Zwei Fragen zu Matrizenrechnung

[Tobias P. (hubertus)]

Hallo allerseits,
hier sind ja immer mal ein paar mathematisch Bewanderte unterwegs, jetzt 
hab ich da mal eine Frage wo ich grad auf dem Schlauch stehe.

Folgendes. Gegeben sei die Matrix A:

$$A= \begin{pmatrix} -1 & -2 & 3 \\ -3 & -2 & -3 \\ -1 & 2 & a_{33} \end{pmatrix}$$

Das Element a_33 ist nun derart zu bestimmen, dass die konjugiert 
komplexen Eigenwerte von A auf der imaginären Achse liegen. Wie könnte 
man da vorgehen?

Eigentlich müsste ich ja mal das charakteristische Polynom aufstellen. 
Dessen Nullstellen sind dann die Eigenwerte. Aber eigentlich will ich ja 
'irgendwie' den umgekehrten Weg, also ich will dass der Realteil der 
beiden konjugiert komplexen Eigenwerte 0 ist... habe grade keine Idee, 
wie man das bewerkstelligen könnte. Kann mir einer einen Tipp geben?


Dann noch eine zweite Frage:
Gegeben sei eine beliebige quadratische Matrix A. Gesucht wird nun eine 
Matrix B derart, dass A*B eine Diagonalmatrix wird. Anders gesagt, ich 
will A diagonalisieren. Das hier 
http://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix habe ich mir schon 
angeschaut, dort steht im Prinzip auch wie es geht, aber ich verstehe 
nicht genau was ich mit den Eigenwerten dann machen soll, wenn ich die 
mal bestimmt habe.

Wäre froh wenn ihr mir ein paar Tipps zu meinen zwei Fragen geben könnt 
:-)

Danke & Gruss

[Dirk J. (dirk-cebu)]

Alle Aufgaben, die mit "Gegeben sei" anfangen, klingen irgendwie nach 
Schule. So spricht und schreibt jedenfalls kein normaler Mensch.

[Tobias P. (hubertus)]

Ja, und?
ausserdem rede ich auch so.

[Tobias P. (hubertus)]

Danke Stefan,
> Zitatfälscher sind allerunterster Abschaum

sehe ich genauso. Aber Dirk ist wohl grade erst in den Kindergarten 
gekommen, da verzeihen wir ihm nochmal :-)

@Dirk
was hast du eigentlich für ein Problem? Wenn dir mein Thread auf den 
Senkel geht, kannst du
a) ihn ignorieren
b) einfach nicht antworten
c) dich bei Andreas beschweren, er möge den Thread doch bitte sperren 
oder löschen
d) schau mal hier: Beitrag "Herleitung des digitalen PI-Reglers" da wird 
dem Fragesteller auch weitergeholfen :-) ich sehe also nicht wo das 
Problem ist. Gibt übrigens noch circa 10k andere Beispiele.

[Walter T. (nicolas)]

Tobias Plüss schrieb:
> aber ich verstehe
> nicht genau was ich mit den Eigenwerten dann machen soll, wenn ich die
> mal bestimmt habe.

OK, die speziellste Diagonalmatrix ist die Einheitsmatrix. Würdest Du 
also die Matrix B so bestimmen, daß gilt:
 A * B = I
hätte B einen speziellen Wert (nämlich B = A^-1).

Wenn Du jetzt allgemeiner schreibst A * B = D, wobei D eine 
Diagonalmatrix ist, bei denen nicht alle Werte 1 sind, hast Du unendlich 
viele Möglichkeiten für B. Allgemein läßt sich das dann in Form der 
Eigenwerte schreiben.

Und wenn Du schreibst A * B = L, wobei L eine Diagonalmatrix mit den 
Eigenwerten ist... probier's aus, was dann aus B wird.

P.S.: Solange Hausaufgabenfragen auch beim Namen genannt werden finde 
ich sie durchaus legitim.

[Tobias P. (hubertus)]

Hi Nicolas,

vielen Dank für deinen konstruktiven Beitrag :-)

> Und wenn Du schreibst A * B = L, wobei L eine Diagonalmatrix mit den
> Eigenwerten ist... probier's aus, was dann aus B wird.

sowas in der Art denke ich, ja. Das mit der Einheitsmatrix war klar, ja, 
dann muss ich nur A * A^-1 rechnen. Aber das wäre ja der triviale 
Fall...
In dem Buch wo ich das gesehen habe heisst es:

Es gibt eine Matrix T, sodass mit

T  A  T^-1

eine Diagonalmatrix entsteht -- hatte mich oben erstmal vertippt :-(. 
Ich kann aber nicht nachvollziehen, was da noch weiter rumgerechnet 
wird, weil es total unverständlich geschrieben ist :-) Aber ich habe 
jetzt folgendes noch rausgefunden mit Hilfe  von Octave:

ich bestimme die Eigenvektoren von A. Nehmen wir an, das wären v1, v2 
und v3 ... dann setze ich die zu einer Matrix T zusammen. Wenn ich dann

T^-1  A  T

rechne, dann kriege ich eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten! 
Interessanterweise jedoch müsste es gemäss Buch ja T  A  T^-1 sein, 
warum es bei mir jetzt umgekehrt rauskommt, weiss ich nicht.

> P.S.: Solange Hausaufgabenfragen auch beim Namen genannt werden finde
> ich sie durchaus legitim.

mein Gott, es SIND ja keine Hausaufgaben! wo liegt eigentlich das 
Problem? Ich habe ein Buch gelesen, und etwas, was da stand, konnte ich 
nicht nachvollziehen.

[Walter T. (nicolas)]

Wie hast Du die Eigenvektoren denn zusammengesetzt ? Für die Matrix der 
Eigenvektoren gilt normalerweise T^-1 = T^t (transponiert), wie es bei 
komplexen Matrizen aussieht weiß ich allerdings nicht (mehr).

Allgemein sind Formen wie B' = A  B  A^t Transformationen von Matrizen 
in andere Koordinatensysteme. Wenn A eine Matrix der Eigenvektoren ist, 
wird B in ein Hauptachsensystem transformiert (z.B. wäre B ein 
Trägheitstensor, wäre B' ein Trägheitstensor bezüglich des 
Hauptachsensystems).

Wie die Sachen allerdings in Deinem Bereich genannt werden, hängt vom 
Fachgebiet ab. Bist Du in der reinen Mathematik unterwegs oder lernst Du 
für ein angewandtes Fachgebiet?

[Joe G. (feinmechaniker)]

Tobias Plüss schrieb:
> Anders gesagt, ich will A diagonalisieren.

Hier ein kleines Beispiel von mir dazu.

[Walter T. (nicolas)]

Hihi, ja, sobald man den Bereich der Mechanik betritt werden diese 
Tensoren richtig anschaulich.