Komplexe Übertragungsfunktion

Mit der Methode des "scharfen Hinsehens" erkennen wir, dass die 
Schaltung ein PI-Glied ist. Nun fix die Kettenmatrix für das 
Elementarnetzwerk Pi-Glied aufgeschrieben und nach der 
Spannungsübertragungsfunktion aufgelöst.

Peter schrieb:
> Kannst du mir sagen wie du darauf gekommen bis

Ja sicher, ganz einfach. Du bestimmst die Elementarform aller drei 
Einzelbauelemente in Kettenform und multiplizierst dann die drei 
Matrizen.

Ich verrate mal das Ergebnis für Ze_.

Ze_ = R2*(R1+R3+jw*R3*R1*C) / ( R1+R2+R3 + jw*R1*C*(R2+R3) )

Bitte die Numerierung der Widerstände beachten - Referenzdesignator. 
Siehe Anhang.

Joe G. schrieb:
> Peter schrieb:
>> Kannst du mir sagen wie du darauf gekommen bis
>
> Ja sicher, ganz einfach. Du bestimmst die Elementarform aller drei
> Einzelbauelemente in Kettenform und multiplizierst dann die drei
> Matrizen.

Bitte mit dieser Methode mal vorrechnen zwecks Abschreckung.

Das geht mit normaler Reihen- und Parallelschaltung einfacher.

Helmut S. schrieb:
> Bitte mit dieser Methode mal vorrechnen zwecks Abschreckung.

Ist doch im Anhang vorgerechnet, eine Zeile :-)

> Das geht mit normaler Reihen- und Parallelschaltung einfacher.
Da stimme ich dir zu. Bei diesem Netzwerk ist es sehr einfach. Doch bei 
komplizierten Formen ist die Methode der Elementarmatrizen sehr viel 
einfacher. Zumal man sofort alle Übertragungsfunktionen bekommt. Also 
auch die Stromübertragung und die Mischformen.

Joe G. schrieb:
> Helmut S. schrieb:
>> Bitte mit dieser Methode mal vorrechnen zwecks Abschreckung.
>
> Ist doch im Anhang vorgerechnet, eine Zeile :-)
>
>> Das geht mit normaler Reihen- und Parallelschaltung einfacher.
> Da stimme ich dir zu. Bei diesem Netzwerk ist es sehr einfach. Doch bei
> komplizierten Formen ist die Methode der Elementarmatrizen sehr viel
> einfacher. Zumal man sofort alle Übertragungsfunktionen bekommt. Also
> auch die Stromübertragung und die Mischformen.

Wo bleib da die Formel für Ze_?
Mit dem Hinschreiben einer Matrix gibt es vielleicht Trostpunkte bei 
dieser Aufgabe aber mehr nicht.

Helmut S. schrieb:
> Wo bleib da die Formel für Ze_?

Nun, auch sehr einfach. Das Ergebnis steckt ja quasi schon in der 
Kettenmatrix :-) Bitteschön…

> Mit dem Hinschreiben einer Matrix gibt es vielleicht Trostpunkte bei
> dieser Aufgabe aber mehr nicht.

Habe ich überlesen, dass es bei der Aufgabenstellung c.) nur Trostpunkte 
gibt?

Peter schrieb:
> welche Rechenregel ist denn das

War deine Frage jetzt ernst gemeint?
Wenn ja, dann…
Eine Spannung ist immer eine Potentialdifferenz also U1 = phi1-phi0. Ein 
Potential benötigt immer zwei Punkte, einen Punkt nennt man im 
Allgemeinen den Bezugspunkt. Wenn also die Spannung über R2 bestimmt 
wird, benötige ich zwei Potentiale und einen gemeinsamen Bezugspunkt. Da 
es für eine Differenz unwichtig ist, auf welchem Potential der 
Bezugspunkt liegt, kann er beliebig gewählt werden. Üblich ist jedoch 
null. Somit ist die Spannung U1 die Potentialdifferenz über dem 
Widerstand R2.

R1=5kOhm, R2=R3=10kOhm, C=10nF

Schaltung siehe angehängtes Bild.

a)
Xc_ = 1/(jwC)

Xc -> 0Ohm für sehr hohe Frequenzen.
Das bedeutet R1 wird kurzgeschlossen bzw. überbrückt.

Ua_/Ue_ = 1

b)

Xc_ = 1/(jwC)

Xc -> unendlich bei sehr tiefen Frequenzen.
Das bedeutet er kann vernachlässigt werden.

Ze_ = R2*(R1+R3)/(R2+R1+R3)

Ze_ = 6kOhm


Ze_ allgemein

Z1_ = R1*(1/(jw*C))/(R1+1/(jw*C))
Z1_ = R1/(1+jw*R1*C)

Z13_ = R3 + R1/(1+jw*R1*C)
Z13_ = (R3 + R1 + jw*R3*R1*C)/(1+jw*R1*C)

Ze_ = R2*Z13_/(R2+Z13_)

Ze_ = ( R2*(R3 + R1 + jw*R3*R1*C)/(1+jw*R1*C) ) / ( R2 + (R3 + R1 + 
jw*R3*R1*C)/(1+jw*R1*C) )

Ze_ = R2*(R3 + R1 + jw*R3*R1*C) / ( R2*(1+jw*R1*C) + R3 + R1 +jw*R3*R1*C 
)

Ze_ = R2*(R1+R3+jw*R3*R1*C) / ( R1+R2+R3 + jw*R1*C*(R2+R3) )

Ze = 
R2*Wurzel((R1+R3)^2+(w*R3*R1*C)^2)/Wurzel((R1+R2+R3)^2+(w*R1*C*(R2+R3))^ 
2)

phi = arctan(w*R3*R1*C/(R1+R3)) - arctan(w*R1*C*(R2+R3)/(R1+R2+R3))


Das folgende war gar nicht gefragt.
Ua_/Ue_ = R3/(R1+R3)
Ua_/Ue_ = 2/3


c)

Ua_/Ue_ = R3/(R3 + R1/(1+jw*R1*C))

Ua_/Ue_ = R3*(1+jw*R1*C)/(R3*(1+jw*R1*C)+R1)

Ua_/Ue_ = R3*(1+jw*R1*C)/(R1+R3+R3*jw*R1*C)

Ua_/Ue_ = (R3/(R1+R3))*(1+jw*R1*C)/(1+R3*jw*R1*C/(R1+R3))

Ua_/Ue_ = (R3/(R1+R3))*(1+jw*R1*C)/(1+jw*R1*C/(1+R1/R3))

Ua/Ue = (R3/(R1+R3))*Wurzel(1+(w*R1*C)^2)/Wurzel(1+(w*R1*C/(1+R1/R3))^2)

phi = arctan(w*R1*C) - arctan(w*R1*C/(1+R1/R3))


Im Anhang ist die Schaltung für die Simulation mit LTspice.

Helmut S. schrieb:
> Das geht mit normaler Reihen- und Parallelschaltung einfacher.

Wie sieht es denn mit diesem einfachen Netzwerk aus? Nur mal so als 
Fingerübung ;-)

Knotenanalyse
(U1-Ue)*G1 + (U1-Ua)*G2 + U1*G3 = 0

U1*(G1+G2+G3) -Ua*G2 = Ue*G1 (1)

(Ua-Ue)*jwC +(Ua-U1)*G2 = 0

-U1*G2 + Ua*(jwC+G2) = Ue*jwC (2)

Gleichung 1 mit G2/(G1+G2+G3) multiplizieren und zu Gleichung 2 
addieren.

0 +Ua*(jwC+G2) -Ua*G2*G2/(G1+G2+G3) = Ue*G1*G2/(G1+G2+G3) +Ue*jwC

Ua*((jwC+G2) -G2*G2/(G1+G2+G3)) = Ue*G1*G2/(G1+G2+G3) + Ue*jwC

Ua*((jwC+G2)*(G1+G2+G3) -G2*G2) = Ue*G1*G2 + Ue*jwC*(G1+G2+G3)

Ua*(jwC*(G1+G2+G3)+G2*(G1+G3)) = Ue*(G1*G2 + jwC*(G1+G2+G3))

Ua/Ue = (G1*G2+jwC*(G1+G2+G3))/((G2*(G1+G3)+jwC*(G1+G2+G3))

Ua/Ue = 
(G1*G2/(G2*(G1+G3)))*(1+jwC*(G1+G2+G3)/(G1*G2))/(1+jwC*(G1+G2+G3)/(G2*(G 
1+G3)))

Ua/Ue = 
(G1/(G1+G3))*(1+jw*C*(G1+G2+G3)/(G1*G2))/(1+jw*C*(G1+G2+G3)/(G2*(G1+G3)) 
)

Alle G durch 1/R ersetzen

Ua/Ue = 
(R3/(R1+R3))*(1+jw*C*(R1+R2+R1*R2/R3))/(1+jw*C*(R1*R2+R1*R3+R2*R3)/(R1+R 
3))

|Ua/Ue| = R3/(R1+R3)*Wurzel(1+(w*C*(R1+R2+R1*R2/R3))^2)/wurzel(1+(w*C*(R1*R2+R1*R3 
+R2*R3)/(R1+R3))^2)

phi = atan(w*C*(R1+R2+R1*R2/R3))-atan(w*C*(R1*R2+R1*R3+R2*R3)/(R1+R3))

@Joe G
Und jetzt zum Vergleich deine Berechnung bitte bis zur endgültigen 
Formel  Ua/Ue=const*(1+jwC+...)/(1+jwC*...)

Helmut S. schrieb:
> Und jetzt zum Vergleich deine Berechnung bitte bis zur endgültigen
> Formel  Ua/Ue=const*(1+jwC+...)/(1+jwC*...)

Dein Ergebnis stimmt :-)
Und hier der Vergleich. Die Übertragungsfunktion und der 
Eingangswiderstand. Beides wieder aus der A-Matrix.

Bei obiger Schaltung wendet man vorteilhaft

https://de.wikipedia.org/wiki/Stern-Dreieck-Transformation

an, dann kann man das mit Spannungsteilerregeln rechnen.

Ansonsten führt das Konotenpunktverfahren sicher zum Ziel, alle, unter 
anderem PSpice, machen das so.

Wie das geht schrieb ich hier:

Beitrag "Übertragungsfunktion RC-Kettenschaltung"

Linear algebra rulez!
Cheers
Detlef

PS: Knotenpunktverfahren, genauso wie beschrieben, war mal wieder zu 
spät.

Joe G. schrieb:
> Helmut S. schrieb:
>> Und jetzt zum Vergleich deine Berechnung bitte bis zur endgültigen
>> Formel  Ua/Ue=const*(1+jwC+...)/(1+jwC*...)
>
> Dein Ergebnis stimmt :-)
> Und hier der Vergleich. Die Übertragungsfunktion und der
> Eingangswiderstand. Beides wieder aus der A-Matrix.


Da fehlt aber die fast immer gewünschte Umformung auf die "Normalform".
Die wird dort noch einige Zeilen zur Berechnung erfordern.

Ua/Ue = const*(1+jwC*...)/(1+jwC*...)

Detlef _. schrieb:
> Bei obiger Schaltung wendet man vorteilhaft
>
> https://de.wikipedia.org/wiki/Stern-Dreieck-Transformation
>
> an, dann kann man das mit Spannungsteilerregeln rechnen.
>

Bitte mal mit deiner oben favoritisierten Methode vorrechnen damit den 
Aufwand sieht. Ich denke das wird ein sehr langer "Marsch".

Helmut S. schrieb:
> Da fehlt aber die fast immer gewünschte Umformung auf die "Normalform".

Welche "Normalform" wenn es überhaupt "die" Normalform gibt ;-)
- Regelernormalform
- Beobachternormalform
- andere kanonische Normalformen

Joe G. schrieb:
> Helmut S. schrieb:
>> Da fehlt aber die fast immer gewünschte Umformung auf die "Normalform".
>
> Welche "Normalform" wenn es überhaupt "die" Normalform gibt ;-)
> - Regelernormalform
> - Beobachternormalform
> - andere kanonische Normalformen

Die Form die für das Darstellen(z. B. Bodediagramm) am sinnvollsten ist.
Aus der lässt sich sofort der Betrag als Produkt von Wurzeln und die 
Phase als Summe von atan() hinschreiben.

F(jw) = K*(1+JwT1)*(1+jwT2)*(1+...)*..../((1+jwTn)*(1+jwTn+1)*(1+...))

|F(jw)| = K*Wurzel()+Wurzel()*.../(Wurzel()*Wurzel()*...)

phi = atan(w*T1) + atan(w*T2) + ... -atan(w*Tn) - .....

Helmut S. schrieb:
> Die Form die für das Darstellen(z. B. Bodediagramm) am sinnvollsten ist.

Ich glaube wir dürfen hier unterscheiden ob der Student etwas lernen 
soll, oder ob der Ingenieur arbeiten möchte. Für einen Studenten ist es 
schon sinnvoll mal ein Bodediagramm über Addition der Logarithmen zu 
zeichnen. In der täglichen Ingenieursarbeit dürfen gerne Werkzeuge wie 
Matlab, GNU Octave oder ähnliches verwendet werden. Somit ist für eine 
grafische Darstellung die Zeitkonstantenform entbehrlich. Zu 
Übungszwecken natürlich immer wieder gerne ;-)

Für Leute die nur am Ergebnis interessiert sind wäre Sapwin4 eine 
Lösung. Es berechnet die Übertragungsfunktion als Polynom in s.  Das 
Programm ist kostenlos. Man muss nur noch s durch jw ersetzen um den 
Frequenzgang zu bekommen.


+ (  R3 )
+ (  C1 R2 R3 + C1 R1 R3 + C1 R1 R2 ) s
-------------------------------------------
+ (  R3 + R1 )
+ (  C1 R2 R3 + C1 R1 R3 + C1 R1 R2 ) s