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Forum: Analoge Elektronik und Schaltungstechnik Berechnung Stromstärke Kondensator DC


Autor: Tom Matt (br00k3n)
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Hallo,

ich habe eine Frage, wie kann man sich die Formel i= Io*e^(-t/tau) 
herleiten? Warum verwendet man hier eine e-Funtion?
Und gibt es irgendeine Herleitung für tau oder wurde das durch Proben 
ermittelt?

Entschuldigt bitte mein Unwissen, aber ich kann wirklich nichts zu dem 
Thema finden.

Gruß

Tom

Autor: Falk Brunner (falk)
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@  Tom Matt (br00k3n)

>ich habe eine Frage, wie kann man sich die Formel i= Io*e^(-t/tau)
>herleiten?

Über die Differentialgleichung des Kondensators. I = dU/dt * C

> Warum verwendet man hier eine e-Funtion?

Das ist die Lösung der Differentialgleichung.

>Und gibt es irgendeine Herleitung für tau

Sicher.

>oder wurde das durch Proben
>ermittelt?

Lass das mal keinen Mathematiker hören, der springt dir an den Hals ;-)

>Entschuldigt bitte mein Unwissen, aber ich kann wirklich nichts zu dem
>Thema finden.

Dann suchst du schlecht.

MfG
Falk

Autor: Bernadette (Gast)
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Falk Brunner schrieb:
> Über die Differentialgleichung des Kondensators. I = dU/dt * C

Das ist keine Differentialgleichung !

Ersetze U durch U0*sin( ...t/tau) und schreibe den Sinus mit Hilfe der 
komplexen e-Funktion.

Dann bilde die Ableitung nach t und setze an geeigneter Stelle Io ein.

t=Zeit, tau=Schwingungsdauer oder 2*pi/T (je nach Autor)

Das wars.


B.

Autor: Falk Brunner (falk)
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@  Bernadette (Gast)

>> Über die Differentialgleichung des Kondensators. I = dU/dt * C

>Das ist keine Differentialgleichung !

Für mich schon.

>Ersetze U durch U0*sin( ...t/tau) und schreibe den Sinus mit Hilfe der
>komplexen e-Funktion.

Und wozu?

>Dann bilde die Ableitung nach t und setze an geeigneter Stelle Io ein.
>t=Zeit, tau=Schwingungsdauer oder 2*pi/T (je nach Autor)

Wer sagt denn, dass ich das rein wechseltstrommässig betrahten will und 
muss?

MfG
Falk

Autor: Helmut Lenzen (helmi1)
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Oder über die Laplacetransformation

Beitrag "Re: kondensator über spannungsteiler laden"

Autor: Simon K. (simon) Benutzerseite
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Bei Wikipedia findet man eine Herleitung aus der 
Ladungs-Differentialgleichung.

http://de.wikipedia.org/wiki/RC-Glied#Differential...

Meiner Meinung nach gibt es aber schönere Herleitungen ;-)

Autor: Helmut Lenzen (helmi1)
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U ------- R -------+----- Uc
                   |
                   C
                   |
                  ---

Ansatzt:  U = I*R + UC

I = C * duc/dt

eingesetzt in obere Formel ergibt

U = R* C* duc/dt + UC

Das ist eine inhomogene lineare Dgl 1.Ordnung

Wir loesen die homogene Dgl indem man das Stoerglied (U) zu 0 setzt.

0 = R*C*duc/dt + UC

umstellen

duc/dt = UC /-(R*C)

loesung der DGL durch trennen der Variabeln (es gibt noch andere 
Loesungswege)

duc/UC = dt * -1/(R*C)

integrieren auf beiden Seiten ergibt (Man kann der Integrationskonstante 
K auch durch ihren Logarhytmus darstellen was die Sache vereinfacht)

ln(UC) + ln(K) = -t/(R*C)

zusammenfassen:

ln(UC/K) = -t/(R*C)

umstellen

UC/K = exp(-t/R*C)

UC = K * exp(-t/R*C)

Das ist die Loesung der homogenen DGL.  Der Faktor K muss noch bestimmt 
werden.

Zur Loesung der inhomogene DGL brauchen wir noch eine partikulaere 
Loesung.

Die ergibt sich aus
U = R* C* duc/dt + UC  mit UC = 1 und duc = 0

zu U = 1

Die Gesammtloesung:

UC = U + K*exp(-t/R*C)

Der Faktor K bestimmen wir aus der Anfangsbedingung. Beim Einschalten 
t=0 ist UC = 0 zu

0 = U + K   mit exp(-0/R*C) = 1

also ist K = -U

Das jetzt in UC = U + K*exp(-t/R*C) eingesetzt ergibt

UC = U - U*exp(-t/R*C)

oder schoener geschrieben zu:

UC = U(1-exp(-t/R*C)

>ich habe eine Frage, wie kann man sich die Formel i= Io*e^(-t/tau)
>herleiten? Warum verwendet man hier eine e-Funtion?
>Und gibt es irgendeine Herleitung für tau oder wurde das durch Proben
>ermittelt?

Du siehst das wurde nicht durch Probieren herausgefunden.

Autor: Tom Matt (br00k3n)
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Vielen Dank jetzt hab ich mal ne herleitung dafür^^ Wir machen das 
nämlich nicht im BKFHT und es ist schwer sich das dann irgendwie aus dem 
hut zu ziehn

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