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Forum: Offtopic lineare Differentialgleichung mit nicht-konstanten Koeff...


Autor: mr.chip (Gast)
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Hallo

Ich versuche gerade

f'' + (1/t) * f' = 0

zu lösen. Leider irgendwie ohne Erfolg :-)

- Charakteristisches Polynom: geht natürlich nicht, da nicht konstante 
Koeffizienten.

- Integration beider Seiten: Auch nicht, da ich die Funktion ja nicht in 
der selben Ableitungsstufe habe.

- Laplace-Transformation: Auch nicht, da die Anfangsbedingungen für f(0) 
nicht bekannt sind und somit wieder was ziemlich hässliches resultieren 
würde.

Was gibt es denn noch für Methoden? Leider wurde sowas an der Uni noch 
nicht gross besprochen.

Gruss

Michael

Autor: Dan Is (Gast)
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Probier mal:

1.Substitution z=y' -> lineare, homogene DGL 1.Ordnung
2.Rücksubstitution

Autor: Dan Is (Gast)
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Die lineare, homogene DGL 1.Ordnung löst man übrigens z.B. so:

y=c*exp(-F(t)) mit F(t) = Integral[f(t)dt)]

Mist, ich muss jetzt wirklich mal Latex-Syntax lernen...

Autor: Netbird (Gast)
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Für y' = c/x gilt die Dgl (ich gehe davon aus, dass Dein t keine 
Konstante, sondern Variable der Funktion ist)
Wenn Du dies integrierst, erhälst Du y= clnx +d als mögliche 
Lösungsschar.
Singuläre Lösungen gibt's wahrscheinlich auch noch.
Keine 100%-Garantie, ist lange her, dass ich so etwas gelöst habe ...

Autor: Netbird (Gast)
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Konkreter:
Setze z=y' wie oben vorgeschlagen, das ergibt
z' = -z*1/t

Trennung der Variablen:
z'/z = -1/t
dz/z = -1/t dt integrieren ergibt

ln z = - ln x + c, also
z    = -1/x* C   mit C=e^c
Also y' = -C/x

Dies wieder integriert ergibt
y= -C * ln x + d
Wenn Du ganz genau sein willst/musst, gilt allerdings nach dem 
Integrieren ln|x| ...
Falls Du Anfangsbedingungen hast, ist dies ggf. entbehrlich ...
Müsste also stimmen ...  ;-)

Autor: Dan Is (Gast)
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Ich hab das jetzt mal gerechnet, hatte gestern keine Zeit mehr. Ich bin 
der Meinung es gibt keine (außer der trivialen) Lösung aufgrund des 
Vorzeichens. Würde statt dem "+" da ein "-" stehen, wär sie lösbar.

Autor: Netbird (Gast)
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Prüfe mal die Lösung, die ich angegeben habe:
y = -Clnx + d
y' = - C/x
y''= C/x^2
Eingesetzt in die Dgl ergibt sich 0!
(Übrigens geht auch y= +C*lnx +d, weiß nicht mehr, warum ich -C genommen 
habe ..)

Autor: Dan Is (Gast)
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Hast Recht, hab Mist gerechnet!

Autor: Mr Chip (mrchip)
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Hallo

Danke für eure Antworten!

Die Lösung von Netbird ist korrekt, das sieht man durch einsetzen oder 
wenn man Maple fragt :-)

Was ich aber nicht verstehe, ist dieses Posting von Dan Is: 
Beitrag "Re: lineare Differentialgleichung mit nicht-konstanten Koeff"

> y=c*exp(-F(t)) mit F(t) = Integral[f(t)dt)]

y ist ja gegeben durch f(t), dann hat man ja sozusagen einen 
Zirkelschluss.


Aber sagt mal, wie findet man eigentlich raus, wie so eine Gleichung zu 
lösen ist? Lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten gehen ja noch schon 
systematisch, aber für sowas braucht man schon ziemlich einen Richere?!?

Gruss

Michael

Autor: Dan Is (Gast)
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Ich hab mich da wohl etwas missverständlich ausgedrückt:
Ich habe mit f(t) den "Vorfaktor" 1/t gemeint.

>Aber sagt mal, wie findet man eigentlich raus, wie so eine Gleichung zu
>lösen ist?
Sowas hört man einmal in der Mathe-Vorlesung und schaut Jahre später 
irgendwo nach. Ich z.B. hab ein Skript, in dem stehen die wichtigsten 
DGLen und Lösungsmethoden drin.

Als Beispiel die Lösung der homogenen, linearen DGL 1.Ordnung:
Sie hat folgende Form: y' + f(x)*y = 0 und folgende Lösungen:

I. y=0, triviale Lösung

II. 3 Lösungsmöglichkeiten für die allgemeine Lösung:
a) y=c*exp[-F(x)] mit F(x) = Integral(f(x)dx)
dabei ist F(x) eine beliebige Stammfunktion fon f(x), d.h. die 
Integrationskonstante kann weggelassen werden

b) "Trennung der Variablen", wie von Netbird gezeigt

c) kennt man schon eine spezielle, nichttriviale Lösung y=u(x), so 
lautet die allgemeine Lösung: y = c*u(x), c € R

Autor: Dan Is (Gast)
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>eine beliebige Stammfunktion fon f(x)
von

Aua, ein Schreibfehler, der richtig schmerzt im entzündeten Auge ;-)

Autor: Netbird (Gast)
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Hallo,

manche Dgl lassen sich systematisch auf Integrationsprobleme 
zurückführen, zum Beispiel die Lösung durch Trennung der Variablen.

Manchmal kann man einen brauchbaren Ansatz erkennen, indem man die Dgl 
genau analysiert, nimm z.B. ay'' + by' + cy = 0. Da hier eine Funktion, 
ihre erste und 2. Ableitung in einer Gleichung erscheinen, kommen 
Lösungsfunktionen in Frage, die sich (bis auf Faktoren) reproduzieren, 
etwa e^x, sinx, cosx.

Manchmal hilft es,den Kontext zu betrachten: Obige Dgl taucht bei 
Schwingungen auf und diese lassen sich durch sin, cos beschreiben, haben 
aber auch (exponentielle) Dämpfung, also kommt e^x ins Spiel.

Manchmal hilft der Bau weiter: Nimm Deine Dgl y' + 1/x * y = 0, dann 
sieht man, dass ein Polynom Lösung sein könnte, denn Grad(y') = Grad (y) 
-1, und genau diese Verminderung des Polynomgrades wird durch den 
Koeffizienten 1/x bewirkt. Welcher Polynomgrad für eine Lösungsfunktion 
in Frage kommt (und ob es überhaupt eine gibt), hängt von den in der Dgl 
vorkommenden Koeffizienten ab.

Das Lösen setzt sich also oft aus einer Kombination von System, 
mathematischer Überlegung und Entstehungsgeschichte der Dgl zusammen. 
Deswegen mögen manche Mathematiker Dgl übrigens nicht, abgesehen davon, 
dass scheinbar leichte Probleme sehr schnell analytisch unlösbar werden, 
weil die Integration (Bestimmung geeigneter Stammfunktionen) nicht 
funktioniert, dann sind die numerischen Methoden gefragt, die die Dgl 
durch Berechnung von Punkten nähert...

In diesem Sinne viel Vergnügen und hohen Wirkungsgrad

Autor: Erwin (Gast)
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Offtopic-Frage: Wo taucht so ein Rechenproblem in der Praxis auf? Ich 
habe keine Vorstellung darüber, WAS man mit so etwas berechnen kann.

Bitte nicht hauen, ich meine es ernst. ;-)

MfG Erwin

Autor: Mr Chip (mrchip)
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> Offtopic-Frage: Wo taucht so ein Rechenproblem in der Praxis auf? Ich
> habe keine Vorstellung darüber, WAS man mit so etwas berechnen kann.

Ganz konkret meine Aufgabe oder Differentialgleichungen im allgemeinen?

Mein Problem stammt aus einer Übungsaufgabe, es ging um eine 
radialsymmetrische Laplace-Funktion. Als noch nichts an sich 
praktisches.

Differentialgleichungen im allgemeinen werden beispielsweise in der 
Physik oder Elektronik verwendet: Man kennt die Auswirkungen des 
"Zustandes" [f(x)] auf "Zustandsänderungen" [f'(x), f''(x), ...] oder 
umgekehrt, und möchte daraus eine explizite Funktion gewinnen.

Beispiel Federpendel: Wir haben die Auslenkung x zur Zeit t. Die Feder 
übt auf die an ihr befestigte Masse eine Kraft proportional zur 
Auslenkung aus. Und diese Kraft wiederum führt zu einer Beschleunigung 
der Masse. Wir können also schreiben:

m * x''(t) = -k * x(t)

Das nennt man eine Differentialgleichung, und jetzt geht es eben darum 
x(t) zu finden.

Autor: Netbird (Gast)
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Viele Formeln in der E-Technik sind so entstanden, dass die Systemgrößen 
analysiert wurden, das führt oft zu einer Differenzialgleichung. Deren 
Lösung ergibt dann die Formel, mit der Du arbeiten kannst.

Beispiele:
- Wie lädt sich ein Kondensator über einen Widerstand auf? -> Dgl 1. 
Ordnung, mit Trennung der Variablen lösbar
- Wie verhält sich ein Schwingkreis, wenn er mit einer Wechselspannung 
angeregt wird? ... mit einem kurzen Spannungsimpuls? Lineare Dgl 
2.Ordnung mit "Störfunktion" anstelle von 0 auf der rechten Seite.
Führt zur Diskussion von Eigenfrequenz, Resonanz, Einschwingvorgängen 
...

Autor: Erwin (Gast)
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Aha. Ich danke Euch für  diese Erläuterungen. Ich alter Zausel habe in 
meinem ganzen Berufsleben als stinknormaler Elektriker keine 
Differentialgleichungen "auf dem Tisch" gehabt. Die Sache mit dem 
Kondensator habe ich immer mittels Tau (nicht das Seil, sondern der 
griechische Buchstabe ;-)) gelöst. Für das zweite Problem nahm ich die 
Schwingungsgleichung von Thomson.
Das Einzige, was mir nicht gelungen ist, war mal die Anpassung eines 
Reglers mit PID-Charakteristik an die Regelstrecke. Da hat der
freundliche Kundendienstingenieur auch ein riesiges Gleichungssystem 
gebastelt und mir den K-Faktor errechnet.

Alles klar, nun weiß ich wieder ein Stückchen mehr.

MfG Erwin

Autor: Netbird (Gast)
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Erwin schrieb:
>Ich alter Zausel habe in meinem ganzen Berufsleben als stinknormaler Elektriker 
keine Differentialgleichungen "auf dem Tisch" gehabt. Die Sache mit dem 
Kondensator habe ich immer mittels Tau (nicht das Seil, sondern der
griechische Buchstabe ;-)) gelöst. Für das zweite Problem nahm ich die
Schwingungsgleichung von Thomson.

Vollkommen in Ordnung, Erwin, aber woher kommt die Formel für Tau? Die 
Lösung der Dgl ergibt die Aufladungsfunktion und man zeigt mit deren 
Hilfe, dass nach etwa 5*Tau der Kondensator voll ist. Du als Anwender 
hast es dann bequem :-)).

Als Schüler fand ich beim Radiobasteln die Frequenzkurve eines 
Bandpassfilters toll. Im Studium wurde dann behandelt, wie man so etwas 
durch Lösung von zwei gekoppelten Schwingungs- Dgl selbst berechnen (und 
verändern) kann.

Autor: Erwin (Gast)
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Na, da möchte ich lieber nicht dabei sein, wenn ein Bandfilter mittels
Differentialgleichung berechnet wird. (GRINS*)
Aber Du hast schon Recht; man verwendet Formeln, die man im Laufe der 
Zeit im Kopf hat und fragt sich gar nicht, wie die "einfache" Variante 
entstanden ist. Ich habe vor Jahren mal einen Bandpass mit 2 
Operationsverstärkern berechnen müssen (für Packet-Radio). Das wäre 
bestimmt mit einer solchen Methode besser gegangen.

MfG Erwin

Autor: Netbird (Gast)
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Ok, ich denke, das Thema haben wir jetzt durch, es sei denn Mr.Chip hat 
noch Nachfragen ...
... und weg ...

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