Herleitung der Beziehung zwischen Impedanz und Reflexionsfaktor

[Markus B. (lordnoxx)]

Hallo alle zusammen.

Ich habe in den Tiefen des Internet die angehängte pdf-Datei gefunden. 
Darin geht es um die Theorie der Leitungen.

Ab Seite 53 wird beschrieben wie der Reflexionsfaktor mit der Impedanz 
zusammen hängt. Nun komme ich auf dieser Seite mit Gleichung 3.20 nicht 
klar.

Es scheint hier so, als sei die Impedanz und der 
Leitungswellenwiederstand nicht das Selbe. Schon das finde ich komisch. 
Und dann verstehen ich nicht, wie man auf das Verhältnis der Spannungen 
da kommt und warum dieses Verhältnis dann mit Z_l multipliziert wird um 
daraus eine Impedanz zu gewinnen?

Würde mich freuen wenn mir hier jemand Licht ins Dunkel bringen könnte.

Danke und netten Gruß!

[Ziff (Gast)]

Man muss in diesem Fall den Wellenwiderstand und die Abschlussimpedanz 
auseinaderhalten. Wenn die gleich sind wird nichts reflektiert, und der 
Witz ist weg.

[Markus B. (lordnoxx)]

Ziff schrieb:
> Man muss in diesem Fall den Wellenwiderstand und die Abschlussimpedanz
> auseinaderhalten. Wenn die gleich sind wird nichts reflektiert, und der
> Witz ist weg.

Ja, das ist mir auch bewusst. Ich hätte vielleicht noch sagen sollen, 
dass ich wirklich alles in dieser PDF bis zur Gleichung 3.20 verstanden 
habe (denke ich zumindest). Nochmal zu Gleichung 3.20:

Im Text zum Reflexionsfaktor steht ja, dass man nun den Anfang einer 
Leitung auf Einspeisungsseite betrachte. Und da Z2 nicht genauer 
beschrieben ist, kann das dann auch nicht der Abschlusswiderstand sein. 
Konkret steht da:

--------------------------------Zitat----------------------------------- 
--
Zur Herleitung der Beziehung zwischen Impedanz und Reflexionsfaktor 
begeben wir uns zur Vereinfachung, aber ohne Beschränkung der 
Allgemeingültigkeit an die Stelle z = 0. Dort beträgt der 
Reflexionsfaktor

                            r2=Ur/Uh
und die Impedanz ist
                            Z2=Zl*((Uh+Ur)/(Uh-Ur))

------------------------------Zitat 
Ende---------------------------------

Also ist mit Z2 die Impedanz am Begin der Leitunge gemeint.
1.Ich dachte der Wellenwiderstand Zl sei die Impedanz einer Leitung
2.Wenn dem nicht so ist, warum muss ich dann Zl mit ((Uh+Ur)/(Uh-Ur))
multiplizieren um auf die eigentliche Impedanz zu kommen.

Ach ja, für die die nicht die ganze PDF durchlesen wollen:

Ur = Reflektierte Spannungswelle
Uh = Hinlaufende Spannungswelle


Ich hoffe es ist nun etwas klarer was ich meine. Sorry dass es bei 
meinem ersten Post etwas schwammig war.

Gruß

[Markus B. (lordnoxx)]

So da bin ich dann auch gleich nochmal. Die Sache hat mir keine Ruhe 
gelassen und ich habe weiter daran rumgetüfftelt. Zu folgendem bin ich 
nun gekommen. Bitte korrigiert mich wenn ich mir das falsch hergeleitet 
habe.

Also:

Z2 / Zl = U_Z2 / U(z)    //U(z) ist hier die Spannung am Ort z auf der
                         //Leitung, wenn z die Längenkoordinate ist.
                         //U_Z2 ist Spannung an der Abschlussimp. Z2

Wenn nun Z2 doch die Leitungsabschlussimpedanz ist, dann gilt dort in 
dem Moment wo die hinlaufende Spannungswelle Uh auf Z2 trifft und als 
rücklaufende Welle Ur reflektiert wird (hier also Z2>Zl oder Z2<Zl)

                             U_Z2 = Uh + Ur

Durch Ur stellt sich zusätzlich zum hinlaufenden Strom Ih noch der 
rücklaufende Strom Ir ein. Zusammen mit Zl ergibt sich also U(z) zu

        U(z)=(Ih-Ir)*Zl = Ih*Zl - Ir*Zl = Uh - Ur

Eingesetzt ergibt sich also für das Verhältnis von Z2 und Zl

        Z2 / Zl = U_Z2 / U(z) = (Uh + Ur) / (Uh - Ur)

Und damit: Z2 = Zl * ((Uh + Ur) / (Uh - Ur))


Hoffe das ich hier richtig gedacht habe. Würde mich freuen wenn das 
Jemand beurteilen könnte.

[Ralli (Gast)]

Mach doch einfach den Test, ob es bei ZL = 50 Ohm für

A) Z2 = 0 Ohm  (Kurzschluss, r = -1)
und
B) Z2 = oo Ohm (offen, r = +1)
und
C) Z2 = 2 ZL = 100 Ohm (r = +0,5)
und
D) Z2 = 1/2 ZL = 25 Ohm (r = -0,5)
passt.

Übrigens, es ist nun mal DIE Definition in der Leitungstechnik:

ZL oder Zw ist üblicherweise der (bei f > 100 kHz)
ohmsche Wellenwiderstand der Leitung.

Z1 ist üblicherweise der (komplexe)
Eingangswiderstand einer Leitung bei

Z2 dem (komplexen) Abschlusswiderstand der Leitung.

Und, weil es eine DEFINITION ist, kein Gegenstand von Diskussionen.
(Aber natürlich nicht SELBSTVERSTÄNDLICH, wenn man sich damit zum
ersten Mal befasst.) :-)

Richtig spannend wirds doch erst, wenn noch Zo, der (komplexe)
Innenwiderstand der Signalquelle hinzukommt! ;-)

[Daniel (Gast)]

hmm fast
r = (Z-ZL)/(Z*ZL)
->
C) Z = 2*ZL -> r = 0.333
D)Z = 0.5*ZL -> r = -0.333

[Daniel (Gast)]

Tippfehler meinerseits: + anstatt *
r = (Z-ZL)/(Z+ZL)
Ergebnisse sind denoch +/- 0.333

[Ralli (Gast)]

@Daniel
Hmmm - war schon etwas spät.

Aber ist "vergebliche Liebesmühe",
Anregungen zum "Selber-Denken" gehen,
wie so oft, auch hier in's Leere.

[Markus B. (lordnoxx)]

Zunächst möchte ich noch allen für ihre Antworten und Hilfestellungen 
danken. Ich denke ich weiß nun wo mein Denkfehler war und ich denke ich 
habe den Sachverhalt jetzt verstanden.

@ Ralli: Kannst du mir erklären was du damit meinst?

> Hmmm - war schon etwas spät.
>
> Aber ist "vergebliche Liebesmühe",
> Anregungen zum "Selber-Denken" gehen,
> wie so oft, auch hier in's Leere.