mathrm{V}} \ - \overbrace{R_3}^{12 \Omega} \cdot \overbrace{i(t)}^{2.8549 \cdots \mathrm{A}} \ = \ 4.74043 \cdots \mathrm{V}$$

 sein.

Auch in diesem Fall weicht der im gelb hinterlegten Feld angegebene 
Spannungs -Wert vom hier errechneten etwas ab; jedoch war dies wohl auch 
Absicht der Aufgabe.

Wer bei dieser Aufgabe alle vorgeschlagenen möglichen Antworten 
übernimmt, hat nicht schlecht geraten, aber auch bewiesen, dass die 
lösende Instanz die Aufgabe gar nicht durchgerechnet hätte.

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Zwecks Nachvollziehbarkeit wollte ich hier noch die entsprechende DGL 
zusammen mit der Laplace -Transformation angeben, für mit lesende 
Instanzen.

Sobald der Schalter rechts geschlossen (& instantan der links geöffnet), 
gilt die Maschengleichung im Zeitbereich

$$\overbrace{\underbrace {U_{e2} \cdot \epsilon(t)}_{u_{e2}(t)}}^{ \circ-\bullet \ \frac{U_{e2}}{s}} \ = \ R_3 \cdot \overbrace{i(t)}^{\circ-\bullet \ I(s)} \ + \ L \cdot \overbrace{i'(t)}^{\circ-\bullet \ s \cdot I(s) \ - i(0\mathrm{s})}$$

 (links die Sprung -Funktion, oben mit vorbereiteten Laplace 
-Korrespondenzen).

Hier ist als "Anfangsbedingung" der {ja bereits für die erste 
Teilaufgabe ermittelte} Wert i(0s) {= 1/3 A} bemerkenswert.

Diese Gleichung "oben" abgelesen und partialbruchzerlegt umgestellt 
ergibt die Stromfunktion

$$\underbrace{I(s)}_{ \bullet -\circ \ i(t)} \ = \ \underbrace {\frac{1}{s} \cdot \frac{U_{e2}}{R_3}}_{ \bullet -\circ \ \frac{U_{e2}}{R_3}} \ - \left \lbrace \ \frac{U_{e2}}{R_3} \ -i(0\mathrm{s}) \right \rbrace \cdot \underbrace{\frac{1}{s \ + \frac{R_3}{L}}}_{\bullet -\circ \ \mathrm{e}^{-t \cdot \frac{R_3}{L}}}$$

 im Bild -Bereich.

Die {Laplace -} Rücktransformation {dieser Stromfunktion im Bildbereich} 
ergibt, wie in den Korrespondezen unterklammert angedeutet, die zuvor 
24.03.2024 04:30 erwähnte Strom -Zeitfunktion i(t).

[Johann H. (johann_h821)]

Herzlichen Dank für diese detaillierte Berechnungserklärung.

Mich verwunderte auch, dass sich die angegebene Zahlen nicht rechnerisch 
nachvollziehen lassen.

Mir war auch nicht die Laplace Transformation bewusst.
Muss noch viel lernen.

[Xeraniad X. (xeraniad)]

(OK, ich habe es mir gemerkt: ich soll niemals wieder Werbung für 
Laplace -Transformation machen🥴)😅

[Uwe (neuexxer)]

Man sieht doch ziemlich spontan, dass:

- zur Zeit t=0 die Induktivität L stationäre 1/3 A Strom führt,
- und sich dieser Strom ab dann e-Funktionsmässig ändert.
  Aber stetig, d.h. NICHT unendlich schnell;
  mit der Zeitkonstante τ=L/R3.

Faulpelze (wie ich) schenken sich das Folterwerkzeug
Laplace-Transformation, wann immer sie können!
Sie addieren einfach den von der zugeschalteten Spannung Ue2 nun 
dazukommenden Strom durch L zu den anfänglichen 1/3 A.

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Hab Dank, ich wollte schon immer wissen, wie solche Aufgaben richtig 
professionell gelöst werden.

Ich präge mir daher ein, aufdass der Stoff auch gründlich sitze: 
einmaliges, spontanes Betrachten mit dem gewissen Blick verunsichert 
die härteste Knacknuss derart, dass sie ihre Lösung freiwillg 
preisgibt👍😁

(Bisher liess ich mich durch den Ansatz "Amper skillen" inspirieren, 
jedoch lernt man ja gerne ausnahmsweise auch mal was ebenso sinnvolles 
hinzu.)

[Johann H. (johann_h821)]

Ich hab leider noch eine Verständnisschwierigkeit.

Ich verstehe irgendwie, dass der Stromanstieg mit der e-Funktion 
kombiniert wird.
Aber warum subtrahiere ich von den 3,25A und addiere nicht zu den 0,33A?

Müsste ich Laplace verstehen?
Das ist ja rein mathematisch, oder?

[Michi S. (mista_s)]

Johann H. schrieb:
> Aber warum subtrahiere ich von den 3,25A
> und addiere nicht zu den 0,33A?

Weil eigentlich für den bereits erfolgten Stromanstieg gilt:
I(t) = I0 * (1-e^...) = I0 - I0 * e^...

Den Wert müßtest Du zu den 0,33A addieren, gibt dann:
I0 - I0 * e^... + 0,33A


Du hast aber gerechnet:
Ix = I0 * e^...

Die 3,25A sind I0 + 033A, davon subtrahierst Du das Ix:
3,25A - Ix = I0 - I0 + e^... + 0,33A


Also hast Du das selbe Ergebnis, wie wenn Du die zum Wert I(t), also um 
wieviel der Strom schon gestiegen ist, den Anfangsstrom 0,33A addierst.

Das von Dir ausgerechnete Ix gibt quasi an, wieviel Strom noch vom 
Endwert (nach unendlich langer Zeit) fehlt, das sind eben die 3,25A.

[Johann H. (johann_h821)]

Herzlichen Dank @ Michi S.

Hab das jetzt so nachrechnen können mit Stromanstieg zu 0,3333A!

[Johann H. (johann_h821)]

Liebe Freunde,

hätte jetzt noch ein Beispiel mit einer Spule, der ich einen 
Parallelwiderstand hinzugefügt habe.
Komme leider nicht auf das richtige Ergebnis für U0 bei 10ms

Tau = 6ms (stimmt das?)

U0 laut Spice ergibt 4,1924V

Wie berücksichtige ich den Parallelwiderstand?
Müssen Spannungen addiert werden?

[Uwe (neuexxer)]

Tau = 6ms  => stimmt.

Wenn V1 zur Zeit t=0 zugeschaltet wird (L1 bis dahin stromlos war), 
gilt:

U0= V1(1-R3/(R2+R3)*exp(-t/Tau))

U0(10ms)= 4,2130 V

(R1 spielt keine Rolle.)
Siehe Bild; die Abszisse geht bis 3 Tau.

[Johann H. (johann_h821)]

Uwe schrieb:
> Tau = 6ms  => stimmt.
> U0= V1(1-R3/(R2+R3)*exp(-t/Tau))
> U0(10ms)= 4,2130 V
> (R1 spielt keine Rolle.)

Herzlichen Dank!
Spice sagt 4,1924V was halt leider nicht 100%ig brauchbar ist, um die 
manuelle Berechnung zu überprüfen.

Ich hab ursprünglich über den Strom gerechnet und werde mir morgen 
deinen Rechenweg über die Spannung nochmals anschauen.
Weiß leider nicht so genau, wann ich über Spannung oder Strom rechnen 
soll.
Dachte Kondensatoren über Spannung und Spulen über Strom. 🤷‍♀️

[Johann H. (johann_h821)]

$$L\frac{d^2i(t)}{dt^2} + R\frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C}i(t) = V(t)$$

Meine erste mathematische Formel.
Gilt für den Schwingkreis.
Wie kommt man darauf?

Beschäftige mich gerade mit der Laplace-Transformation und möchte das 
rechnerisch nachvollziehen.

$$L[s^2I(s) - si(0) - i'(0)] + R[sI(s) - i(0)] + \frac{1}{C}I(s) = V(s)$$

[Uwe (neuexxer)]

> Meine erste mathematische Formel.
> Gilt für den Schwingkreis.
> Wie kommt man darauf?
> Beschäftige mich gerade mit der Laplace-Transformation ...

Aus meiner Erlebenswelt
(anfangs sehr von Physik-/Mathe-Leistungskursen im Gymnasium bestimmt):
Meine erste "mathematische Formel" bezog sich NICHT auf den
"Schwingkreis".
Der kam später dran; die Formeln dazu wurden aus den bereits
vorher vermittelten Grundlagen der Elektrizitätslehre hergeleitet.

Wenn einem aber schon diese elementaren Grundlagen ziemlich fremd
sind, wird es eher schwierig sein, sich diese ausgrechnet
mit Hilfe der Laplace-Transformation anzueignen...

[Johann H. (johann_h821)]

Ich meinte mit [ math ] erstellte Formel.
Also die Formatierung.

[Johann H. (johann_h821)]

Was kann man mit der Laplace Transformation eines LR Glieds anfangen?
Dient die nur zur Rücktransformation um das Stromverhalten nach der Zeit 
zu errechnen?

Gibt’s da gute Unterlagen?
ChatGPT kann einem das auch demonstrieren.

[Uwe (neuexxer)]

> Gibt’s da gute Unterlagen?

https://de.wikipedia.org/wiki/RC-Glied#Verhalten_im_Zeitbereich
https://de.wikipedia.org/wiki/Zeitkonstante

Mit Laplace einfache RC- oder RL-Schaltungen zu behandeln, ist eher
etwas für begeisterte Mathematiker, als für faule Praktiker.  ;-)