Forum: Analoge Elektronik und Schaltungstechnik Zwei RC-Glieder seriell - Spannung am zweiten Kondensator?


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von Werner (Gast)


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Hallo zusammen,

angenommen, ich habe zwei RC-Glieder hintereinander, die durch einen OPV 
getrennt sind und sich deshalb nicht gegenseitig beeinflussen. Siehe 
Schaltung im Anhang.

Die Ladespannung am ersten Kondensator C1 berechnet sich dann zu:


Jetzt möchte ich gerne zu einem beliebigen Zeitpunkt t die Ladespannung 
am hinteren Kondensator C2 ausrechnen. Ich knobel schon eine ganze 
Weile, aber komme nicht darauf.

Weiß jemand Rat und kann mir helfen?

Werner

von Lutz V. (lvw)


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Mit "Ladespannung" meinst Du vermutlich die Sprungantwort des ersten 
RC-Gliedes (da die Gleichspannung am Eingang bei der TRAN-Analyse zum 
Zeitpunkt t=0 praktisch eingeschaltet wird.)
Daraus ergibt sich dann durch die Integration des Ladestromes die 
e-Funktion des ersten Teils (die Du ohne Integration gleich angenommen 
hast).
Beim zweiten RC-Glied hast Du nun keinen Eingangssprung mehr - also 
musst Du auf die Definition (Zusammenhang Uc und Ic) zurückgreifen und 
damit den Spannungsumlauf formulieren:
Uc=(1/C)*[Integral Icdt], oder in der Form
Ic=C*dUc/dt.

: Bearbeitet durch User
von Elektrofan (Gast)


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Wenn man (noch?) Laplace-Transformation könnte, wär's leicht ...

von Christian S. (roehrenvorheizer)


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Hallo,

Google mal zu Sprungantwort PT1 und PT2 Glied. Da findet sich vieles. 
Ansonsten Buch zu theoretische Elektrotechnik oder Regelungstechnik 
konsultieren.

Mfg

von Werner (Gast)


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Ich glaube, der Hinweis mit der Sprungantwort des PT2 Glieds ist eine 
heiße Spur. Vermutlich hilft mir Formel (9.136) aus folgendem Link 
weiter:

https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-a-zeitkontinuierliche-signale-und-systeme/uebertragungsglieder-der-regelungstechnik/zusammengesetzte-uebertragungsglieder/pt2-glied.html

Ich bekomme es nur noch nicht ganz zusammen.

Danke für die bisherigen Tipps!

von Kevin M. (arduinolover)


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Was ist daran so schwer?

die Spannung an einem Kondensator ist:
Uc(t) = U0*(1-exp(t/tau)

An deinem zweiten RC-Glied liegt die Spannung nicht sprunghaft an, 
sondern steigt mit der des ersten RC-Glieds:

Uc2(t) = Uc1(t)*(1-exp(t/tau)

Bei unterschiedlichen R und C berechnet sich die Spannung zu einem 
beliebigen Zeitpunkt folglich:

Uc2(t) = U0 *(1-exp(t/tau1)*(1-exp(t/tau2)

Bei identischen R und C vereinfacht es sich zu:

Uc2(t) = U0 *(1-exp(t/tau)²

Wenn dein U0 Zeitabhängig ist musst du das entsprechend anpassen. Und 
deine Startspannung ist auch relativ unproblematisch einzubauen.

von Lutz V. (lvw)


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Kevin M. schrieb:
> Was ist daran so schwer?
>
> Uc2(t) = U0 *(1-exp(t/tau1)*(1-exp(t/tau2)

Durch diesen Ansatz setzt Du voraus, dass das 2. RC-Glied ebenfalls als 
Eingang einen Sprung erhält, was aber - auch Deinen eigenen Worten nach 
- nicht der Fall ist. Damit widersprichst Du Dir selber und das Ergebnis 
kann nicht einfach das Produkt zweier Sprungantworten sein.

von H. B. (communicator9)


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Miss mit Spice mal den Spannungsverlauf an C2 im Verhältnis zu C1.
Daraus kann man schon mal Rückschlüsse auf das Verhalten ziehen.

von Wolfgang (Gast)


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Werner schrieb:
> Jetzt möchte ich gerne zu einem beliebigen Zeitpunkt t die Ladespannung
> am hinteren Kondensator C2 ausrechnen.

Brauchst du eine geschlossene Formel oder reicht die die Ladekurve?

von Lutz V. (lvw)


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Werner schrieb:
> Ich glaube, der Hinweis mit der Sprungantwort des PT2 Glieds ist eine
> heiße Spur.

Ja, aber man muss drauf achten, dass beide Pole reell sind - also die 
Polgüte dieser Tiefpass-Anordnung zweiten Grades gleich oder kleiner als 
0,5 ist.

von Wolfgang (Gast)


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Lutz V. schrieb:
> Ja, aber man muss drauf achten, dass beide Pole reell sind

Das wird sich bei einfacher Serienschaltung von Tiefpässen 1.Ordnung 
nicht vermeiden lassen.

von Kevin M. (arduinolover)


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Lutz V. schrieb:
> Durch diesen Ansatz setzt Du voraus, dass das 2. RC-Glied ebenfalls als
> Eingang einen Sprung erhält, was aber - auch Deinen eigenen Worten nach
> - nicht der Fall ist.

Nein mach ich nicht, da die Spannung am zweiten eben mit der des ersten 
ansteigt. Oder was soll das sonst sein wenn ich schreibe:

Uc2(t) = Uc1(t)*(1-exp(t/tau)

wohl kaum ein Sprung....

Wenn du mir nicht glaubst schau dir die Bilder im Anhang an...

von Lutz V. (lvw)


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Wolfgang schrieb:
> Lutz V. schrieb:
>> Ja, aber man muss drauf achten, dass beide Pole reell sind
>
> Das wird sich bei einfacher Serienschaltung von Tiefpässen 1.Ordnung
> nicht vermeiden lassen.

Mein Kommentar bezog sich auf das erwähnte PT2-Element. Und da gibt es 
sogar relativ häufig ein komplexes Polpaar.

von Lutz V. (lvw)


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Kevin M. schrieb:
> Nein mach ich nicht, da die Spannung am zweiten eben mit der des ersten
> ansteigt.

Aber Dein Ergebnis besteht doch aus dem Produkt zweier Sprungantworten 
(1-exp)*(1-exp).....Also machst Du es doch!
Was zeigen denn Deine Bilder? Eine Sprungantwort 1. Ordnung und eine 2. 
Ordnung. Ja - und? Wo ist denn der Beweis, dass es dabei um das PRODUKT 
zweier Sprungantworten geht?
Dazu musst Du zwei Sprungantworten 1. Ornung erzeugen und die dann zum 
Schluss multiplizieren! Und dann vergleichen...

: Bearbeitet durch User
von Werner (Gast)


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H. B. schrieb:
> Miss mit Spice mal den Spannungsverlauf an C2 im Verhältnis zu C1.
> Daraus kann man schon mal Rückschlüsse auf das Verhalten ziehen.

Den Kurvenverlauf habe ich hier angehängt. Grün ist die Spannung an C1 
(Formel bekannt), blau ist die Spannung C2 (Formel gesucht).


Wolfgang schrieb:
> Brauchst du eine geschlossene Formel oder reicht die die Ladekurve?

Ich hoffe, ich habe Deine Frage richtig verstanden: Ich möchte die 
Ladekurve U_C2(t) für beliebige t berechnen. Die Entladekurve brauche 
ich nicht.


Lutz V. schrieb:
> Ja, aber man muss drauf achten, dass beide Pole reell sind - also die
> Polgüte dieser Tiefpass-Anordnung zweiten Grades gleich oder kleiner als
> 0,5 ist.

Ich habe den Eindruck, für meine Frage muss ich mich in die Berechnung 
von Filtern einarbeiten. Ich habe heute Vormittag mit der Formel 
herumgespielt:

Für tau_1 = tau_2, wie es in meinem Beispiel ist, werden die hinteren 
Terme zu unendlich. Das ist natürlich ungünstig. Sind das die "Pole", 
von denen ihr sprecht?

von Kevin M. (arduinolover)


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Lutz V. schrieb:
> Aber Dein Ergebnis besteht doch aus dem Produkt zweier Sprungantworten
> (1-exp)*(1-exp).....Also machst Du es doch!

Wie du meinst, es ging darum die Spannung zu berechnen das habe ich 
gemacht. Ich hab es schon vor langem aufgegeben mit den viel schlaueren 
Menschen hier zu diskutieren.

von Kevin M. (arduinolover)


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Lutz V. schrieb:
> Dazu musst Du zwei Sprungantworten 1. Ornung erzeugen und die dann zum
> Schluss multiplizieren! Und dann vergleichen...

Was glaubst du womit ich die Matlab Figure erzeugt habe? in Paint 
gemalt? Wohl kaum :D

von Werner (Gast)


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Okay, ich glaube, jetzt hab ichs...

von Werner (Gast)


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So funktionierts:

von Achim S. (Gast)


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Kevin M. schrieb:
> Wie du meinst, es ging darum die Spannung zu berechnen das habe ich
> gemacht

aber dein Ergebnis stimmt halt leider nicht. Im Anhang mal der direkte 
Vergleich deiner Formel mit dem simulierten Verlauf. Die Kurven sehen 
sich zwar ähnlich, aber  direkt nebeneinander aufgetragen wird der 
Unterschied schon deutlich, oder?

Kevin M. schrieb:
> Wenn du mir nicht glaubst schau dir die Bilder im Anhang an...

wenn man ein bisschen genauer hinschaut sieht man den Unterschied 
zwischen deiner Berechnung und der Simulation auch schon in deinen 
Bildern. Vergleiche z.B. mal, wann bei deinen Bildern jeweils 1V am 
zweiten Kondensator erreicht wird.

von Jan K. (jan_k)


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Aua was ist denn hier los? Die beiden PT1 Übertragungsfunktionen werden 
im Frequenzbereich multipliziert, nicht im Zeitbereich. Im Zeitbereich 
sind das alles Differentialgleichungen (Funktionen von t und deren 
Ableitungen nach t), da kannst du nicht einfach für U eine zeitabhängige 
Funktion in die Lösung der DGL einsetzen, da diese dann nicht mehr die 
Lösung ist...

von Kevin M. (arduinolover)


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Achim S. schrieb:
> aber dein Ergebnis stimmt halt leider nicht.

Hast du die fehlende Übertragungsfunktion des Opamps bedacht? Die ist in 
LTSpice nicht ideal...

von Lutz V. (lvw)


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Kevin M. schrieb:
> Was glaubst du womit ich die Matlab Figure erzeugt habe? in Paint
> gemalt? Wohl kaum :D

Das von Dir beigefügte Schaltbild hat aber was ganz anderes 
gezeigt....eine eigentümliche "Beweisführung".

von Lutz V. (lvw)


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Kevin M. schrieb:
> Ich hab es schon vor langem aufgegeben mit den viel schlaueren
> Menschen hier zu diskutieren.

Gute Entscheidung.....lies Dir mal dieAntwort von Achim S. durch....

von Achim S. (Gast)


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Kevin M. schrieb:
> Hast du die fehlende Übertragungsfunktion des Opamps bedacht? Die ist in
> LTSpice nicht ideal...

die spielt bei den gewählten Zeitkonstanten so überhaupt gar keine 
Rolle...

Kannst ja mal die Parameter des OPV in der Simu um eine Größenordnung 
verbessern und schauen, wie riesig der Einfluss auf die Kurvenform ist.

von eric (Gast)


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Mir scheint, hier sucht jemand Hilfe
für eine Übungsaufgabe in der theoretischen E-Technik.

von Werner (Gast)


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Okay, die Formeln aus dem Link funktionieren ganz wunderbar:
https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-a-zeitkontinuierliche-signale-und-systeme/uebertragungsglieder-der-regelungstechnik/zusammengesetzte-uebertragungsglieder/pt2-glied.html

Für τ1 != τ2 gilt:

Für τ1 = τ2 = τ gilt:

Jetzt habe ich noch das Problem, dass die Kondensatoren zu Beginn auf 
eine Startspannung geladen sein sollen. Bei identischen Spannungen ist 
es leicht. Aber bei unterschiedlichen Spannungen probiere ich es jetzt 
eine Weile, aber der Groschen fällt einfach nicht.

Kann mir nochmal bitte jemand helfen?

von Wolfgang (Gast)


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Kevin M. schrieb:
> Hast du die fehlende Übertragungsfunktion des Opamps bedacht? Die ist in
> LTSpice nicht ideal...

Das Ding läuft als Spannungsfolger. Zeig mal, welchen Unterschied du da 
in dieser Schaltung im Vergleich zum idealen OP siehst.

Was meinst du wohl, welchen Einfluss die Übertragungsfunktion des OP auf 
die Übertragungsfunktion des Spannungsfolgers in dem relevanten 
Frequenzbereich hat?

von Werner (Gast)


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Funktioniert folgender Ansatz?

Formel (gilt für τ1 != τ2):

Erweiterung um Faktoren x1 und x2, die die Startspannung der 
Kondensatoren U_Start1 und U_Start2 abbilden sollen:

Festlegung bekannter Werte für x1 und x2:

(1) Folgendes muss für x1 und x2 gelten, damit bei bereits voll 
geladenem C1 die Formel für die Sprungantwort am zweiten RC-Glied 
erscheint:

(2) Das Gleiche aus (1) gilt analog für C2 / das erste RC-Glied:

(3) Per Simulation kann ich sehen, dass folgendes gilt, wenn beide 
Startspannungen identisch sind:


Als nächstes müsste ich jetzt eine Formel für x1 und x2 entwickeln, die 
die eben genannten Bedingungen erfüllt. (Sofern das eben alles richtig 
war, natürlich.) Das heißt, sie müsste folgendes abbilden:

Was haltet ihr davon?

von LostInMusic (Gast)


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Ich komme auf

wobei die Abkürzungen darin definiert sind als:

Die Spannung U_unendlich ist die zeitlich konstante Spannung der Quelle 
ganz links im Schaltbild. x0 und y0 sind die (dimensionslosen) 
Ladespannungen der Kondensatoren zum Zeitpunkt t = 0.

Für die Funktion f(t) ist eine Fallunterscheidung nötig. Im Fall alpha 
ungleich beta ist
zu setzen, im Fall alpha = beta dagegen
Wenn Du die Probe machst, wirst Du sehen, dass die angegebenen Lösungen 
tatsächlich die Differentialgleichungen
beziehungsweise
erfüllen. Die Herleitung dieser DGs sollte klar sein (Addition der 
Spannungen am Widerstand und Kondensator unter Verwendung von U = RI und 
I = dQ/dt und Q = CU).

Die Standardmethode für den Problemtyp "inhomogene, lineare DG erster 
Ordnung mit konstanten Koeffizienten" ist die sogenannte "Variation der 
Konstanten". Kannst Dich ja schlaumachen und es dann selbst probieren. 
Ansonsten benötigst Du nur Stift, Papier (zwei DIN A4-Seiten für die 
Lösung der y-DG) und die Stammfunktion von e^x.

>Was haltet ihr davon?

Wenn Du solche Feinheiten wie z. B. die sich hier ergebende 
Fallunterscheidung korrekt ausknobeln kannst, bist Du gut.

von Werner (Gast)


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Chapeau! Deine Formel funktioniert einwandfrei. Beeindruckend, wie Du 
mit Formeln umgehen kannst!

Ich wollte die Lösung unbedingt wissen und habe erst eine Weile mit 
Ausprobieren verbracht. Seit gestern Abend lese ich mich nun in DGL ein 
und glaube, das ein oder andere auch verstanden zu haben. Trotzdem 
probiere, rechne und knobel ich herum, ohne auf die Lösung zu kommen.

Vielen Dank, dass Du Dir die Zeit für eine Antwort genommen hast! Danke 
natürlich auch an alle anderen, die mir weiter geholfen haben! Das war 
sehr nett!

Werner

von Werner (Gast)


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Machst Du etwas in dieser Richtung? Mathematik?

von LumpedNetwork (Gast)


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Dump the Laplace transform, it's too much hassle and too much knowledge 
required. Use Heaviside's transform!

The voltage source that switches from Vs to Vz at t=0 may be represented 
as a series connection of two voltage sources. One switches off from Vs 
to zero, the other switches on from zero to Vz. If the unit step is 
denoted as u(t), the voltage applied to the input is:
The transfer function from the input voltage Vi(t) to the output voltage 
Vo(t) on the second capacitor assuming R1=R2 and C1=C2 is
It's calculated by whatever means, ranging from manually applying the 
Ohm's law to employing a symbolic solver.
Now Vi(t) has to be transformed through F(p). For constant DC term the 
transform is F(0). For the unit step term, the transform is found using 
the Carson-Heaviside transform table (or Laplace's, but multiply the 
table by operator 's', so that transform of unit step equals one).
This expression is valid for all t from minus to plus infinity, unlike 
the Laplace transform, which starts from t=0.
Heaviside transform requires only high-school math and the knowledge of 
Euler's formula. Also, one doesn't struggle with initial conditions, 
since they are calculated automatically in the process.

P.S. Sorry for potential violation of forum rules, but my German is even 
worse than my English.

von Rainer V. (a_zip)


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Bin sehr beeindruckt über die gekonnten Herleitungen über 
Übertragungsfunktion und Differenzialgleichungen. Ich würde allerdings 
alles viel simpler betrachten.  Beide TP sind über einen Buffer 
entkoppelt, sodass der Ausgang des ersten der Eingang des zweiten ist. 
Ich nehme nun das Bodediagramm des ersten TP und bekomme irgendwo meinen 
-3dB-Punkt und idealerweise danach einen Spannungsabfall von 6dB pro 
Oktave. Da beide TP gleich dimensioniert sind (und entkoppelt) sieht der 
zweite im Durchlassbereich bis zum 3dB-Punkt die 0-dB des ersten und 
gibt sie auch aus. Danach sieht der zweite die -6dB pro Oktave, die er 
seinerseits um  6dB abschwächt und am Ausgang stellen sich -12dB pro 
Oktave ein. Das alles hätte man in Spice im Nu dargestellt...ich wollte 
es aber "zu Fuß" haben...
Gruß Rainer

von LumpedNetwork (Gast)


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Right, but you've numerically solved this problem for AC steady state, 
while OP asked for analytical transient solution.

von Werner (Gast)


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LumpedNetwork schrieb:
> Dump the Laplace transform, it's too much hassle and too much knowledge
> required. Use Heaviside's transform!

That's a neat approach! But to be honest, I was far away from using such 
tricks as I was still struggling to understand the task itself. So 
thanks for your hint.

There is one drawback with your solution though: I'd like to set the 
initial voltage for both capacitors. However with your formular it's 
possible to set the source voltage only.



Rainer V. schrieb:
> Ich nehme nun das Bodediagramm des ersten TP und bekomme irgendwo meinen
> -3dB-Punkt und idealerweise danach einen Spannungsabfall von 6dB pro
> Oktave.

Das hatte ich auch probiert. Aber damit funktioniert es nur im 
Frequenzbereich. Ich suche dagegen das Verhalten im Zeitbereich.


@ LostInMusic und alle anderen : Hast Du / habt ihr noch einen Tipp, 
wie ich die Formel nach t umstellen kann? Ich wüsste gerne, nach welcher 
Zeit t eine bestimmte Spannung am Ausgang (= Kondensator C2) erreicht 
ist.

Ich lande bei meinen Versuchen nach Substituieren immer bei einer 
Gleichung der Form:

Diese Form ist, wenn ich es richtig sehe, nicht nach t umstellbar. Oder 
doch? Gibt es da einen Trick?

von LumpedNetwork (Gast)


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Werner schrieb:
> There is one drawback with your solution though: I'd like to set the
> initial voltage for both capacitors. However with your formular it's
> possible to set the source voltage only.

It's a feature of Heaviside transform, not a bug. You can't set initial 
conditions on BOTH voltage source AND capacitors. Because everything up 
to t=0 is DC steady state, the voltage source has an infinite amount of 
time to override any initial charge on these capacitors.

If someone is dead set on having a particular voltage on the capacitors 
at t=0, he may use a unit step voltage source in series with a capacitor 
to add some voltage. Alternatively, a parallel-connected current source 
that injects some charge with a Dirac impulse can be used. Now, if the 
source is also a unit step, we're back at Laplace transform, actually.

> Diese Form ist, wenn ich es richtig sehe, nicht nach t umstellbar.

https://math.stackexchange.com/questions/129504/solving-a-sum-of-exponentials

von Werner (Gast)


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LumpedNetwork schrieb:
> If someone is dead set on having a particular voltage on the capacitors
> at t=0, he may use a unit step voltage source in series with a capacitor
> to add some voltage. Alternatively, a parallel-connected current source
> that injects some charge with a Dirac impulse can be used.

I must admit that I don't have the skills to understand how to do that. 
I hope this will be helpful to the others.


LumpedNetwork schrieb:
>> Diese Form ist, wenn ich es richtig sehe, nicht nach t umstellbar.
>
> https://math.stackexchange.com/questions/129504/solving-a-sum-of-exponentials

In the link they're telling that there is a solution for exponents 
smaller than 5. Which would be fine as I can scale my exponent without 
restrictions. That is, I can increase 𝜏 such that the exponent becomes < 
5, if I also increase t accordingly. Right?

von LumpedNetwork (Gast)


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Werner schrieb:

> In the link they're telling that there is a solution for exponents
> smaller than 5. Which would be fine as I can scale my exponent without
> restrictions. That is, I can increase 𝜏 such that the exponent becomes
> < 5, if I also increase t accordingly. Right?

No, what they mean is that with substitution
this equation can be rewritten as
And this kind of equation is solvable only for integer ratio tau1/tau2 
no higher that 4.

> I must admit that I don't have the skills to understand how to do that.
> I hope this will be helpful to the others.

OK. When the student is ready, the teacher will appear :)

It's a well-known technique in Laplace transform. It allows inserting 
initial conditions into the circuit by connecting artificial sources to 
reactive elements.

von Werner (Gast)


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Does that mean that for any given PT2 element with tau1/tau2 > 5, it is 
impossible to calculate the time after which a specific output level 
is reached?!

von Dirk S. (dirkst)


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Gruss

Ich finde den Ansatz von Kevin M. am
30.1 um 4:34 konventionell für richtig.
Auch wenn das Binom durch einen Tippfehler
unter geht.
Mit Tau1 und Tau2 in e, entsp. b1 u. b2.
1^2 -b2 -b1 + b1*b2.
Das lässt sich darstellen.
Der Rest hin zu t ist höhere Mathematik.
Die Gegenständliche Darstellung lässt sich variieren, Variation der 
Parameter bz. Konstanten, sind dann Analytisch ( Kurvendiskusion ) 
zugänglich.

Dirk St

von LumpedNetwork (Gast)


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Werner schrieb:
> Does that mean that for any given PT2 element with tau1/tau2 > 5,
> it is
> impossible to calculate the time after which a specific output level
> is reached?!

To be able to solve this equation algebraically, the ratio of tau1/tau2 
should be an integer 1, 2, 3, or 4. But nothing rules out the numerical 
solution for any other ratio. SPICE does it, after all.

Usually, this is not a problem. When time constants tau1 and tau2 differ 
by a large amount (poles are well split), only one constant dominates 
because for LPF and HPF response the exponents are scaled with these 
time constants. Beware, that no scaling happens for BPF. One can deduce 
that from the Laplace transform table.

von Rainer V. (a_zip)


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Werner schrieb:
> Ich suche dagegen das Verhalten im Zeitbereich.

dann mache ich es noch mal intuitiv. Beide Kondensatoren sind entladen 
und es wird eine Spannung Ui an den ersten Widerstand angelegt. Dann 
steigt die Spannung an C1 nach der "tau-Formel". D.h. u.a. Spannung an 
C1 ist nach 5 tau (oder auch x tau) ~Ui. Diese Spannung sieht nun R2 und 
läd C2 nach der selben tau-Formel auf (R1=R2, C1=C2). Damit erwarte ich, 
dass die Spannung an C2 hinter C1 herhinkt, bis sie sich dann bei ~Ui 
treffen. Und damit ergibt sich für mich die Frage, warum in den früheren 
Ansätzen mit zwei verschiedenen tau gerechnet wird. Die DG ist doch nur 
deshalb nicht allgemein lösbar. Vielleicht bin ich aber auch auf dem 
Holzweg...
Gruß Rainer

von LostInMusic (Gast)


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>Diese Form ist, wenn ich es richtig sehe, nicht nach t umstellbar. Oder
>doch? Gibt es da einen Trick?

Es gibt leider keine Möglichkeit, die Gleichung

a = e^(−t/τ2) + e^(−t/τ1)

nach t aufzulösen (von wenigen Sonderfällen abgesehen). Der Trick, das 
als

a = x + x^(τ1/τ2)

umzuinterpretieren und dann z. B. für τ1/τ2 = 2 oder 3 oder 4 die 
Nullstelle des entsprechenden Polynoms analytisch zu berechnen, könnte 
natürlich funktionieren. Ob das dann aber für Deine Anwendung zu einer 
zufriedenstellenden Lösung führt, hängt sicher auch von der speziellen 
Aufgabe ab, die diese Schaltung erfüllen soll. Angenommen, Du legst Dich 
auf τ1/τ2 = 3 fest: Wie genau kannst Du die "3" erreichen? Die Werte von 
R1, R2, C1 und C2 unterliegen ja immer gewissen Schwankungen z. B. durch 
Temperatur, Alterung usw. Das führt dann nur zu einer weiteren Frage: 
Welches Vertrauen kannst Du noch in Dein berechnetes Ergebnis haben, 
wenn die 3 mal ein bisschen größer oder kleiner ist? Ehrlich gesagt: Ich 
hätte da eher kein gutes Gefühl. Da würde ich dann lieber nach einer 
Ersatzschaltung suchen, die denselben Zweck erfüllen kann, aber 
einfacher zu berechnen ist.

von Jan K. (jan_k)


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I understand, we've reached the point where different initial conditions 
are being investigated, but I'd like to go one step back to show how to 
develop the solution with initial conditions = 0 in the frequency domain 
instead of in the time domain.

From a system theoretical perspective, a RC circuit is a PT1 element 
with known (look it up in tables) transfer function
, where H is the transfer function ("Übertragungsfunktion"), Y the 
Laplace transformed output (aka the voltage across the capacitor) and U 
the input to the circuit (laplace transformed, too).

Now here is the trick. Since you use a buffer to decouple the second RC 
element from the first one, there is no feedback from the second to the 
first one, they are independent. Therefore you can multiply the two 
transfer functions to get the system's overall answer:

The tricky part is to figure out the U which is the laplace transformed 
input signal (V1 voltage). Luckily it's easy here, it's an input step 
function (called Heaviside function) from 0 to a fixed value. Its 
Laplace transform is 1/s (or K/s for a constant gain) see 
https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation#Korrespondenztabelle.

Apply it and transform it back to time domain. This can be done via 
partial fraction decomposition (which is indeed a bit complicated, but 
still basic math, no fancy stuff, see 
https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung. You can also use 
WolframAlpha to calculate it ;)

With tau1 = R1C1 and tau2 = R2C2:

Transform it back (simply using tables, no calculation)

Θ(t) is the Heaviside function that equals 1 for t>0. K is a constant 
factor, i.e. instead of an input voltage of 1 (V) you can have K=10 or 
so. The transfer function is usually unit less, but you can also choose 
K=10 V to have Volts.

This is exactly the result shown above, but without any formula in the 
time domain. No U=RI, no Q=CU, no Kirchoff's law. It's just a slightly 
different approach, coming from the system theory :)

However, initial conditions != 0 are a bit tricky and honestly I don't 
know any way without transforming it to state space representation.

Note, this really only works when the circuits are perfectly decoupled 
which is not often the case for electric circuits :)

von Jan K. (jan_k)


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Rainer V. schrieb:
> Bin sehr beeindruckt über die gekonnten Herleitungen über
> Übertragungsfunktion und Differenzialgleichungen. Ich würde allerdings
> alles viel simpler betrachten.  Beide TP sind über einen Buffer
> entkoppelt, sodass der Ausgang des ersten der Eingang des zweiten ist.
> Ich nehme nun das Bodediagramm des ersten TP und bekomme irgendwo meinen
> -3dB-Punkt und idealerweise danach einen Spannungsabfall von 6dB pro
> Oktave. Da beide TP gleich dimensioniert sind (und entkoppelt) sieht der
> zweite im Durchlassbereich bis zum 3dB-Punkt die 0-dB des ersten und
> gibt sie auch aus. Danach sieht der zweite die -6dB pro Oktave, die er
> seinerseits um  6dB abschwächt und am Ausgang stellen sich -12dB pro
> Oktave ein. Das alles hätte man in Spice im Nu dargestellt...ich wollte
> es aber "zu Fuß" haben...
> Gruß Rainer

Das ist übrigens quasi das grafische Pendant zu dem Multiplizieren der 
beiden Übertragungsfunktionen was ich im Post zuvor beschrieben habe. 
Das Verschieben in Bode Plot entspricht einer Multiplikation (einer 
Verkettung).

von Jan K. (jan_k)


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Can't edit my posts :/ there is an error in the equation above. When 
going from the product to the sum, the factor K needs be factored out, 
i.e. brackets are missing. The end result should be correct.

von LumpedNetwork (Gast)


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Jan K. schrieb:
> However, initial conditions != 0 are a bit tricky and honestly I don't
> know any way without transforming it to state space representation.

There's a treatise on transients, where a general five-step solution 
process is laid out 
(http://cest.nau.edu.ua/ukr/person/zelenkov/book/Transients.pdf page 
62).
Probably, I'm dumb and can't get it, but it seems absolutely crazy to 
me. So, instead, I'm using this book as a source of problems for 
test-driving the Heaviside transform. Currently, I've solved 2/3 of the 
examples from there (beware, there are a lot of typos in this book, some 
of them are quite grave). Worked like a treat, never had to resort to 
any knowledge from differential equations course or complex analysis. 
Also didn't have to bother with initial conditions or commutation laws.

So I'm still in search of a problem, that can't be solved with Heaviside 
transform.
Feel free to write if you have one. Until then, Heaviside transform for 
the win! :)

von Jan K. (jan_k)


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LumpedNetwork schrieb:
> There's a treatise on transients, where a general five-step solution
> process is laid out
> (http://cest.nau.edu.ua/ukr/person/zelenkov/book/Transients.pdf page
> 62).

Cool, thanks! Will look into that.

Strangely Heaviside was not taught in our classes and I can't find much 
literature. Do you have some?

Although I'm Electrical Engineer, I like to approach things from the 
system theory view (control theory) since this simply is where I'm 
better at ;)

That said, the above approach (with initial conditions = 0) is quite 
easy and does not require any kind of higher mathematical magic stuff. 
IMO it's straight forward when you know the transfer function of the two 
building blocks (two RC elements in this case), which you can look up in 
tables. Then just concatenate (series connection = multiplication, 
parallel = addition, see 
https://de.wikipedia.org/wiki/Signalflussplan#Signalflussalgebra) them, 
transform the input voltage to frequency domain (it can be a jump, a 
sawtooth or sine, or much more), again using tables. Multiply everything 
and make partial fraction decomposition (using a CAS ;)). If you do it 
by hand - there is still no magic, just rearranging terms and fraction 
numbers (with variables ;)). This is no stuff a degree is needed for.

Back transformation is relatively easy using tables again.

And this is a concept, you can use the same approach, same steps 
everytime :)

However I'm not arguing the same is not true for Heaviside, I just don't 
know.

von Werner (Gast)


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LumpedNetwork schrieb:
> Usually, this is not a problem. When time constants tau1 and tau2 differ
> by a large amount (poles are well split), only one constant dominates
> because for LPF and HPF response the exponents are scaled with these
> time constants.

All right. So above equation is not solveable for t. I need to get rid 
of at least one RC element, so that an exp() term drops out. Therefore, 
my only chance is to become more specific with my problem, hoping that 
this will allow for a simplification. Right?

Let's assume tau1 >> tau2. Let's also assume f > 1/( 2  PI  tau1). As 
before I am interested in what time it takes for Uc2 to reach a certain 
level.

I did a simulation of the above. At the given frequency Uc1 
approximately appears as a triangular waveform. That is, my first RC 
element might be substituted by an integrator. Right again?


Theoretically I could now use the Heaviside transform. I would look-up 
the integrator and apply it. Easy. However I still use initial voltages 
at C1 and C2. So in the end I can not use it. At least not in its simple 
form. Correct?

But still - is my task solveable? Can I provide random values for Uc2 
and calculate the time t?



LostInMusic schrieb:
> Es gibt leider keine Möglichkeit, die Gleichung
>
> a = e^(−t/τ2) + e^(−t/τ1)
>
> nach t aufzulösen (von wenigen Sonderfällen abgesehen).

Nachdem Du mir die Formel gezeigt hattest, dachte ich: "Prima, nur noch 
nach t umstellen!"


LostInMusic schrieb:
> Ob das dann aber für Deine Anwendung zu einer
> zufriedenstellenden Lösung führt, hängt sicher auch von der speziellen
> Aufgabe ab, die diese Schaltung erfüllen soll.

Die Schaltung existiert bereits und ich muss sie anwenden. Das Ganze ist 
tatsächlich ein PT2 Regler (was mir vorher nicht klar war). Ein 
Komparator vergleicht Uc2 mit einem Schwellwert und schaltet dann. Für 
die weitere Anwendung muss ich wissen, wie lange er zum Schalten 
benötigt.

von LostInMusic (Gast)


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> y(t) = uC2(t) = K⋅(Θ(t) + τ2/(τ1 − τ2) e^(−t/τ2) + τ1/(τ1 − τ2) e^(−t/τ1))

==> y(0) = K⋅(Θ(0) + τ2/(τ1 − τ2) + τ1/(τ1 − τ2))

         = K⋅(1 + (τ1 + τ2)/(τ1 − τ2))

y(0) depends on τ1 and τ2? Do I have to set K to zero to achieve y(0) = 
0?

von Jan K. (jan_k)


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LostInMusic schrieb:
> y(0) depends on τ1 and τ2? Do I have to set K to zero to achieve y(0) =
> 0?

Indeed, interesting. K is a known, constant gain of the input step 
function, i.e. K=10 when V1=10 V for t>=0. There is no need to choose 
it.

Maybe t=0 is not defined, just t>0. But Laplace and Heaviside step 
function are defined for t>=0.

edit:

shiiit, there is a typo again. I'll rewrite the transformation step, 
sorry:

Transform into time domain (with Θ(t>0) = 1)

With that y(0)=0 as expected.

Thank you very much for pointing that out!

See attachment for a comparison with LTSpice. Legend colors are broken, 
but I think you get the idea. Gray line is calculated with the formula 
above, blue is input voltage and red is UC2, calculated by spice. 
Obviously, only the first "active" period of the input signal is correct 
here since I modeled an input step instead of a pulse.

: Bearbeitet durch User
von LumpedNetwork (Gast)


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Werner schrieb:
> Die Schaltung existiert bereits und ich muss sie anwenden.

Oh, I thought it was a purely educational exercise on unit step 
transient response. Why are you so concerned about initial voltages on 
capacitors? If there's no supernatural mechanism, that's not shown on 
the schematic, but somehow injecting charge to the capacitors, then 
their voltages inevitably depend only on the input signal (i.e. you 
can't realistically set them independently). What shape does your actual 
input excitation have? Unit step? Infinite pulse train? Semi-infinite 
pulse train, starting from t=0? Or ramp? Or some arbitrary shape? It's 
hard to give meaningful advice without knowing these details.

von Werner (Gast)


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LumpedNetwork schrieb:
> Why are you so concerned about initial voltages on
> capacitors?

My circuit is a feedback loop. A voltage is switched on (0 -> 5V) and 
applied to a double RC network (PT2). When the output of the network 
reaches a (user defined) threshold, the voltage is switched off again. 
The switch off time is fixed. During that, the capacitors discharge. But 
not completely! Consequently, in the next cycle the system has an 
initial voltage which is not zero. By coincidence I can determine these 
voltages.

For my task I need to know the "on" time. That is the time it takes to 
charge the system until the threshold voltage is reached.


I didn't want the forum to solve my task. So I asked for education.


Would you say it is possible to solve my task, if I substitute one RC 
network by an integrator? I would get rid of one exp() term and above 
equation would be (algebraically) solveable, isn't it?

von Rainer V. (a_zip)


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Trotz oder gerade wegen der spannenden Theorie hier würde ich jetzt für 
den anstehenden konkreten Fall die Rechnung erst mal vernachlässigen! Du 
weißt doch recht genau, dank Spice, wie die Spannungen aussehen und zwar 
für den Zeit- und den Frequenzbereich. Wenn du da jetzt plötzlich einen 
Integrator zu nimmst, veränderst du den Aufbau aber erheblich. Bleib 
doch erst mal bei dem Aufbau jetzt. Im Übrigen habe ich jetzt dein 
Problem mit dem zweiten RC-Glied nicht wirklich verstanden. 
Offensichtlich kann die Eingangsspannung dort  beliebig zwischen 0 und 
U(e) sein...ja und??? Das bedeutet doch nur, dass du mit der zweiten 
Spannung mehr oder weniger schnell das Maximum erreichst. Ob das für 
deine Regelung (?) nun relevant ist, kann man (ich) hier nicht sagen. 
Bin aber gespannt, wie es weitergehen wird!
Gruß Rainer

von Michel M. (elec-deniel)


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LTspice Tipp für die Bilder.
Unter Tools findet sich Copy to Clipboard,
damit geht das Einfügen einfacher und schneller. :-)

Wenn die selbst erstellte Schaltung mit eingestellt wird,
geht die Diskussion noch einfacher . :-)

Hier noch das .meas ure Command :-)
https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=fz5eHYreCxY

zu https://circuitnav.pythonanywhere.com
Beitrag "Re: OP verstärkung korrekt berechnen rf und cf"

Beitrag "Frage zum Frequenzgang RC-Filter - Wo ist der Fehler?"

im übrigen kann die Funktionen auch direkt
mit Laplace-Quellen beschreiben.
Beitrag "Re: Laplace-Darstellung in SPICE"


weitere Schaltungen
https://github.com/mick001/Circuits-LTSpice/tree/master/Filters

: Bearbeitet durch User
von LumpedNetwork (Gast)


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Werner schrieb:
> My circuit is a feedback loop.

OK, now I got it. So you're dealing with a steady state process. I don't 
see a way to solve it generally. But if the poles are well split, I 
would ignore the smaller time constant and solve it only for one 
exponent. Whether this is satisfactory, depends on the particular values 
of the elements and Toff.

Jan K. schrieb:
> Strangely Heaviside was not taught in our classes and I can't find much
> literature. Do you have some?

Most likely, it's not taught at all. The only article on this topic that 
I know of is this one: https://ieeexplore.ieee.org/document/168699
(Supplementary paper: 
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5832410/ )
The origins of the method are probably described in the book "E.Hallen 
Tvungna svängningar operatorkalkyl, 1965", which I can't find anywhere, 
unfortunately.

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