Abtasttheorem

Das 'Abtasttheorem' von Nyquist und Shannon beschreibt die Tatsache, dass sich ein beliebig geformtes kontinuierliches Signal immer dann durch ein diskretes Signal darstellen- und auch exakt wiederherstellen lässt, wenn die Abtastfrequenz beim Digitalisieren - und damit die Dichte der Stützpunkte - mehr als doppelt so hoch ist, wie die höchste im kontinuierlichen Signal enthaltene Frequenz. Dies lässt sich dadurch erklären, dass beim späteren Rekonstruieren bei der Digital-Analog-Wandlung ein ideales Tiefpassfilter ein oberwellenfreies Signal, also einen perfekten Sinus zwischen den Stützstellen generieren kann.

Somit ist es theoretisch generell möglich, mit nur 2 Stützstellen eine vollständige Periode einer Schwingung auszugeben. Die ausgegebene Frequenz ist dann maximal halb so groß, wie die Abtastfrequenz. Höhere Frequenzen, die im Ursprungssignal enthalten waren, können nicht wieder korrekt hergestellt werden. Im Gegenteil: Sie wurden unterabgetastet und verursachen beim Digitalisieren sogenannte Aliasing-Fehler, die bei der Rekonstruktion zu falschen Amplitudenverläufen des erzeugten Signals führen.

Ein Beispiel für Aliasing: Wenn das abgetastete Signal genau die Abtastfrequenz enthält, wird in jedem Messpunkt immer derselbe Wert gemessen. Somit ist das gemessene Signal nicht von einer Gleichspannung unterscheidbar. Dies erklärt die Forderung nach einer zumindest minimal höheren Abtastfrequenz gegenüber der höchsten abzubildenden Oberwelle. Liegt das Quellsignal unterhalb der Abtastfrequenz und oberhalb der Hälfte, werden Spiegelfrequenzen aufgezeichnet.

In der digitalen Signalverarbeitung werden auf diese Weise regelmäßig Spektren mit Frequenzen bis nahe an die halbe sample-Frequenz verarbeitet und gespeichert. Es ist jedoch festzustellen, dass aufgrund der Unzulänglichkeiten realer analoger Filter die theoretisch exakt mögliche Rekonstruktion eines Signals aus einem diskreten Wertestrom in der Praxis nicht gelingt. Bei der Erzeugung von Sinuswellen mit der DDS z.B., liegen zwar mathematisch exakte Amplitudenwerte vor, dennoch kommt man mit den generierten Sinuswellen praktisch nur bis an 70%-80% der halben Abtastfrequenz heran. Das liegt daran, dass ein realer analoger Filter nicht unendlich steil sein kann und ein gewisser Frequenzabstand benötigt wird, um den Sperrbereich des Filters zu erreichen.

Abweichend von einer rein mathematische Erzeugung von Daten, kommt bei der vorherigen Gewinnung von diskreten Signalen noch die Quantisierung hinzu, welche ebenfalls Fehler macht. Ferner gelingt es in der Praxis nicht, perfekt jitter-frei abzutasten. Diese zufälligen Amplituden- und Phasenfehler als Verzerrung im Zeitbereich wirken im Frequenzbereich indirekt wie zusätzliche Oberwellen, die mit abgetastet werden.

Um Alias-Fehler zu vermeiden, muss daher in der Praxis je nach Qualitätsanspruch sowohl bei der Digitalisierung von Signalen als auch der Rekonstruktion oft mit deutlich höheren Abtastfrequenzen gearbeitet werden. ADCs und DACc sind aus diesem Grund heute generell so aufgebaut, daß sie intern mit oversampling arbeiten. Das aufgezeichnete Signal wird dann intern digital gefiltert und dezimiert. Bei DACs wird es zuvor hochinterpoliert. In Bereichen mit hohem Genauigkeitsanspruch wie der Audiotechnik, wird im Weiteren statt mit 44,1kHz inzwischen mit bis zu 384kHz aufgenommen - bei zusätzlicher Überabtastung. Das Speichern geschieht überwiegend mit 96kHz oder 192kHz.