Lineare Phase

[Frank (Gast)]

Hallo Leute,

wie kann ich ablesen für welche Werte von a die Übertragungsfunktion 
eine lineare Phase hat?

Ich habe diese Übertragungsfunktion:

$$H(e^{j\theta}) = H(z)|_{z=e^{j\theta}} = \frac{e^{j 2 \theta}(1-a) + a}{e^{j2\theta}}$$

Nun, ich weiß, dass ein Filter mit linearer Phase die Form hat:

$$H(e^{j\theta}) = A(e^{j\theta})e^{-j\theta}$$

hat, wobei A(r^jTheta) reel ist.

Ich habe versucht durch Herausheben von e^jtheta diese FOrm zu bekommen, 
jedoch bin ich gescheitert:

$$H(e^{j\theta})=1-a+ae^{-j2\theta}$$

Aber wie kann ich da entscheiden wie groß das sein muss? Also bei 0 
hätte ich ein A(e^jtheta), jedoch fällt dann das e^(-jtheta) weg...

Wie ist es mir intuitiv möglich zu erkennen wie groß das a sein muss, 
damit ein linearer Phasengang rauskommt?

Danke für jeglicherlei Tipps!

[Dumdi D. (dumdidum)]

Frank schrieb:
> Wie ist es mir intuitiv möglich zu erkennen wie groß das a sein muss,

Intuitiv: versuch die ersten beiden Summanden wegzubekommen. Probier mal 
a=1

[Frank (Gast)]

dumdi dum schrieb:
> Intuitiv: versuch die ersten beiden Summanden wegzubekommen. Probier mal
> a=1

Das ist sehr gut danke!!
Es müssen aber 3 Lösungen sein, irgend ne Idee wie man auf die anderen 2 
kommt?

[Dumdi D. (dumdidum)]

Dann biete ich ganz intuitiv noch 0 und 1/2 an.

[Frank (Gast)]

dumdi dum schrieb:
> Dann biete ich ganz intuitiv noch 0 und 1/2 an.

Aber wie komme ich da drauf? Ich meine intuitiv? Wie gehe ich es 
analytisch an?

[Dumdi D. (dumdidum)]

Intuitiv: schauen wo das Verhalten der Funktion sich qualitativ ändert 
und dann überprüfen. Analytisch:

berechne H / H* das muss eine Funktion exp(jwt) sein, dann linke Seite 
1st Ableitung, und in 0 auswerten. Damit mögliche Werte für w bestimmen.
Danach H= exp(jwt) H* ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich (d.h. 
nur Werte von w sind zugelassen die eine Erfüllung der Gleichung 
ermöglichen)
Dann die gefundenen w überprüfen.

Aus 1 folgt das w=4a und aus 2 nur das a=0, a=1, a=1/2 (und alle stimmen 
nach Überprüfung)

[Tobias P. (hubertus)]

@Frank

schau mal hier:
Beitrag "Re: Linearphasigkeit Beweis"
hier habe ich den Beweis aufgeschrieben, bzw. wie man prüft ob die Phase 
linear ist. Viel Spass,

Gruss

[Detlef _. (detlef_a)]

Hallo,

das ist ja schwer erstaunlich: für a=1/2 wird das auch linearphasig. Das 
hätte ich jetzt nicht gedacht.
Das heißt: wenn man einen Einheitskreis um 1 nach rechts schiebt und 
dann auf dem Rand langläuft hat der resultierende Winkel eine konstante 
Änderung. Ist gegen meine Intuition, stimmt aber, Rechnung anbei.

dumdidum schrieb:
>>
berechne H / H* das muss eine Funktion exp(jwt) sein, dann linke Seite
1st Ableitung, und in 0 auswerten. Damit mögliche Werte für w bestimmen.
Danach H= exp(jwt) H* ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich (d.h.
nur Werte von w sind zugelassen die eine Erfüllung der Gleichung
ermöglichen)
Dann die gefundenen w überprüfen.
<<<<

Meister, werde etwas expliziter, damit Deine minderbegabten Schüler DIR 
folgen können.

math rulez!
Cheers
Detlef