AVR-CORDIC

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AVR-Arithmetik mit dem CORDIC-Algorithmus[Bearbeiten]

Der Cordic-Algorithmus bietet eine ganze Reihe mathematischer Funktionen. Er wird seit den ersten Taschenrechnern bis zu den mathematischen Befehlen der Pentium-Prozessoren oder in FPGAs verwendet.

Hier soll nur die praktische Anwendung in Mikrocontrollern der AVR-Reihe besprochen werden. Er arbeitet iterativ, ähnlich der sukzessiven Approximation in Analog-Digital-Wandlern. Es werden nur Additionen und Schiebeoperationen benötigt.

Es gibt sechs verschiedene CORDIC-Versionen, die für unterschiedliche mathematische Funktionen benutzt werden:

"circular", "linear", "hyperbolic", und diese jeweils "vectoring" oder "rotation".

circular vectoring[Bearbeiten]

Kartesische --> Polarkoordinaten, arcsin, arccos, arctan, arccot

circular rotation[Bearbeiten]

Polare --> Kartesische Koordinaten, sin, cos, tan, cot

Der CORDIC kann so auch als Alternative zum DDS Sinusgenerator verwendet werden. Er braucht keine Tabelle, daher ist eine höhere Amplitudenauflösung von z. B. 16 Bit möglich. Es entsteht gleichzeitig eine Sinus- und Cosinusschwingung.

linear vectoring[Bearbeiten]

Division y/x

linear rotation[Bearbeiten]

Multiplikation y*x

hyperbolic vectoring[Bearbeiten]

arsinh, arcosh, artanh, arcoth, ln, log10, Quadratwurzel

hyperbolic rotation[Bearbeiten]

sinh, cosh, tanh, coth, e-Funktion

Die avrfix - Festkommabibliothek[Bearbeiten]

Entstand im Rahmen einer Baccalaureus-Arbeit an der TU Wien und ist auf Sourceforge frei verfügbar. Sie bietet neben den Grundrechenarten und einigen Hilfsroutinen zur Rundung und Überlaufbehandlung vor allem zwei CORDIC - Routinen, siehe Handbuch avrlib.pdf Seite 126:

  • "CORDICCK" circular
  • "CORDICHK" hyperbolic

der lineare Modus ist nicht vorhanden.

Mit dem Parameter "mode" wird die Transformationsrichtung übergeben:

  • mode = 0 entspricht rotation
  • mode = 1 entspricht vectoring

Mit dem Parameter "iterations" wird einer von zwei möglichen 32-Bit Festkomma-Datentypen ausgewählt:

  • _Akkum hat 1 Vorzeichenbit, 15 Vorkomma- und 16 Nachkommabits, iterations=16
  • _lAkkum hat 1 Vorzeichenbit, 7 Vorkomma- und 24 Nachkommabits, iterations=24

Sinus/Cosinusgenerator[Bearbeiten]

Die iterative Näherung der Sinus und Cosinusfunktion folgt diesem Programmablauf, ähnlich der Darstellung im DDJ-Artikel von Mike Pashea, siehe Literaturangaben: Konvergenzbereich:: -1.7433 < angle < 1.7433 (pi/2 = 1,57075) Eingangsvariable "angle" und "iterations", Ergebnis "cos" und "sin"

cos = 1/1,6468
sin = 0
for i=0 to iterations
  cos_tmp = cos
  sin_tmp = sin
  if (angle > 0)
    cos = cos - sin_tmp*2^(-i)
    sin = sin + cos_tmp*2^(-i)
    angle = angle - arctan(2^(-i))
  else
    cos = cos + sin_tmp*2^(-i)
    sin = sin - cos_tmp*2^(-i)
    angle = angle + arctan(2^(-i))
  endif
next i
CORDICSinCos.png

Mit OpenOffice-Calc berechnet sehen die ersten neun Iterationen wie im Bild gezeigt aus - Größere Version als PDF. Die "if(angle>0)"-Verzweigung wurde durch die Signum-Funktion "VORZEICHEN(angle)" ersetzt. Winkel in 64 Stufen von -Pi/2 bis +Pi/2, obere Diagrammreihe Sin und Cos (angle), unten als x/y-Diagramm, das muß einen Halbkreis ergeben.

In den meisten 8-Bit-Controllern fehlt ein sogenannter Barrel-Shift-Befehl für die "*2^(-i)"-Berechnung. Das ist eine arithmetische (vorzeichenrichtige) Rechtsverschiebung um eine wählbare Anzahl Stellen. In AVR-Assembler ausgedrückt: asr Highbyte, ror Lowbyte(s), asr ... Man kann sich mit Multiplikationen oder einem indirekten Sprung ijmp in eine "asr - ror - asr - ror..."-Folge behelfen, elegant ist beides nicht.

CORDIC im Diskussionsforum[Bearbeiten]

Bücher & Artikel[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]

Sinus- und Cosinus-Berechnung mittels

Weblinks[Bearbeiten]