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Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP Funktionsweise PWM


Autor: Johnson 3000 (johnson3000)
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Hallo,

warum lassen sich mit PWM Signalen sinusoidale Signale erzeugen?

Die Verwendung von PWM Signalen im Kontext der Digital-zu-Analog 
Wandlung verstehe ich folgendermaßen: Es handelt sich um ein 
periodisches Rechteck-Signal, dessen Abtastverhältnis 
(Impuls-/Periodenlänge) variiert wird. Das Abtastverhältnis 
repräsentiert die Amplitude; die Änderungsgeschwindigkeit des 
Abtastverhältnisses bestimmt die Frequenz des resultierenden Sinus. Das 
Signal wird mit einem Tiefpass gefiltert, dessen Grenzfrequenz im Fall 
eines idealen Tiefpasses bei 1/T liegt. Somit werden die Harmonischen 
der PWM Frequenz herausgefiltert.

Beispiel: An einem Wechselrichter für einen Asynchronmotor liegen 24 V 
Gleichspannung an. Die Transistoren innerhalb des Wechselrichters werden 
über sechs PWM Signale mit 20 kHz geschaltet. Im Folgenden wird 
exemplarisch ein PWM Signal betrachtet: Der Tastgrad variiert zwischen 0 
und 90 % und durchläuft in 200 Perioden des PWM Signals die Werte eines 
Sinus-Signals.

1) Ist folgende Aussage korrekt? Der resultierende Sinus hat eine 
Amplitude von 0.9*24 V = 21,6 V und eine Frequenz von 20.000 Hz/200 = 
100 Hz

2) Werden die Tastgrade 0 % und 100 % auch verwendet?

Ein Rechteck-Signal (kurz rect) entsteht durch die Überlagerung von 
Sinus-Signalen, deren Peridoden reale Vielfache der Periode des 
Rechteck-Signals sind. Die Amplituden der Sinus-Signale sind abnehmend. 
Im Frequenzbereich stellt sich das als sinc-Funktion dar.

3) Wie lautet die exakte Summenformel für diesen Sachverhalt?

4) Warum filtere ich im Frequenzbereich mit einer Grenzfrequenz von 1/T 
meines PWM Signals? Ja, die Harmonischen meiner PWM Frequenz (im obigen 
Beispiel bei 40 kHz, 60 kHz ...) verschwinden dann. Aber letztlich 
bildet doch der Mittelwert meines PWM Signals die Amplitude. Der 
Mittelwert ist der Gleichanteil meines PWM Signals. Der Gleichanteil 
befindet sich im Frequenzspektrum bei f=0.

Die ganze Thematik fällt mir gerade noch etwas schwer. Ich wäre dankbar, 
wenn jemand es nochmal bildhaft erklären könnte. Links von wikipedia 
oder der 2-Seiter aus dem Forum zum Thema PWM helfen mir nicht weiter.

Grüße

Autor: Dergute Weka (derguteweka)
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Moin,

1.) ja hoechstwahrscheinlich. Aber es hat auch noch einen Gleichanteil.
2.) Warum denn nicht?
3.) Das gilt nicht nur fuer Rechteck, sondern fuer alle moeglichen 
periodischen Signale. Dabei gibts aber zu den sinuessen noch einen 
Gleichanteil und wenns unbedingt alles sinuesse sein muessen, dann 
koennen die auch noch unterschiedliche Phasen haben. Genau das leistet 
die Fourierreihe. Wenn du von einem speziellen Signal (z.b. rect) schon 
die Fouriertransformierte kennst (z.b. sinc) musst du die nur noch an 
den enstsprechenden Stellen auswerten, das sind dann die Koeffizienten 
fuer deine Summenformel.
4.) Du sitzt in der Badewanne und die Temperatur deines Badewassers wird 
per PWM eingestellt. Du willst also z.b. 33.33°C warmes Badewasser und 
du kriegst dann durch die PWM eben 20 sec. lang 100°C heisses 
Badewasser, danach fuer 40 sec. 0° kaltes Badewasser. Da steigert ein 
Tiefpass fuer die Badewassertemperatur dein Wohlbefinden immens...
Das ist nicht anders, wenn dein Badewasser nicht konstant 33.33° haben 
soll, sondern eben z.B.

Tbade=33.33°C + 5°C * sin(2  pi  t / 600sec)

sein soll.

Gruss
WK

Autor: Der Andere (Gast)
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Übungs und Hausaufgaben bitte vollständig posten.

Autor: Johnson 3000 (johnson3000)
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@ Der Andere
Es existiert keine Übungsaufgabe. Das Beispiel bildet den Anwendungsfall 
und ich möchte mit Hilfe meines Wissens aus der Vorlesung verstehen, 
warum es so funktioniert.

@ Dergute Weka
Danke für die schnelle Antwort.

Wenn demnach gilt, dass die Änderungsgeschwindigkeit des Tastgrads die 
Frequenz des resultierenen Sinus bestimmt, folgt daraus, dass ein PWM 
Signal mit gleichbleibendem Tastgrad eine Gleichspannung erzeugt. 
Korrekt?

Ich habe versucht, den Sachverhalt in MATLAB nachzubilden:

Abtastung: Abtastrate fs = 10 kHz | Abtastintervall Ts = 10^-4 s
Signal im Zeitbereich: Frequenz f = 5 Hz | Tastgrad: 0.5

Gemäß dem Abtasttheorem (fs >= f) lassen sich bei einer Abtastrate von 
10 KHz Frequenzen bis 5 kHz messen. Hat die absolute Anzahl der 
Abtastwerte einen Einfluss auf das Ergebnis der Fourier-Transformation?

Die Grundfrequenz und die Harmonischen der PWM Frequenz erscheinen als 
Peaks im Frequenzbereich. Die Harmonischen äußern sich als Rauschen im 
Sinus-Signal. Sie werden daher durch einen Tiefpass mit einer 
Grenzfrequenz von 1/T gefiltert. Im Beispiel liegt die Grenzfrequenz bei 
5 Hz - einen idealen Tiefpass vorausgesetzt. Korrekt?

Die Dämpfung bei der Grenzfrequenz entspricht -3 dB. Dies entspricht 
einer Verringerung der Leistung um den Faktor 2. Die Grundwelle ist 
somit weiterhin im resultierenden Sinus enthalten. Warum wird die 
Grundwelle nicht ebenfalls herausgefiltert?

Im Frequenzspektrum sind neben den Harmonischen des PWM Signals keine 
weiteren Peaks erkennbar; da sich der Tastgrad des PWM Signals nicht 
ändert, wird ein Gleichspannungssignal erzeugt, das im Leistungsspektrum 
bei 0 Hz abgebildet wird. Wenn der Tastgrad derart variiert würde, dass 
in 3 PWM-Perioden die Amplituden eines Sinus-Signals erzeugt würden, 
wäre im Frequenzspektrum ein weiterer Peak bei f=5 Hz/3=1.7 Hz sichtbar. 
(Die Werte sind etwas mickrig geraten.) Korrekt?

Autor: Theor (Gast)
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Es scheint mir, dass es hilfreich sein könnte, genauer zu formulieren, 
wonach Du mit dem Wort "Warum" fragst.

Die Antworten, die Du versuchst, sind, aus verschiedenen 
Betrachtungsweisen genommen und Du versuchst Übergänge zwischen diesen 
Betrachtungsweisen. Das halte ich für sinnvoll, zweckmäßig und 
lehrreich. Jede dieser Betrachtungsweisen gibt in ihren Begriffen eine 
Antwort auf die Frage nach dem "Warum". Soweit so gut.


Es scheint mir aber auch, dass es hilfreich sein könnte, wenn man 
versucht eine Ordnung in die Aussagen zu bringen. Die Begriffe dazu hast 
Du soweit zusammen; in zwei Zusammenhängen könnte man sie noch 
ausdrücklicher formulieren.

Du hast z.B den Zeitbereich und den Frequenzbereich. Im Frequenzbereich 
arbeitest Du mit den Methoden der Fourier-Synthese und Analyse. OK.
Du hast Betrachtungen aus der Sicht von idealisierten und konkreten 
Schaltungen. Soweit auch OK.
Du hast auch Betrachtungen aus mathematischer Sicht und zwar in Bezug 
auf idealisierte als auch konkrete Schaltungen als auch auf den 
Zeitbereich und den Frequenzbereich. In dieser Hinsicht, scheint mir, 
könnte man etwas formaler und detaillierter formulieren.

Ich habe den Eindruck, dass man bei zwei oder drei Übergängen zwischen 
den Betrachtungsweisen noch klarer herauszustellen könnte, worin die 
Konkretisierung bzw. Abstraktion liegt und was das für den Unterschied 
bedeutet.

Ich möchte hier mal ein Beispiel beschreiben: Du schreibst an einer 
Stelle,  von dem Mittelwert der Spannung der PWM bei einem bestimmten 
Tastgrad. Ich meine aber aus der Wortwahl und der Satzaussage zu 
erkennen, dass Dir nicht ganz klar ist, dass der "Mittelwert" von dem Du 
sprichst das Ergebnis einer Berechnung in gewissen Grenzen (z.B. 
Zeitintervallen), mittels geschlossener mathematischer Ausdrücke ist, 
die sich grundsätzlich von der "Mittelwertbildung" durch einen Tiefpass 
(einem realen oder auch idealen [wobei die Frage beantwortet werden 
könnte, in welcher Hinsicht er idealisiert wurde] Tiefpass) 
unterscheidet. Vergleiche einmal die mathematische Beschreibung der 
Mittelwertbildung mit der eines Tiefpasses. Wenn Du z.B. diesen 
Unterschied klarer für Dich formulieren könntest, wäre meiner Ansicht 
nach ein wertvoller Fortschritt erzielt.

Vielleicht versuchst Du einmal Dir ein graphisches Schema aufzubauen und 
die Übergänge darin in Stichworten, - entsprechend meinen Anmerkungen 
oben -, zu beschreiben. Dann könnte einiges am Gesamtbild klarer werden.


Diese meine Antwort ist selbst relativ abstrakt. Das habe ich mit einer 
gewissen Absicht getan, weil ich es für sinnvoll halte, dass Du Deine 
eigenen Denkvorgänge einmal etwas näher betrachtest. Ich hoffe, dass ich 
Dir damit ein Stück weiter helfe.

Autor: Wolfgang (Gast)
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Johnson 3. schrieb:
> warum lassen sich mit PWM Signalen sinusoidale Signale erzeugen?

Weil die Frequenz des Sinussignales weit unter der PWM-Frequenz liegt.

Autor: Mar. Wa. (elektrowagi78) Benutzerseite
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> Gemäß dem Abtasttheorem (fs >= f) lassen sich bei einer Abtastrate von
> 10 KHz Frequenzen bis 5 kHz messen.
ja

> Hat die absolute Anzahl der
> Abtastwerte einen Einfluss auf das Ergebnis der Fourier-Transformation?
nein

> Die Grundfrequenz und die Harmonischen der PWM Frequenz erscheinen als
> Peaks im Frequenzbereich.
ja

> Die Harmonischen äußern sich als Rauschen im
> Sinus-Signal.
ja

> Sie werden daher durch einen Tiefpass mit einer
> Grenzfrequenz von 1/T gefiltert.
nein, 1/t /2 wegen Nyquist

> Im Beispiel liegt die Grenzfrequenz bei
> 5 Hz - einen idealen Tiefpass vorausgesetzt. Korrekt?
wenn Dein Filter so gebaut ist, ja

> Die Dämpfung bei der Grenzfrequenz entspricht -3 dB. Dies entspricht
> einer Verringerung der Leistung um den Faktor 2.
nein, 30%, 6dB wären 0,7*0,7 = 0,5

Autor: Possetitjel (Gast)
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Mar. W. schrieb:

>> Die Dämpfung bei der Grenzfrequenz entspricht -3 dB.
>> Dies entspricht einer Verringerung der Leistung um den
>> Faktor 2.
>
> nein,

Doch!

> 30%,

Nein. -3dB sind 71% der Amplitude . Und da das sowohl für
die Spannung als auch für den Strom gilt, entsprechen -3dB
der halben Leistung (50%).

> 6dB wären 0,7*0,7 = 0,5

Das gilt für die Amplitude .

-3dB ist 71% der Amplitude , also 50% der Leistung .
-6dB ist halbe Amplitude , als 25% der Leistung .

Warum diese "unsinnig komlizierte" Festlegung?

Nun, da -3dB gerade 71% der Spannungsamplitude, 71% der
Stromamplitude und 50% der Leistung entspricht, ist es
schlicht unnötig, zwischen "Spannungs-dB", "Strom-dB"
und "Leistungs-dB" zu unterscheiden. -3dB sind -3dB.

Voraussetzung für all das: Konstanter Widerstand.

Autor: chris (Gast)
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>Warum diese "unsinnig komlizierte" Festlegung?

>Nun, da -3dB gerade 71% der Spannungsamplitude, 71% der
>Stromamplitude und 50% der Leistung entspricht, ist es
>schlicht unnötig, zwischen "Spannungs-dB", "Strom-dB"
>und "Leistungs-dB" zu unterscheiden. -3dB sind -3dB.

Wenn ich die "FFT"-Funktion in meinem Rigol benutze, zeigt sie

dbVrms/div

Um die Auswirkungen zu testen habe ich die Amplitude mal halbiert.
Die Folge ist, dass der FFT-Peak um 6dB absinkt.
Insofern ist es schon eine Frage, wie man ein Signal interpretiert.

6dB Abschwächung auf dem Rigol Oszilloskop kann man auf zwei Weisen 
interpretieren:

1. Halbierung der Amplitude
2. Viertelung der Leistung

Autor: lalelu (Gast)
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chris schrieb:
> 1. Halbierung der Amplitude
> 2. Viertelung der Leistung

Und das ist beides das gleiche.

Zudem ist deine Skala ja klar auf die Spannung bezogen (db_V_rms)


Und zum Thema:
der TO hat ja schon erkannt, das ein PWM mit gleichbleibendem Tastgrad 
eine Gleichspannung ergibt.
Um einen Sinus zu erzeugen wird der Tastgrad im Vergleich zur 
PWM-Frequenz sehr langsam verändert.

Am Tiefpassfilter ist also immernoch ein (fast) konstanter Tastgrad, der 
dann als (fast) Gleichspannung dem aktuellen Wert der Sinuskurve 
entspricht.

Autor: chris (Gast)
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>Und das ist beides das gleiche.
Soso, Leistung und Amplitude ist das Gleiche.
Genau wie Äpfel und Birnen: beides Obst.

Autor: lalelu (Gast)
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chris schrieb:
>>Und das ist beides das gleiche.
> Soso, Leistung und Amplitude ist das Gleiche.
> Genau wie Äpfel und Birnen: beides Obst.

gr8 b8 m8

halbe Amplitude = viertel Leistung

weil P=U*I= U * (U/R)=U^2/R ~ U^2

Autor: Possetitjel (Gast)
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chris schrieb:

> Wenn ich die "FFT"-Funktion in meinem Rigol benutze, zeigt sie
>
> dbVrms/div

Ja, okay. Schön.

> Um die Auswirkungen zu testen habe ich die Amplitude mal
> halbiert. Die Folge ist, dass der FFT-Peak um 6dB absinkt.

Logisch.

> Insofern ist es schon eine Frage, wie man ein Signal
> interpretiert.

Nee, das ist keine Frage. Ein Oszi zeigt Spannung an.

Es steht ja auch klar da: "dBVrms/div".
Dezibel; bezogen auf 1V; Effektivwert; ein Teilstrich.

> 6dB Abschwächung auf dem Rigol Oszilloskop kann man auf
> zwei Weisen interpretieren:
>
> 1. Halbierung der Amplitude
> 2. Viertelung der Leistung

Ja. Und?

Die Formel P = U^2 / R kennst Du?!

Wie verändert sich die Leistung an einem Widerstand, wenn man
die Spannung halbiert?

Autor: Possetitjel (Gast)
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chris schrieb:

>>Und das ist beides das gleiche.
>
> Soso, Leistung und Amplitude ist das Gleiche.

Nein.

Aber "Halbierung der Amplitude" und "Viertelung der
Leistung" ist das Gleiche.

Autor: Analog OPA (Gast)
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Possetitjel schrieb:
> Aber "Halbierung der Amplitude" und "Viertelung der
> Leistung" ist das Gleiche.
Nur an einem linearen Widerstand.

Johnson 3. schrieb:
> der 2-Seiter aus dem Forum zum Thema PWM helfen mir nicht weiter.
Es wird Dir aber keiner was anderes sagen können, weil in den Wikis das 
steht, was passiert.

Wo ist denn das Verständnisproblem?

Die PWM ist nichts anderes, als ein Analogsignal, das gefiltert wird. Es 
hat nur eben keine Zwischenzustände, sondern immer Vollausschlag.
Was Du da rausfiltern kannst oder musst, hängt von der Anwendung ab.

Vereinfacht formuliert brauchst Du einen Filter, der irgendwo zwischen 
der PWM-Grundfrequenz und der zu betrachtenden Welle liegt.

Also z.B. 10kHz analoge PWM mit unendlicher Auflösung, Temperaturmessung 
mit 10Hz.  Filter-GF liegt bei 15..20Hz.

Willst Du 50Hz-Störung noch im Signal finden, dann eben 100Hz GF.

Autor: H. S. (Gast)
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>Nyquist

Wer sich die Mühe gemacht hat, einen Sinus mit sehr wenigen Punkten zu 
erzeugen und nach messen tut, was dabei rauskommt, der kommt nicht mehr 
auf die Idee, mit Nyquist und Faktor 2 in der Frequenzabtastung zu 
argumentieren.

Faktor 10 ist Pflicht und für die Applikation der TO wohl eher Faktor 
100.
Die 20.000 Hz PWM ergeben mit gutem Willen und viel Glück vielleicht 
gerade so 200Hz!

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